הבעיה של גולדבך היא אחת הבעיות הוותיקות והמפותחות ביותר בהיסטוריה של כל המתמטיקה.
השערה זו הוכחה כנכונה עבור כל המספרים השלמים הנמוכים מ-4 × 1018, אך נותרה בלתי מוכחת למרות מאמצים ניכרים של מתמטיקאים.
Number
מספר גולדבך הוא מספר שלם זוגי חיובי שהוא סכום של זוג ראשוניים אי-זוגיים. צורה נוספת של השערת גולדבך היא שכל המספרים השלמים אפילו הגדולים מארבעה הם מספרי גולדבך.
הפרדה של מספרים כאלה נקראת מחיצה (או מחיצה) של גולדבך. להלן דוגמאות לקטעים דומים עבור מספרים זוגיים:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
גילוי ההשערה
לגולדבאך היה עמית בשם אוילר, שאהב לספור, לכתוב נוסחאות מורכבות ולהעלות תיאוריות בלתי פתירות. בכך הם היו דומים לגולדבך. אוילר עשה חידה מתמטית דומה עוד לפני גולדבך, איתו הואהתכתבות מתמדת. לאחר מכן הוא הציע הצעה שנייה בשולי כתב היד שלו, לפיה ניתן לכתוב מספר שלם הגדול מ-2 כסכום של שלושה ראשוניים. הוא ראה ש-1 הוא מספר ראשוני.
ידוע כעת כי שתי ההשערות דומות, אך נראה כי זו לא הייתה בעיה בזמנו. הגרסה המודרנית של הבעיה של גולדבך קובעת שכל מספר שלם גדול מ-5 ניתן לכתוב כסכום של שלושה ראשוניים. אוילר השיב במכתב מיום 30 ביוני 1742 והזכיר לגולדבך שיחה קודמת שניהלו ("… אז אנחנו מדברים על ההשערה המקורית (ולא השולית) הנובעת מההצהרה הבאה").
בעיית אוילר-גולדבאך
2 ואת המספרים הזוגיים שלו ניתן לכתוב כסכום של שני ראשוניים, שזו גם השערת גולדבך. במכתב מיום 30 ביוני 1742, ציין אוילר שכל מספר שלם זוגי הוא תוצאה של חיבור שני ראשוניים, שלדעתו הוא משפט מוגדר היטב, למרות שאינו יכול להוכיח זאת.
גרסה שלישית
הגרסה השלישית לבעיה של גולדבך (המקבילה לשתי הגרסאות האחרות) היא הצורה שבה ניתנת ההשערה בדרך כלל כיום. היא ידועה גם בתור השערת גולדבך ה"חזקה", ה"שווה" או ה"בינארית" כדי להבדיל בינה לבין ההשערה החלשה יותר המכונה כיום השערת גולדבך "חלשה", "מוזרה" או "שלישית". ההשערה החלשה קובעת שכל המספרים האי-זוגיים הגדולים מ-7 הם סכום של שלושה ראשוניים אי-זוגיים. ההשערה החלשה הוכחה ב-2013. ההשערה החלשה היאתוצאה של השערה חזקה. המסקנה ההפוכה והשערת גולדבאך החזקה נותרות בלתי מוכחות עד היום.
צ'ק
עבור ערכים קטנים של n, ניתן לאמת את בעיית גולדבך (ומכאן השערת גולדבך). לדוגמה, נילס פיפינג בשנת 1938 בדק בקפידה את ההשערה עד n ≦ 105. עם הופעת המחשבים הראשונים, חושבו עוד ערכים רבים של n.
Oliveira Silva ביצעה חיפוש מבוזר במחשב שאישר את ההשערה עבור n ≦ 4 × 1018 (ובדק פעמיים עד 4 × 1017) נכון ל-2013. ערך אחד מחיפוש זה הוא ש-3,325,581,707,333,960,528 הוא המספר הקטן ביותר שאין לו פיצול גולדבך עם ראשוני מתחת ל-9781.
