המושג של רגע הכוח בפיזיקה: דוגמאות לפתרון בעיות

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-02 17:47

לעתים קרובות בפיזיקה צריך לפתור בעיות לחישוב שיווי משקל במערכות מורכבות שיש להן הרבה כוחות פועלים, מנופים וצירי סיבוב. במקרה זה, הכי קל להשתמש במושג רגע הכוח. מאמר זה מספק את כל הנוסחאות הדרושות עם הסברים מפורטים שיש להשתמש בהם כדי לפתור בעיות מהסוג הנקוב.

על מה נדבר?

אנשים רבים בוודאי שמו לב שאם אתה פועל בכוח כלשהו על עצם קבוע בנקודה מסוימת, הוא מתחיל להסתובב. דוגמה בולטת היא הדלת לבית או לחדר. אם תיקח אותו בידית ותלחץ (תפעיל כוח), הוא יתחיל להיפתח (תדליק את הצירים שלו). תהליך זה הוא ביטוי בחיי היומיום של פעולת כמות פיזית, הנקראת רגע הכוח.

מהדוגמה המתוארת עם הדלת עולה שהערך המדובר מציין את יכולת הכוח להסתובב, שהיא המשמעות הפיזית שלו. גם הערך הזהנקרא רגע הפיתול.

קביעת רגע הכוח

לפני הגדרת הכמות הנחשבת, בואו נצלם תמונה פשוטה.

לכן, האיור מציג מנוף (כחול), אשר קבוע על הציר (ירוק). למנוף הזה יש אורך d, ועל קצהו מופעל כוח F. מה יקרה למערכת במקרה זה? נכון, הידית תתחיל להסתובב נגד כיוון השעון כשמסתכלים עליה מלמעלה (שימו לב שאם תמתחו קצת את הדמיון ותדמיינו שהנוף מכוון מלמטה אל הידית, אז היא תסתובב בכיוון השעון).

תנו לנקודת ההתקשרות של הציר להיקרא O, ולנקודת הפעלת הכוח - P. לאחר מכן, נוכל לכתוב את הביטוי המתמטי הבא:

OP^¯ F^¯=M^¯F_O.

כאשר OP^¯ הוא הווקטור שמופנה מהציר לקצה הידית, הוא נקרא גם ידית הכוח, F^{¯הוא הכוח המופעל על נקודה P, ו-M}¯FO _{הוא רגע הכוח סביב נקודה O (ציר). נוסחה זו היא ההגדרה המתמטית של הכמות הפיזיקלית המדוברת.}

כיוון של רגע וכלל יד ימין

הביטוי למעלה הוא מוצר צולב. כידוע, התוצאה שלו היא גם וקטור הניצב למישור העובר דרך וקטורי המכפיל המתאימים. תנאי זה מתקיים על ידי שני כיוונים של הערך M^¯F_{O (למטה ולמעלה).}

ליחודיכדי לקבוע, יש להשתמש במה שנקרא כלל יד ימין. אפשר לנסח את זה כך: אם תכופף ארבע אצבעות של יד ימין לחצי קשת ותכוון את חצי הקשת כך שהיא תלך לאורך הווקטור הראשון (הגורם הראשון בנוסחה) ותגיע לסוף של השני, אז האגודל הבולט כלפי מעלה יציין את כיוון רגע הפיתול. שימו לב גם שלפני השימוש בכלל זה, עליכם להגדיר את הוקטורים המוכפלים כך שהם יוצאים מאותה נקודה (המקורות שלהם חייבים להתאים).

במקרה של הדמות בפסקה הקודמת, נוכל לומר, על ידי יישום כלל יד ימין, שרגע הכוח ביחס לציר יופנה כלפי מעלה, כלומר כלפינו.

מלבד השיטה המסומנת לקביעת כיוון הווקטור M^¯F_{O, יש עוד שניים. הנה הם:}

• רגע הפיתול יופנה בצורה כזו שאם תסתכל על הידית המסתובבת מקצה הווקטור שלו, האחרון ינוע נגד השעון. מקובל להתייחס לכיוון הזה של הרגע כחיובי בעת פתרון בעיות מסוגים שונים.
• אם תסובב את הגימלט עם כיוון השעון, המומנט יופנה לכיוון התנועה (העמקה) של הגימלט.

כל ההגדרות שלעיל שוות ערך, כך שכל אחד יכול לבחור את זו שנוחה לו.

לכן, נמצא שכיוון מומנט הכוח מקביל לציר שסביבו מסתובב הידית המתאימה.

כוח בזווית

שקול את התמונה למטה.

כאן אנו רואים גם מנוף באורך L קבוע בנקודה (מסומנת בחץ). כוח F פועל עליו, אולם הוא מכוון בזווית מסוימת Φ (phi) אל המנוף האופקי. כיוון הרגע M^¯F_O במקרה זה יהיה זהה לאיור הקודם (עלינו). כדי לחשב את הערך המוחלט או המודולוס של כמות זו, עליך להשתמש במאפיין cross product. לדבריו, עבור הדוגמה הנבדקת, ניתן לכתוב את הביטוי: M^F_O=LFsin(180 ^{o -Φ) או, באמצעות מאפיין הסינוס, נכתוב מחדש:}

M^F_O=LFsin(Φ).

