מישור הוא עצם גיאומטרי שתכונותיו משמשות בעת בניית הקרנות של נקודות וקווים, וכן בעת חישוב מרחקים וזוויות דו-הדרליות בין אלמנטים של דמויות תלת-ממדיות. הבה נבחן במאמר זה באילו משוואות ניתן להשתמש כדי לחקור את מיקומם של מישורים בחלל.
הגדרת מטוס
כולם מדמיינים באופן אינטואיטיבי באיזה אובייקט נדון. מנקודת מבט גיאומטרית, מישור הוא אוסף של נקודות שכל וקטור ביניהן חייב להיות מאונך לוקטור אחד. לדוגמה, אם יש m נקודות שונות במרחב, אז אפשר ליצור מהן m(m-1) / 2 וקטורים שונים, המחברים את הנקודות בזוגות. אם כל הוקטורים מאונכים לכיוון אחד, אז זהו תנאי מספיק שכל הנקודות m שייכות לאותו מישור.
משוואה כללית
בגיאומטריה מרחבית, מישור מתואר באמצעות משוואות המכילות בדרך כלל שלוש קואורדינטות לא ידועות המתאימות לצירי x, y ו-z. לקבל את המשוואה הכללית בקואורדינטות המישוריות במרחב, נניח שיש וקטור n¯(A; B; C) ונקודה M(x0; y0; z0). באמצעות שני האובייקטים הללו, ניתן להגדיר את המישור באופן ייחודי.
אכן, נניח שיש איזו נקודה שנייה P(x; y; z) שהקואורדינטות שלה אינן ידועות. לפי ההגדרה שניתנה לעיל, הווקטור MP¯ חייב להיות מאונך ל-n¯, כלומר, המכפלה הסקלרית עבורם שווה לאפס. אז נוכל לכתוב את הביטוי הבא:
(n¯MP¯)=0 או
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)=0
פתיחת הסוגריים והכנסת מקדם D חדש, נקבל את הביטוי:
Ax + By + Cz + D=0 כאשר D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
ביטוי זה נקרא המשוואה הכללית למישור. חשוב לזכור שהמקדמים שלפני x, y ו-z יוצרים את הקואורדינטות של הווקטור n¯(A; B; C) בניצב למישור. זה עולה בקנה אחד עם הרגיל ומהווה מדריך למטוס. כדי לקבוע את המשוואה הכללית, אין זה משנה לאן מופנה וקטור זה. כלומר, המישורים הבנויים על הוקטורים n¯ ו-n¯ יהיו זהים.
האיור שלמעלה מציג מישור, וקטור נורמלי אליו, וקו מאונך למישור.
קטעים שנחתכו על ידי המישור על הצירים והמשוואה המתאימה
המשוואה הכללית מאפשרת שימוש בפעולות מתמטיות פשוטות כדי לקבוע, בבאילו נקודות המטוס יחצה את צירי הקואורדינטות. חשוב לדעת מידע זה על מנת לקבל מושג לגבי מיקומו במרחב של המטוס, וכן בעת תיאורו בציורים.
כדי לקבוע את נקודות החיתוך בשמות, נעשה שימוש במשוואה בקטעים. הוא נקרא כך מכיוון שהוא מכיל במפורש את ערכי אורכי הקטעים המנותקים על ידי המישור בצירי הקואורדינטות, כאשר סופרים מהנקודה (0; 0; 0). בוא נקבל את המשוואה הזו.
כתוב את הביטוי הכללי עבור המטוס באופן הבא:
Ax + By + Cz=-D
ניתן לחלק את החלק השמאלי והימני ב-D מבלי להפר את השוויון. יש לנו:
A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 או
x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1
עצב את המכנים של כל מונח עם סמל חדש, נקבל:
p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C ואז
x/p + y/q + z/r=1
זו המשוואה שהוזכרה למעלה בקטעים. יוצא מכך שערך המכנה של כל איבר מציין את הקואורדינטה של החתך עם הציר המתאים של המישור. לדוגמה, הוא חותך את ציר ה-y בנקודה (0; q; 0). קל להבין זאת אם תחליף את קואורדינטות x ו- אפס במשוואה.
שימו לב שאם אין משתנה במשוואה בקטעים, זה אומר שהמישור לא חוצה את הציר המתאים. לדוגמה, בהינתן הביטוי:
x/p + y/q=1
משמעות הדבר היא שהמישור ינתק את הקטעים p ו-q בצירי x ו-y, בהתאמה, אבל הוא יהיה מקביל לציר z.
מסקנה לגבי התנהגות המטוס מתיהיעדר משתנה כלשהו במשוואה שלה נכון גם עבור ביטוי טיפוס כללי, כפי שמוצג באיור למטה.
משוואה פרמטרית וקטורית
יש סוג שלישי של משוואה המאפשרת לתאר מישור בחלל. זה נקרא וקטור פרמטרי מכיוון שהוא ניתן על ידי שני וקטורים השוכנים במישור ושני פרמטרים שיכולים לקבל ערכים בלתי תלויים שרירותיים. בואו נראה כיצד ניתן להשיג את המשוואה הזו.
נניח שיש כמה וקטורים ידועים u ¯(a1; b1; c1) ו-v¯(a2; b2; c2). אם הם אינם מקבילים, ניתן להשתמש בהם כדי להגדיר מישור ספציפי על ידי קיבוע ההתחלה של אחד מהווקטורים הללו בנקודה ידועה M(x0; y0; z0). אם וקטור MP¯ שרירותי יכול להיות מיוצג כשילוב של וקטורים ליניאריים u¯ ו-v¯, אז זה אומר שהנקודה P(x; y; z) שייכת לאותו מישור כמו u¯, v¯. לפיכך, נוכל לכתוב את השוויון:
MP¯=αu¯ + βv¯
או כתיבת שוויון זה במונחים של קואורדינטות, נקבל:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a1; b1; c1) + β(a 2; b2; c2)
השוויון המוצג הוא משוואה וקטורית פרמטרית למישור. בְּמרחב וקטור במישור u¯ ו-v¯ נקראים מחוללים.