Heuristics
הגרסה לצורה החזקה של השערת גולדבך היא כדלקמן: מכיוון שהכמות נוטה לאינסוף ככל ש-n גדל, אנו מצפים שלכל מספר שלם זוגי גדול יש יותר מייצוג אחד כסכום של שני ראשוניים. אבל למעשה, יש הרבה ייצוגים כאלה. מי פתר את בעיית גולדבך? אבוי, עדיין אף אחד.
טיעון היוריסטי זה למעשה מעט לא מדויק, מכיוון שהוא מניח ש-m אינו תלוי סטטיסטית ב-n. למשל, אם m הוא אי זוגי, אז n - m הוא גם אי זוגי, ואם m הוא זוגי, אז n - m הוא זוגי, וזהו יחס לא טריוויאלי (מורכב), כי מלבד המספר 2, רק אי זוגי. מספרים יכולים להיות ראשוניים. באופן דומה, אם n מתחלק ב-3 ו-m כבר היה ראשוני שונה מ-3, אז n - m הוא גם הדדיראשוני עם 3, כך שסביר יותר שיהיה מספר ראשוני לעומת מספר כולל. בביצוע ניתוח מסוג זה בזהירות רבה יותר, הרדי וליטלווד בשנת 1923, כחלק מהשערת הטפול הפשוטה המפורסמת שלהם של הארדי-ליטלווד, ביצעו את החידוד לעיל של התיאוריה כולה. אבל זה לא עזר לפתור את הבעיה עד כה.
השערה חזקה
השערת גולדבך החזקה הרבה יותר מסובכת מהשערת גולדבך החלשה. שנירלמן הוכיח מאוחר יותר שניתן לכתוב כל מספר טבעי הגדול מ-1 כסכום של לכל היותר ראשוניים C, כאשר C הוא קבוע שניתן לחישוב ביעילות. מתמטיקאים רבים ניסו לפתור אותה, ספירה והכפלה של מספרים, הציעו נוסחאות מורכבות וכו'. אבל הם מעולם לא הצליחו, כי ההשערה מורכבת מדי. שום נוסחאות לא עזרו.
אבל כדאי להתרחק מעט משאלת הוכחת הבעיה של גולדבך. קבוע שנירלמן הוא מספר C הקטן ביותר עם תכונה זו. שנירלמן עצמו קיבל C <800 000. תוצאה זו נוספה לאחר מכן על ידי מחברים רבים, כמו אוליבייה רמארט, שהראה ב-1995 שכל מספר זוגי n ≧ 4 הוא למעשה הסכום של שישה ראשוניים לכל היותר. התוצאה המפורסמת ביותר המשויכת כיום לתיאוריית גולדבאך מאת Harald Helfgott.
פיתוח נוסף
בשנת 1924, הארדי וליטלווד קיבלו את ה-G. R. H. הראה שמספר המספרים הזוגיים עד X, המפרים את בעיית גולדבך הבינארית, קטן בהרבה מאשר עבור c.
בשנת 1973 Chen Jingyunניסיתי לפתור את הבעיה, אבל זה לא עבד. הוא גם היה מתמטיקאי, אז הוא אהב מאוד לפתור חידות ולהוכיח משפטים.
בשנת 1975, שני מתמטיקאים אמריקאים הראו שיש קבועים חיוביים c ו-C - אלה שעבורם N גדול מספיק. בפרט, לקבוצת המספרים השלמים הזוגיים יש צפיפות אפס. כל זה היה שימושי לעבודה על פתרון בעיית גולדבך השלישית, שתתרחש בעתיד.
בשנת 1951, ליניק הוכיח את קיומו של K קבוע כך שכל מספר זוגי גדול מספיק הוא תוצאה של הוספת מספר ראשוני אחד ומספר ראשוני נוסף זה לזה. רוג'ר הית'-בראון ויאן-כריסטוף שלאג'-פוכטה מצאו ב-2002 ש-K=13 עובד. זה מאוד מעניין עבור כל האנשים שאוהבים להוסיף אחד לשני, לחבר מספרים שונים ולראות מה קורה.