הדמות מציגה גם משולש ישר זווית שלם, שצלעותיו הן המנוף עצמו (היפוטנוז), קו הפעולה של הכוח (רגל) והצד באורך d (הרגל השנייה). בהינתן שsin(Φ)=d/L, נוסחה זו תקבל את הצורה: M^F_{O=dF. ניתן לראות שהמרחק d הוא המרחק מנקודת החיבור של המנוף לקו הפעולה של הכוח, כלומר, d הוא מנוף הכוח.}

שתי הנוסחאות הנחשבות בפסקה זו, הנובעות ישירות מהגדרת רגע הפיתול, מועילות בפתרון בעיות מעשיות.

יחידות מומנט

באמצעות ההגדרה, ניתן לקבוע שאת הערך M^F_{Oיש למדוד בניוטון למטר (Nm). ואכן, בצורה של יחידות אלה, הוא משמש ב-SI.}

שימו לב ש-Nm היא יחידת עבודה, שמתבטאת בג'אול, כמו אנרגיה. עם זאת, ג'ול אינו משמש למושג רגע הכוח, שכן ערך זה משקף בדיוק את האפשרות ליישם את האחרון. עם זאת, יש קשר ליחידת העבודה: אם כתוצאה מהכוח F, הידית מסתובבת לחלוטין סביב נקודת הציר שלו O, אז העבודה שנעשתה תהיה שווה ל-A=M^F _{O 2pi (2pi היא הזווית ברדיאנים המתאימה ל-360}o^{). במקרה זה, ניתן לבטא את יחידת המומנט M}FO _{בג'אול לרדיאן (J/rad.). האחרון, יחד עם Hm, משמש גם במערכת SI.}

משפט ויניון

בסוף המאה ה-17, המתמטיקאי הצרפתי פייר ויניון, שחקר את שיווי המשקל של מערכות עם מנופים, ניסח לראשונה את המשפט, הנושא כעת את שם משפחתו. הוא מנוסח כך: המומנט הכולל של מספר כוחות שווה לרגע של הכוח האחד שנוצר, המופעל על נקודה מסוימת ביחס לאותו ציר סיבוב. מבחינה מתמטית, ניתן לכתוב זאת באופן הבא:

M^¯₁+M^¯_{2 +…+M}¯_=M¯^=d¯ ∑ ⁱ⁼¹(F_¯ⁱ)=d_¯F^¯.

משפט זה נוח לשימוש כדי לחשב את מומנטי הפיתול במערכות עם כוחות פועלים מרובים.

לאחר מכן, אנו נותנים דוגמה לשימוש בנוסחאות לעיל כדי לפתור בעיות בפיזיקה.

בעיית מפתח ברגים

אחד מדוגמה בולטת להדגמת החשיבות של התחשבות ברגע הכוח היא תהליך שחרור האומים בעזרת מפתח ברגים. כדי להבריג את האום, אתה צריך להפעיל קצת מומנט. יש צורך לחשב כמה כוח יש להפעיל בנקודה A כדי להתחיל בהברגת האום, אם כוח זה בנקודה B הוא 300 N (ראה את האיור למטה).

מהאיור לעיל, שני דברים חשובים מגיעים: ראשית, המרחק OB הוא פי שניים מזה של OA; שנית, הכוחות F_A ו-F_{Bמכוונים בניצב למנוף המקביל כאשר ציר הסיבוב חופף למרכז האום (נקודה O).}

מומנט המומנט עבור מקרה זה יכול להיכתב בצורה סקלרית באופן הבא: M=OBF_B=OAF_A. מכיוון ש-OB/OA=2, שוויון זה יתקיים רק אם F_A גדול פי 2 מ-F_B. ממצב הבעיה נקבל ש-F_{A=2300=600 N. כלומר, ככל שהמפתח ארוך יותר, כך קל יותר לפרק את האום.}

בעיה עם שני כדורים בעלי מסות שונות

האיור למטה מציג מערכת שנמצאת בשיווי משקל. יש צורך למצוא את מיקום נקודת המשען אם אורך הלוח הוא 3 מטרים.

מכיוון שהמערכת נמצאת בשיווי משקל, סכום המומנטים של כל הכוחות שווה לאפס. על הלוח פועלים שלושה כוחות (משקולות שני הכדורים וכוח התגובה של התמיכה). מכיוון שכוח התמיכה אינו יוצר מומנט מומנט (אורך הידית הוא אפס), ישנם שני רגעים בלבד שנוצרו ממשקל הכדורים.

תנו לנקודת שיווי המשקל להיות במרחק x מקצה המכיל כדור במשקל 100 ק"ג. אז נוכל לכתוב את השוויון: M₁-M₂=0. מכיוון שמשקל הגוף נקבע על ידי הנוסחה mg, אז יש לנו: m 1_{gx - m}2_{g(3-x)=0. נפחית את g ונחליף את הנתונים, נקבל: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0.143 מ' או 14.3 ס"מ.}

לכן, כדי שהמערכת תהיה בשיווי משקל, יש צורך לקבוע נקודת ייחוס במרחק של 14.3 ס"מ מהקצה, שבה ישכב כדור בעל מסה של 100 ק"ג.