כיוון וקטור ישיר: הגדרה ודוגמאות

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-02 17:47

אובייקט גיאומטרי חשוב שנלמד במרחב שטוח הוא קו ישר. במרחב התלת מימדי, בנוסף לקו הישר, יש גם מישור. שני האובייקטים מוגדרים בצורה נוחה באמצעות וקטורי כיוון. מה זה, איך משתמשים בוקטורים האלה לקביעת משוואות של ישר ומישור? שאלות אלו ואחרות מכוסות במאמר.

קו ישיר וכיצד להגדיר אותו

לכל תלמיד יש מושג טוב על איזה אובייקט גיאומטרי הוא מדבר. מנקודת מבט של מתמטיקה, קו ישר הוא קבוצה של נקודות, שבמקרה של חיבור זוג שרירותי שלהן, מובילות לקבוצה של וקטורים מקבילים. הגדרה זו של קו משמשת לכתיבת משוואה עבורו בשני מימדים ובתלת מימדים.

כדי לתאר את האובייקט החד-ממדי הנחשב, נעשה שימוש בסוגים שונים של משוואות, המפורטות ברשימה למטה:

תצוגה כללית;
parametric;
vector;
קנוני או סימטרי;
במקטעים.

לכל אחד מהמינים האלה יש כמה יתרונות על פני האחרים. לדוגמה, משוואה בקטעים נוחה לשימוש כאשר לומדים את התנהגותו של ישר ביחס לצירי הקואורדינטות, משוואה כללית נוחה כאשר מוצאים כיוון מאונך לישר נתון, וכן כאשר מחשבים את הזווית שלו. חיתוך עם ציר ה-x (עבור מארז שטוח).

מכיוון שהנושא של מאמר זה קשור לווקטור המכוון של קו ישר, עוד נשקול רק את המשוואה שבה וקטור זה הוא בסיסי ומכיל במפורש, כלומר, ביטוי וקטור.

ציון קו ישר דרך וקטור

נניח שיש לנו איזה וקטור v¯ עם קואורדינטות ידועות (a; b; c). מכיוון שיש שלוש קואורדינטות, הווקטור ניתן במרחב. איך לתאר אותו במערכת קואורדינטות מלבנית? זה נעשה בצורה פשוטה מאוד: על כל אחד משלושת הצירים, משרטט קטע שאורכו שווה לקואורדינטה המתאימה של הווקטור. נקודת החיתוך של שלושת הניצבים המשוחזרים למישורי xy, yz ו-xz תהיה הסוף של הווקטור. ההתחלה שלו היא הנקודה (0; 0; 0).

עם זאת, המיקום הנתון של הווקטור אינו היחיד. באופן דומה, אפשר לצייר v¯ על ידי הצבת המקור שלו בנקודה שרירותית במרחב. הטיעונים הללו אומרים שאי אפשר לקבוע קו ספציפי באמצעות וקטור. הוא מגדיר משפחה של מספר אינסופי של קווים מקבילים.

עכשיותקן נקודת P(x₀; y₀; z_{0) של הרווח. וקבענו את התנאי: יש לעבור דרך פ'. במקרה זה, הווקטור v¯ חייב להכיל גם נקודה זו. העובדה האחרונה פירושה שניתן להגדיר שורה בודדת באמצעות P ו-v¯. זה ייכתב כמשוואה הבאה:}

Q=P + λ × v¯

כאן Q היא כל נקודה השייכת לקו. ניתן לקבל נקודה זו על ידי בחירת הפרמטר המתאים λ. המשוואה הכתובה נקראת משוואת וקטור, ו-v מכונה וקטור הכיוון של הישר. על ידי סידורו כך שיעבור דרך P ושינוי אורכו עם הפרמטר λ, נקבל כל נקודה של Q כקו ישר.

בצורת קואורדינטות, המשוואה תיכתב באופן הבא:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ × (a; b; c)}

ובצורה מפורשת (פרמטרית), אתה יכול לכתוב:

x=x_{0+ λ × a;}

y=y_{0+ λ × b;}

z=z_{0+ λ × c}

אם נוציא את הקואורדינטה השלישית בביטויים לעיל, נקבל את המשוואות הווקטוריות של הישר במישור.

עבור אילו משימות כדאי לדעת את וקטור הכיוון ?

ככלל, אלו הן משימות לקביעת ההקבלה והניצב של קווים. כמו כן, הווקטור הישיר הקובע את הכיוון משמש בעת חישוב המרחק בין ישרים לנקודה וקו ישר, כדי לתאר את התנהגותו של ישר ביחס למישור.

שנייםקווים יהיו מקבילים אם וקטורי הכיוון שלהם. בהתאם לכך, הניצב של קווים מוכח באמצעות הניצב של הוקטורים שלהם. בבעיות מסוג זה, מספיק לחשב את המכפלה הסקלרית של הוקטורים הנחשבים כדי לקבל את התשובה.

