פולינום, או פולינום - אחד מהמבנים האלגבריים הבסיסיים, שנמצא בבית הספר ובמתמטיקה גבוהה יותר. לימוד פולינום הוא הנושא החשוב ביותר בקורס אלגברה, שכן, מצד אחד, פולינומים הם די פשוטים בהשוואה לסוגים אחרים של פונקציות, ומצד שני, הם נמצאים בשימוש נרחב בפתרון בעיות של ניתוח מתמטי.. אז מה זה פולינום?
הגדרה
ניתן לתת את ההגדרה של המונח פולינום דרך המושג מונומיאל, או מונומיאל.
מונומיאל הוא ביטוי של הצורה cx1i1x2 i2 …x in. כאן с הוא קבוע, x1, x2, … x - משתנים, i1, i2, … ב - מעריכים של משתנים. אז פולינום הוא כל סכום סופי של מונומיאלים.
כדי להבין מהו פולינום, אתה יכול להסתכל על דוגמאות ספציפיות.
הטרינום הריבועי, שנדון בהרחבה בקורס מתמטיקה בכיתה ח', הוא פולינום: ax2+bx+c.
פולינום עם שני משתנים עשוי להיראות כך: x2-xy+y2. כגוןפולינום נקרא גם ריבוע לא שלם של ההפרש בין x ו-y.
סיווגים פולינומיים
תואר פולינומי
עבור כל מונום בפולינום, מצא את סכום המעריכים i1+i2+…+in. הגדול מבין הסכומים נקרא המעריך של הפולינום, והמונום המתאים לסכום זה נקרא האיבר הגבוה ביותר.
אגב, כל קבוע יכול להיחשב פולינום של מעלה אפס.
פולינומים מופחתים ולא מופחתים
אם מקדם c שווה ל-1 עבור האיבר הגבוה ביותר, אז הפולינום ניתן, אחרת הוא לא.
לדוגמה, הביטוי x2+2x+1 הוא פולינום מופחת, ו-2x2+2x+1 אינו מופחת.
פולינומים הומוגניים ואי-הומוגניים
אם המעלות של כל האיברים של פולינום שוות, אז אנחנו אומרים שפולינום כזה הוא הומוגני. כל שאר הפולינומים נחשבים לא-הומוגניים.
פולינומים הומוגניים: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. הטרוגנית: x+1, x2+y.
יש שמות מיוחדים לפולינום של שניים ושלושה איברים: בינומי וטרינומי, בהתאמה.
פולינומים של משתנה אחד מוקצים לקטגוריה נפרדת.
יישום של פולינום של משתנה אחד
פולינומים של משתנה אחד מקרוב היטב פונקציות רציפות במורכבות משתנה מארגומנט אחד.
העובדה היא שניתן להתייחס לפולינומים כאלה כסכומים חלקיים של סדרת חזקות, וניתן לייצג פונקציה רציפה כסדרה עם שגיאה קטנה באופן שרירותי. סדרות ההרחבה של פונקציה נקראות סדרת טיילור, והןסכומים חלקיים בצורת פולינומים - פולינומים טיילור.
לקרוא באופן גרפי את ההתנהגות של פונקציה על ידי קירוב שלה עם פולינום כלשהו הוא לעתים קרובות קל יותר מאשר חקירה ישירה של אותה פונקציה או שימוש בסדרה.
קל לחפש נגזרות של פולינומים. כדי למצוא את השורשים של פולינומים ממדרגה 4 ומטה, קיימות נוסחאות מוכנות, ולעבודה עם דרגות גבוהות יותר משתמשים באלגוריתמים משוערים בעלי דיוק גבוה.
ישנה גם הכללה של הפולינומים המתוארים עבור פונקציות של מספר משתנים.
הבינומי של ניוטון
פולינומים מפורסמים הם הפולינומים של ניוטון, שנגזרו על ידי מדענים כדי למצוא את המקדמים של הביטוי (x + y).
די להסתכל על כמה החזקות הראשונות של הפירוק הבינומי כדי לוודא שהנוסחה אינה טריוויאלית:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
לכל מקדם יש ביטוי שמאפשר לחשב אותו. עם זאת, שינון נוסחאות מסורבלות וביצוע הפעולות האריתמטיות הנחוצות בכל פעם יהיה מאוד לא נוח עבור אותם מתמטיקאים שזקוקים לרוב להרחבות כאלה. המשולש של פסקל הפך את החיים להרבה יותר קלים עבורם.
הדמות בנויה לפי העיקרון הבא. 1 כתוב בראש המשולש, ובכל שורה הבאה הוא הופך לספרה אחת נוספת, 1 מונח בקצוות, ואת אמצע השורה ממלאים בסכומים של שני מספרים סמוכים מהקודם.
כשאתה מסתכל על האיור, הכל מתבהר.
כמובן, השימוש בפולינומים במתמטיקה אינו מוגבל לדוגמאות הנתונות, הידועות ביותר.
