משולש שווה צלעות: מאפיינים, תכונות, שטח, היקף

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 05:26

בקורס גיאומטריה בבית הספר, כמות עצומה של זמן מוקדש ללימוד משולשים. התלמידים מחשבים זוויות, בונים חצויים וגבהים, מגלים כיצד צורות שונות זו מזו, והדרך הקלה ביותר למצוא את השטח וההיקף שלהן. נראה שזה לא מועיל בשום צורה בחיים, אבל לפעמים עדיין כדאי לדעת, למשל, איך לקבוע שמשולש הוא שווה צלעות או קהה. איך עושים את זה?

סוגי משולשים

שלוש נקודות שאינן שוכנות על אותו קו ישר, והקטעים המחברים ביניהן. נראה שהנתון הזה הוא הפשוט ביותר. איך משולשים יכולים להיראות אם יש להם רק שלוש צלעות? למעשה, ישנן מספר די גדול של אפשרויות, וחלקן זוכות לתשומת לב מיוחדת במסגרת קורס הגיאומטריה של בית הספר. משולש שווה צלעות הוא משולש שווה צלעות, כלומר כל הזוויות והצלעות שלו שוות. יש לו מספר מאפיינים יוצאי דופן, עליהם יידונו בהמשך.

לשוניים יש רק שתי צלעות שוות, וזה גם די מעניין. במשולשים ישרי זווית וקהות זווית, כפי שניתן לנחש, בהתאמה, אחת הזוויות היא ישרה או קהה. בְּזה הם גם יכולים להיות שווה שוקיים.

יש גם סוג מיוחד של משולש שנקרא מצרי. הצדדים שלו הם 3, 4 ו-5 יחידות. עם זאת, הוא מלבני. הוא האמין כי משולש כזה שימש באופן פעיל על ידי מודדים ואדריכלים מצריים לבניית זוויות ישרות. מאמינים שהפירמידות המפורסמות נבנו בעזרתה.

ועם זאת, כל הקודקודים של משולש יכולים לשכב על קו ישר אחד. במקרה זה, זה ייקרא מנוון, ואילו כל האחרים נקראים לא מנוונים. הם אחד ממקצועות הלימוד של גיאומטריה.

משולש שווה צלעות

כמובן, נתונים נכונים הם תמיד המעניינים ביותר. הם נראים מושלמים יותר, חינניים יותר. הנוסחאות לחישוב המאפיינים שלהן לרוב פשוטות וקצרות יותר מאשר לדמויות רגילות. זה חל גם על משולשים. אין זה מפתיע שתשומת לב רבה מוקדשת להם בלימוד גיאומטריה: תלמידי בית ספר לומדים להבחין בין דמויות רגילות מהשאר, וגם לדבר על כמה מהמאפיינים המעניינים שלהם.

שלטים ונכסים

כפי שאפשר לנחש מהשם, כל צלע במשולש שווה צלעות שווה לשתי האחרות. בנוסף, יש לו מספר מאפיינים שבזכותם ניתן לקבוע אם הנתון נכון או לא.

• כל הזוויות שלו שוות, ערכן הוא 60 מעלות;
• חצויים, גבהים ואמצעים שנמשכים מכל קודקוד זהים;
• למשולש רגיל יש 3 צירים של סימטריה, זהלא משתנה כשמסובבים אותו ב-120 מעלות.
• מרכז המעגל הכתוב הוא גם מרכז המעגל המוקף ונקודת החיתוך של החציונים, חצויים, גבהים וחצויים בניצב.

אם נצפה לפחות אחד מהסימנים לעיל, אז המשולש הוא שווה צלעות. עבור נתון רגיל, כל ההצהרות לעיל נכונות.