פתרון לבעיית גולדבך
כמו בהשערות ידועות רבות במתמטיקה, ישנן מספר הוכחות לכאורה להשערת גולדבך, שאף אחת מהן אינה מקובלת על הקהילה המתמטית.
למרות שההשערה של גולדבך מרמזת שכל מספר שלם חיובי גדול מאחד יכול להיכתב כסכום של שלושה מספרים ראשוניים לכל היותר, לא תמיד ניתן למצוא סכום כזה באמצעות אלגוריתם חמדני המשתמש במספר הראשוני הגדול ביותר האפשרי. בכל שלב. רצף ה-Pillai עוקב אחר המספרים שדורשים הכי הרבה ראשוניים בייצוגים החמדניים שלהם. לכן, הפתרון לבעיית גולדבךעדיין בסימן שאלה. עם זאת, סביר להניח שבמוקדם או במאוחר זה ייפתר.
ישנן תיאוריות דומות לבעיה של גולדבך שבהן מספרים ראשוניים מוחלפים בקבוצות ספציפיות אחרות של מספרים, כגון ריבועים.
כריסטיאן גולדבך
כריסטיאן גולדבאך היה מתמטיקאי גרמני שלמד גם משפטים. הוא זכור היום בגלל השערת גולדבך.
הוא עבד כמתמטיקאי כל חייו - הוא אהב מאוד להוסיף מספרים, להמציא נוסחאות חדשות. הוא גם ידע כמה שפות, שבכל אחת מהן ניהל את יומנו האישי. שפות אלו היו גרמנית, צרפתית, איטלקית ורוסית. כמו כן, על פי כמה מקורות, הוא דיבר אנגלית ולטינית. הוא היה ידוע כמתמטיקאי ידוע למדי במהלך חייו. גולדבך היה גם קשור די הדוק עם רוסיה, כי היו לו עמיתים רוסים רבים וחסדה אישית של משפחת המלוכה.
הוא המשיך לעבוד באקדמיה למדעים של סנט פטרבורג שזה עתה נפתחה בשנת 1725 כפרופסור למתמטיקה והיסטוריון של האקדמיה. בשנת 1728, כאשר פטר השני הפך לצאר רוסיה, הפך גולדבך למנטור שלו. בשנת 1742 הוא נכנס למשרד החוץ הרוסי. כלומר, הוא בעצם עבד בארצנו. באותה תקופה הגיעו לרוסיה מדענים, סופרים, פילוסופים ואנשי צבא רבים, כי רוסיה באותה תקופה הייתה מדינה של הזדמנויות כמו אמריקה. רבים עשו כאן קריירה. והגיבור שלנו אינו יוצא מן הכלל.
כריסטיאן גולדבך היה רב לשוני - הוא כתב יומן בגרמנית ובלטינית, מכתביונכתבו בגרמנית, לטינית, צרפתית ואיטלקית, ולמסמכים רשמיים הוא השתמש ברוסית, גרמנית ולטינית.
הוא מת ב-20 בנובמבר 1764 בגיל 74 במוסקבה. היום שבו הבעיה של גולדבך תיפתר יהיה מחווה הולמת לזכרו.
מסקנה
גולדבאך היה מתמטיקאי גדול שנתן לנו את אחת התעלומות הגדולות ביותר של המדע הזה. לא ידוע אם אי פעם זה ייפתר או לא. אנחנו רק יודעים שהרזולוציה כביכול שלו, כמו במקרה של משפט פרמה, תפתח נקודות מבט חדשות למתמטיקה. מתמטיקאים אוהבים מאוד לפתור ולנתח אותו. זה מאוד מעניין וסקרן מנקודת מבט היוריסטית. אפילו תלמידי מתמטיקה אוהבים לפתור את בעיית גולדבך. איך אחרת? אחרי הכל, אנשים צעירים נמשכים כל הזמן לכל דבר בהיר, שאפתני ובלתי פתור, כי על ידי התגברות על קשיים אפשר לטעון את עצמו. בוא נקווה שבקרוב הבעיה הזו תיפתר על ידי מוחות צעירים, שאפתניים, סקרנים.
