היכולת לעבוד עם ביטויים מספריים המכילים שורש ריבועי נחוצה לפתרון מוצלח של מספר בעיות מה-OGE וה-USE. בבחינות אלו, בדרך כלל מספיקה הבנה בסיסית של מהי מיצוי שורשים וכיצד היא נעשית בפועל.
הגדרה
השורש ה-n של מספר X הוא מספר x שעבורו השוויון נכון: xn =X.
מציאת הערך של ביטוי עם שורש פירושה מציאת x נתון X ו-n.
השורש הריבועי או, שהוא זהה, השורש השני של X - המספר x שעבורו מתקיים השוויון: x2 =X.
ייעוד: ∛Х. כאן 3 הוא דרגת השורש, X הוא ביטוי השורש. הסימן '√' נקרא לעתים קרובות רדיקל.
אם המספר מעל השורש אינו מציין את המידה, ברירת המחדל היא המעלה של 2.
בקורס בית ספרי לתארים זוגיים, שורשים שליליים וביטויים רדיקליים בדרך כלל אינם נחשבים. למשל, אין√-2, ולביטוי √4, התשובה הנכונה היא 2, למרות העובדה ש-(-2)2 שווה גם ל-4.
רציונליות וחוסר רציונליות של שורשים
המשימה הפשוטה ביותר האפשרית עם שורש היא למצוא את הערך של ביטוי או לבדוק את הרציונליות שלו.
לדוגמה, חשב את הערכים √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 כי 52 =25;
- ∛8=2 כי 23 =8;
- ∛ - 125=-5 מאז (-5)3 =-125.
התשובות בדוגמאות הנתונות הן מספרים רציונליים.
כשעובדים עם ביטויים שאינם מכילים קבועים ומשתנים מילוליים, מומלץ לבצע תמיד בדיקה כזו באמצעות הפעולה ההפוכה של העלאה לעוצמה טבעית. מציאת המספר x בחזקת n שווה ערך לחישוב המכפלה של n גורמים של x.
יש הרבה ביטויים עם שורש, שערכם אינו רציונלי, כלומר כתוב כשבר אינסופי שאינו מחזורי.
לפי הגדרה, רציונלים הם אלה שניתן לבטא כשבר משותף, ואי-רציונלים הם כל שאר המספרים הממשיים.
אלה כוללים √24, √0, 1, √101.
אם כתוב בספר הבעיות: מצא את הערך של הביטוי עם שורש של 2, 3, 5, 6, 7 וכו', כלומר מאותם מספרים טבעיים שאינם כלולים בטבלת הריבועים, אז התשובה הנכונה היא √ 2 עשוי להיות נוכח (אלא אם צוין אחרת).
Assessing
בבעיות עםתשובה פתוחה, אם אי אפשר למצוא את הערך של ביטוי עם שורש ולכתוב אותו כמספר רציונלי, יש להשאיר את התוצאה כרדיקלית.
משימות מסוימות עשויות לדרוש הערכה. לדוגמה, השוו בין 6 ו- √37. הפתרון דורש ריבוע שני המספרים והשוואת התוצאות. מבין שני מספרים, זה שהריבוע שלו גדול יותר גדול יותר. כלל זה פועל עבור כל המספרים החיוביים:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- פירושו √37 > 6.
באותו אופן, נפתרות בעיות שבהן יש לסדר מספר מספרים בסדר עולה או יורד.
דוגמה: סדר 5, √6, √48, √√64 בסדר עולה.
לאחר הריבוע, יש לנו: 25, 6, 48, √64. אפשר שוב בריבוע את כל המספרים כדי להשוות אותם עם √64, אבל זה שווה למספר הרציונלי 8. 6 < 8 < 25 < 48, אז הפתרון הוא: 48.
פישוט הביטוי
קורה שאי אפשר למצוא את הערך של ביטוי עם שורש, ולכן יש לפשט אותו. הנוסחה הבאה עוזרת בזה:
√ab=√a√b.
השורש של מכפלת שני מספרים שווה למכפלת השורשים שלהם. פעולה זו תדרוש גם את היכולת לפרק מספר.
בשלב הראשוני, כדי לזרז את העבודה, מומלץ להחזיק בהישג יד טבלה של מספרים ראשוניים ומשבצות. שולחנות אלה עם תכופיםשימוש בעתיד ייזכר.
לדוגמה, √242 הוא מספר אי-רציונלי, אתה יכול להמיר אותו כך:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
בדרך כלל התוצאה כתובה כ-11√2 (קרא: אחד עשר שורשים מתוך שניים).
אם קשה לראות מיד לאילו שני גורמים צריך לפרק מספר כדי שניתן יהיה לחלץ שורש טבעי מאחד מהם, אפשר להשתמש בפירוק המלא לגורמים ראשוניים. אם אותו מספר ראשוני מופיע פעמיים בהרחבה, מוציאים אותו מסימן השורש. כאשר ישנם גורמים רבים, ניתן לחלץ את השורש במספר שלבים.
דוגמה: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). המספר 2 מופיע בהרחבה 2 פעמים (למעשה, יותר מפעמיים, אבל אנחנו עדיין מעוניינים בשתי ההתרחשויות הראשונות בהרחבה).
אנחנו מוציאים אותו מתחת לסימן השורש:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
חזור על אותה פעולה:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
בביטוי הרדיקלי הנותר, 2 ו-3 מתרחשים פעם אחת, אז נשאר להוציא את הפקטור 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
ולבצע פעולות אריתמטיות:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
אז, אנחנו מקבלים √2400=20√6.
אם המשימה לא מציינת במפורש: "מצא את הערך של הביטוי עם שורש ריבועי", אז הבחירה,באיזו צורה להשאיר את התשובה (האם לחלץ את השורש מתחת לרדיקל) נשארת אצל התלמיד ועשויה להיות תלויה בפתרון הבעיה.
בתחילה מונחות דרישות גבוהות לעיצוב המשימות, לחישוב, כולל בעל פה או בכתב, ללא שימוש באמצעים טכניים.
רק לאחר שליטה טובה בכללי העבודה עם ביטויים מספריים לא רציונליים, הגיוני לעבור לביטויים מילוליים קשים יותר ולפתרון משוואות אי רציונליות וחישוב טווח הערכים האפשריים של הביטוי תחת רדיקלי.
סטודנטים נתקלים בסוג זה של בעיות בבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה, כמו גם בשנה הראשונה של אוניברסיטאות מיוחדות, כאשר לומדים ניתוח מתמטי ודיסציפלינות קשורות.