לאחר מכן, בעת פתרון הבעיה, יוצג כיצד ניתן לצמצם את המשוואה הזו לצורה כללית עבור מישור.
זווית בין מטוסים בחלל
באופן אינטואיטיבי, מטוסים בחלל תלת-ממד יכולים להצטלב או לא. במקרה הראשון, מעניין למצוא את הזווית ביניהם. החישוב של זווית זו קשה יותר מהזווית בין קווים, מכיוון שאנו מדברים על עצם גיאומטרי דו-הדרלי. עם זאת, וקטור המדריך שהוזכר כבר עבור המטוס בא להצלה.
זה נקבע גיאומטרית שהזווית הדו-הדרלית בין שני מישורים מצטלבים שווה בדיוק לזווית בין וקטורי המדריך שלהם. הבה נסמן את הוקטורים האלה כ-n1¯(a1; b1; c1) ו-n2¯(a2; b2; c2). הקוסינוס של הזווית ביניהם נקבע מהתוצר הסקלרי. כלומר, את הזווית עצמה ברווח שבין המישורים ניתן לחשב בנוסחה:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
כאן משמש המודולוס במכנה כדי להשליך את הערך של הזווית הקהה (בין מישורים מצטלבים הוא תמיד קטן או שווה ל-90o).
בצורת קואורדינטות, ניתן לשכתב את הביטוי הזה באופן הבא:
φ=arccos(|a1a2 + b1b 2 +c1c2|/(√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b22 + c 22)))
מישורים מאונכים ומקבילים
אם המטוסים מצטלבים וזווית הדו-הדרלית שנוצרת על ידם היא 90o, אז הם יהיו מאונכים. דוגמה למישורים כאלה היא פריזמה מלבנית או קובייה. דמויות אלו נוצרות על ידי שישה מישורים. בכל קודקוד של הדמויות הנקובות יש שלושה מישורים מאונכים זה לזה.
כדי לגלות אם המישורים הנחשבים מאונכים, מספיק לחשב את המכפלה הסקלרית של הוקטורים הרגילים שלהם. תנאי מספיק לניצב במרחב של מישורים הוא הערך האפס של מוצר זה.
מקביל נקראים מישורים שאינם מצטלבים. לפעמים גם אומרים שמישורים מקבילים מצטלבים באינסוף. מצב ההקבלה במרחב של מישורים חופף לתנאי זה עבור וקטורי הכיוון n1¯ ו-n2¯. אתה יכול לבדוק את זה בשתי דרכים:
- חשב את הקוסינוס של הזווית הדו-הדרלית (cos(φ)) באמצעות המכפלה הסקלרית. אם המטוסים מקבילים, הערך יהיה 1.
- נסה לייצג וקטור אחד דרך אחר על ידי הכפלה במספר כלשהו, כלומר n1¯=kn2¯. אם זה יכול להיעשות, אז המטוסים המתאימים הםמקביל.
האיור מציג שני מישורים מקבילים.
עכשיו בואו ניתן דוגמאות לפתרון שתי בעיות מעניינות באמצעות הידע המתמטי שהושג.
איך מקבלים טופס כללי ממשוואה וקטורית?
זהו ביטוי וקטור פרמטרי למישור. כדי להקל על הבנת זרימת הפעולות והטריקים המתמטיים שבהם נעשה שימוש, שקול דוגמה ספציפית:
(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)
הרחב את הביטוי הזה והבע את הפרמטרים הלא ידועים:
x=1 + 2α;
y=2 - α + β;
z=α + 3β
אז:
α=(x - 1)/2;
β=y - 2 + (x - 1)/2;
z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)
פתיחת הסוגריים בביטוי האחרון, נקבל:
z=2x-2 + 3y - 6 או
2x + 3y - z - 8=0
השגנו את הצורה הכללית של המשוואה עבור המישור המצוין בהצהרת הבעיה בצורה וקטורית
איך לבנות מטוס דרך שלוש נקודות?
אפשר לצייר מישור בודד דרך שלוש נקודות אם נקודות אלו אינן שייכות לאיזה קו ישר בודד. האלגוריתם לפתרון בעיה זו מורכב מרצף הפעולות הבא:
- מצא את הקואורדינטות של שני וקטורים על ידי חיבור נקודות ידועות בזוגיות;
- לחשב את תוצר הצלב שלהם ולקבל וקטור נורמלי למישור;
- כתוב את המשוואה הכללית באמצעות הווקטור שנמצא וכל אחת משלוש הנקודות.
בוא ניקח דוגמה קונקרטית. נקודות שניתנו:
R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)
הקואורדינטות של שני הוקטורים הן:
RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)
המוצר המוצלב שלהם יהיה:
n¯=[RP¯PQ¯]=(6; 2; 4)
לקיחת הקואורדינטות של נקודה R, נקבל את המשוואה הנדרשת:
6x + 2y + 4z -10=0 או
3x + y + 2z -5=0
מומלץ לבדוק את נכונות התוצאה על ידי החלפת הקואורדינטות של שתי הנקודות הנותרות בביטוי זה:
עבור P: 30 + (-3) + 24 -5=0;
עבור Q: 31 + (-2) + 22 -5=0
שימו לב שאפשר לא למצוא את המכפלה הווקטורית, אלא רשום מיד את המשוואה למישור בצורה וקטורית פרמטרית.