לכל המשולשים יש מספר מאפיינים יוצאי דופן. ראשית, הקו האמצעי, כלומר הקטע המחלק את שתי הצלעות לשניים ומקביל לשלישי, שווה למחצית הבסיס. שנית, סכום כל הזוויות של דמות זו תמיד שווה ל-180 מעלות. בנוסף, יש עוד קשר מעניין במשולשים. אז, מול הצד הגדול יותר נמצאת זווית גדולה יותר ולהיפך. אבל זה, כמובן, לא קשור למשולש שווה צלעות, כי כל הזוויות שלו שוות.

מעגלים רשומים וחמורים

אין זה נדיר שסטודנטים בקורס גיאומטריה לומדים גם כיצד צורות יכולות לתקשר זו עם זו. בפרט, לומדים עיגולים הכתובים במצולעים או מתוארים סביבם. על מה מדובר?

עיגול רשום הוא עיגול שכל צלעות המצולע משיקות עבורו. מתואר - זה שיש לו נקודות מגע עם כל הפינות. עבור כל משולש, תמיד אפשר לבנות את המעגל הראשון והשני, אבל רק אחד מכל סוג. הוכחות לשני אלה

משפטים ניתנים בקורס גיאומטריה של בית הספר.

בנוסף לחישוב הפרמטרים של המשולשים עצמם, חלק מהמשימות כוללות גם חישוב רדיוסים של עיגולים אלה. והנוסחאות עבור משולש שווה צלעות נראות כך:

r=a/√ ̅3;

R=a/2√ ̅3;

כאשר r הוא רדיוס המעגל הכתוב, R הוא רדיוס המעגל המוקף, a הוא אורך הצלע של המשולש.

חישוב גובה, היקף ושטח

הפרמטרים העיקריים, המחושבים על ידי תלמידי בית הספר תוך כדי לימוד גיאומטריה, נשארים ללא שינוי כמעט לכל נתון. אלו הם ההיקף, השטח והגובה. כדי להקל על החישוב, קיימות נוסחאות שונות.

לכן, ההיקף, כלומר אורך כל הצדדים, מחושב בדרכים הבאות:

P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, כאשר a היא הצלע של משולש רגיל, R הוא רדיוס המעגל המקיף, r הוא המעגל הכתוב.

גובה:

h=(√ ̅3/2)a, כאשר a הוא אורך הצלע.

לבסוף, הנוסחה לשטח של משולש שווה צלעות נגזרת מהנוסחה הסטנדרטית, כלומר מכפלה של מחצית הבסיס וגובהו.

S=(√ ̅3/4)a2, כאשר a הוא אורך הצלע.

כמו כן, ניתן לחשב ערך זה באמצעות הפרמטרים של המעגל המוקף או הכתוב. יש גם נוסחאות מיוחדות לכך:

S=3√ ̅3r²=(3√ ̅3/4)R^{2, כאשר r ו-R הם בהתאמה רדיוסים חרוטים ומעגלים מוקפים.}

בניין

עוד אחדסוג מעניין של משימה, כולל משולשים, קשור לצורך לצייר דמות כזו או אחרת באמצעות הסט המינימלי

כלים: מצפן וסרגל ללא חלוקות.

זה לוקח כמה צעדים כדי לבנות משולש מתאים רק עם הכלים האלה.

1. עליך לצייר עיגול עם כל רדיוס ובמרכזו בנקודה שרירותית A. יש לסמן אותו.
2. לאחר מכן, עליך לצייר קו ישר דרך הנקודה הזו.
3. צמתים של מעגל וקו ישר חייבים להיות מסומנים כ-B ו-C. כל הבנייה חייבת להתבצע בדיוק הכי גדול שאפשר.
4. לאחר מכן, עליך לבנות עיגול נוסף עם אותו רדיוס ומרכז בנקודה C או קשת עם הפרמטרים המתאימים. צמתים יסומנו כ-D ו-F.
5. נקודות B, F, D חייבות להיות מחוברות באמצעות קטעים. נבנה משולש שווה צלעות.

פתרון בעיות כאלה הוא בדרך כלל בעיה עבור תלמידי בית ספר, אבל מיומנות זו יכולה להיות שימושית בחיי היומיום.