במקרה של משימות לחישוב המרחקים בין קווים ונקודות, וקטור הכיוון נכלל במפורש בנוסחה המתאימה. בוא נרשום את זה:

d=|[P₁P_{2¯ × v¯] | / |v¯|}

Here P₁P₂¯ - בנוי על נקודות P₁ ו-P ₂ קטע מכוון. הנקודה P₂ היא שרירותית, שוכנת על הקו עם הווקטור v¯, בעוד שהנקודה P_{1 היא זו שאליה צריך המרחק להיות נחוש. זה יכול להיות עצמאי או שייך לקו או מטוס אחר.}

שים לב שזה הגיוני לחשב את המרחק בין קווים רק כשהם מקבילים או מצטלבים. אם הם מצטלבים, אז d הוא אפס.

הנוסחה שלעיל עבור d תקפה גם לחישוב המרחק בין מישור לישר מקביל לו, רק שבמקרה זה P_{1צריך להשתייך למישור.}

בוא נפתור כמה בעיות כדי להראות טוב יותר כיצד להשתמש בוקטור הנחשב.

בעיית משוואת וקטור

ידוע כי קו ישר מתואר במשוואה הבאה:

y=3 × x - 4

עליך לכתוב את הביטוי המתאים בטופס וקטור.

זוהי משוואה טיפוסית של קו ישר, המוכרת לכל תלמיד בית ספר, הכתובה בצורה כללית. בואו נראה איך לשכתב אותו בצורה וקטורית.

ניתן לייצג את הביטוי כ:

(x; y)=(x; 3 × x - 4)

ניתן לראות שאם פותחים אותו, מקבלים את השוויון המקורי. כעת נחלק את הצד הימני שלו לשני וקטורים כך שרק אחד מהם מכיל x, יש לנו:

(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)

נותר להוציא את x מתוך סוגריים, לייעד אותו בסמל יווני ולהחליף את הוקטורים של הצד הימני:

(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)

קיבלנו את הצורה הווקטורית של הביטוי המקורי. קואורדינטות וקטור כיוון של הישר הן (1; 3).

המשימה של קביעת המיקום היחסי של קווים

ניתן שתי שורות ברווח:

(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);

(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

האם הם מקבילים, חוצים או מצטלבים?

וקטורים שאינם אפס (-1; 3; 1) ו-(1; 2; 0) יהיו מנחים עבור קווים אלה. הבה נבטא את המשוואות הללו בצורה פרמטרית ונחליף את הקואורדינטות של הראשונה בשנייה. אנחנו מקבלים:

x=1 - λ;

y=3 × λ;

z=-2 + λ;

x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;

y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;

z=2=-2 + λ=> λ=4

החלף את הפרמטר שנמצא λ בשתי המשוואות למעלה, נקבל:

γ=-2 - λ=-6;

γ=3 / 2 × λ - 1=5

פרמטר γ אינו יכול לקחת שני ערכים שונים בו-זמנית. המשמעות היא שלקווים אין נקודה משותפת אחת, כלומר, הם מצטלבים. הם אינם מקבילים, שכן וקטורים שאינם מאפס אינם מקבילים זה לזה (למען ההקבלה שלהם, חייב להיות מספר שעל ידי הכפלה בוקטור אחד יוביל לקואורדינטות של השני).

תיאור מתמטי של המטוס

כדי להגדיר מישור בחלל, אנו נותנים משוואה כללית:

A × x + B × y + C × z + D=0

כאן אותיות גדולות בלטיניות מייצגות מספרים ספציפיים. שלושת הראשונים שבהם מגדירים את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי של המישור. אם הוא מסומן ב-n¯, אז:

n¯=(A; B; C)

וקטור זה מאונך למישור, אז הוא נקרא מנחה. הידע שלו, כמו גם הקואורדינטות הידועות של כל נקודה השייכת למישור, קובעים באופן ייחודי את האחרון.

אם הנקודה P(x₁; y₁; z_{1) שייכת ל המטוס, ואז יירוט D מחושב באופן הבא:}

D=-1 × (A × x₁+ B × y₁ + C × z₁₎

בוא נפתור כמה בעיות באמצעות המשוואה הכללית של המישור.

משימה עבורמציאת הווקטור הנורמלי של המישור

המטוס מוגדר כדלקמן:

(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1

איך למצוא וקטור כיוון עבורה?

מהתיאוריה לעיל עולה שהקואורדינטות של הווקטור הנורמלי n¯ הן המקדמים שלפני המשתנים. בהקשר זה, כדי למצוא את n¯, יש לכתוב את המשוואה בצורה כללית. יש לנו:

1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0

אז הווקטור הרגיל של המטוס הוא:

n¯=(1/3; 1/2; -1/4)

בעיית שרטוט משוואת המישור

הקואורדינטות של שלוש נקודות נתונות:

M_{1(1; 0; 0);}

M_{2(2; -1; 5);}

M_{3(0; -2; -2)}

איך תיראה המשוואה של המישור המכיל את כל הנקודות הללו.

דרך שלוש נקודות שאינן שייכות לאותו קו, ניתן לצייר רק מישור אחד. כדי למצוא את המשוואה שלו, ראשית מחשבים את וקטור הכיוון של המישור n¯. לשם כך, נמשיך באופן הבא: נמצא שני וקטורים שרירותיים השייכים למישור, ונחשב את המכפלה הווקטורית שלהם. זה ייתן וקטור שיהיה מאונך למישור הזה, כלומר n¯. יש לנו: