במתמטיקה ועיבוד, הרעיון של אות אנליטי (בקיצור - C, AC) הוא פונקציה מורכבת שאין לה רכיבי תדר שליליים. החלקים האמיתיים והדמיוניים של תופעה זו הם פונקציות אמיתיות הקשורות זו לזו על ידי הטרנספורמציה של הילברט. אות אנליטי היא תופעה שכיחה למדי בכימיה, שמהותה דומה להגדרה המתמטית של מושג זה.
הופעות
ייצוג אנליטי של פונקציה אמיתית הוא אות אנליטי המכיל את הפונקציה המקורית ואת הטרנספורמציה ההילברטית שלה. ייצוג זה מקל על מניפולציות מתמטיות רבות. הרעיון המרכזי הוא שמרכיבי התדר השליליים של טרנספורמציה (או ספקטרום) פורייה של פונקציה אמיתית הם מיותרים עקב הסימטריה ההרמיטית של ספקטרום כזה. ניתן להשליך את רכיבי התדר השליליים הללו בלעדיהםאובדן מידע, בתנאי שאתה רוצה להתמודד עם פונקציה מורכבת במקום זאת. זה הופך תכונות מסוימות לנגישות יותר ומקל על גזירת טכניקות אפנון ודמודולציה כגון SSB.
רכיבים שליליים
כל עוד לפונקציה המטופלת אין רכיבי תדר שליליים (כלומר היא עדיין אנליטית), המרה ממורכב חזרה לאמיתי היא פשוט עניין של השלכת החלק הדמיוני. הייצוג האנליטי הוא הכללה של המושג וקטור: בעוד וקטור מוגבל לאמפליטודה, פאזה ותדר משתנה בזמן, ניתוח איכותי של אות אנליטי מאפשר פרמטרים משתנים בזמן.
משרעת מיידית, פאזה ותדירות מיידית משמשים ביישומים מסוימים למדידה וזיהוי של תכונות מקומיות של C. יישום נוסף של הייצוג האנליטי מתייחס לדה-מודולציה של אותות מאופננים. קואורדינטות קוטביות מפרידות בצורה נוחה את ההשפעות של אפנון AM ופאזה (או תדר) ומפרקות למעשה סוגים מסוימים.
אז מסנן פשוט עם מעבר נמוך עם מקדמים אמיתיים יכול לחתוך את החלק המעניין. מניע נוסף הוא להוריד את התדירות המקסימלית, מה שמוריד את התדירות המינימלית לדגימה שאינה כינוי. שינוי התדר אינו מערער את התועלת המתמטית של הייצוג. לפיכך, במובן זה, המרה למטה היא עדיין אנליטית. עם זאת, שחזור הייצוג האמיתיזה כבר לא עניין פשוט של פשוט לחלץ את הרכיב האמיתי. ייתכן שתידרש המרה כלפי מעלה, ואם האות נדגם (זמן בדיד), עשויה להידרש גם אינטרפולציה (העלאת דגימה) כדי למנוע כינוי.
משתנים
המושג מוגדר היטב עבור תופעות של משתנה בודד, שהוא בדרך כלל זמני. זמניות זו מבלבלת מתמטיקאים מתחילים רבים. עבור שני משתנים או יותר, ניתן להגדיר C אנליטית בדרכים שונות, ושתי גישות מוצגות להלן.
החלק האמיתי והדמיוני של תופעה זו תואמים לשני אלמנטים של אות מונוגני בעל ערך וקטור, כפי שהוגדר עבור תופעות דומות עם משתנה אחד. עם זאת, ניתן להרחיב את המונוגני למספר שרירותי של משתנים בצורה פשוטה, תוך יצירת פונקציית וקטור ממדית (n+1) למקרה של אותות n משתנים.
המרת איתות
ניתן להמיר אות אמיתי לאות אנליטי על ידי הוספת רכיב דמיוני (Q), שהוא טרנספורמציה הילברט של הרכיב האמיתי.
אגב, זה לא חדש בעיבוד הדיגיטלי שלו. אחת הדרכים המסורתיות להפקת פס צד אחד (SSB) AM, שיטת הפאזה, כוללת יצירת אותות על ידי יצירת טרנספורמציה של הילברט של אות אודיו ברשת נגדים-קבלים אנלוגיים. מכיוון שיש לו רק תדרים חיוביים, קל להמיר אותו לאות RF מאופנן עם פס צד אחד בלבד.
נוסחאות הגדרה
ביטוי אות אנליטי הוא פונקציה מורכבת הולומורפית המוגדרת על הגבול של חצי המישור המורכב העליון. הגבול של חצי המישור העליון עולה בקנה אחד עם האקראי, ולכן C ניתן על ידי המיפוי fa: R → C. מאז אמצע המאה הקודמת, כאשר דניס גאבור הציע ב-1946 להשתמש בתופעה זו כדי לחקור משרעת ופאזה קבועים, האות מצא יישומים רבים. המוזרות של תופעה זו הודגשה [Vak96], שם הוכח שרק ניתוח איכותי של האות האנליטי מתאים לתנאים הפיזיקליים של משרעת, פאזה ותדר.
ההישגים האחרונים
במהלך העשורים האחרונים, קיים עניין בחקר האותות בממדים רבים, המונע על ידי בעיות המתעוררות בתחומים החל מעיבוד תמונה/וידאו ועד לתהליכי תנודה רב-ממדיים בפיזיקה, כגון סיסמיים, אלקטרומגנטיים ותהליכים. גלי כבידה. מקובל היה שכדי להכליל נכון את C האנליטי (ניתוח איכותי) למקרה של מספר ממדים, יש להסתמך על בניה אלגברית המרחיבה את המספרים המרוכבים הרגילים בצורה נוחה. קונסטרוקציות כאלה נקראות בדרך כלל מספרים היפר-מורכבים [SKE].
לבסוף, זה אמור להיות אפשרי לבנות אות אנליטי היפר-קומפלקס fh: Rd → S, שבו מיוצגת איזו מערכת אלגברית היפר-מורכבת כללית, שמרחיבה באופן טבעי את כל המאפיינים הנדרשים כדי להשיג משרעת מיידית ושלב.
Study
מספר מאמרים מוקדשים לנושאים שונים הקשורים לבחירה הנכונה של מערכת המספרים ההיפר-מורכבים, ההגדרה של התמרת פורייה ההיפר-קומפלקס ותמורות הילברט שבריריות לחקר המשרעת והפאזה המיידית. רוב העבודה הזו התבססה על מאפיינים של מרחבים שונים כמו Cd, קווטרניונים, אלגברות קלירון וקונסטרוקציות של קיילי-דיקסון.
לאחר מכן, נפרט רק חלק מהעבודות המוקדשות לחקר האות בממדים רבים. ככל הידוע לנו, העבודות הראשונות על השיטה הרב-משתנית התקבלו בתחילת שנות ה-90. אלה כוללים את עבודתו של אל [Ell92] על טרנספורמציות היפר-מורכבות; עבודתו של בולו על הכללה של שיטת התגובה האנליטית (אות אנליטי) למדידות רבות [BS01] ועבודתם של פלסברג וזומר על אותות מונוגניים.
סיכויים פוטנציאליים נוספים
אות ההיפר-מורכב צפוי להרחיב את כל המאפיינים השימושיים שיש לנו במקרה ה-1D. קודם כל, עלינו להיות מסוגלים לחלץ ולהכליל את המשרעת והפאזה המיידית למדידות. שנית, ספקטרום פורייה של אות אנליטי מורכב נשמר רק בתדרים חיוביים, ולכן אנו מצפים שלטרנספורמציה של פורייה ההיפר-קומפלקס תהיה ספקטרום בעל ערך יתר משלה, אשר יישמר רק ברבע חיובי כלשהו של המרחב ההיפר-מורכב. כי זה מאוד חשוב.
שלישי, צמוד חלקים של מושג מורכבשל האות האנליטי קשורים להתמרה של הילברט, ואנו יכולים לצפות שהרכיבים המצומדים במרחב ההיפר-קומפלקס חייבים להיות קשורים גם לשילוב כלשהו של התמרות הילברט. ולבסוף, אכן, יש להגדיר אות היפר-מורכב כהרחבה של פונקציה הולומורפית היפר-מורכבת כלשהי של מספר משתנים היפר-קומפלקסים המוגדרים על הגבול של צורה כלשהי במרחב היפר-מורכב.
אנחנו מטפלים בבעיות האלה בסדר עוקב. קודם כל, נתחיל בהסתכלות על נוסחת האינטגרל של פורייה ונראה שהטרנספורמציה של הילברט ל-1-D קשורה לנוסחת האינטגרל המשונה של פורייה. עובדה זו מאפשרת לנו להגדיר את המשרעת, הפאזה והתדר המיידית ללא כל התייחסות למערכות מספרים היפר-מורכבות ופונקציות הולומורפיות.
שינוי אינטגרלים
אנו ממשיכים על ידי הרחבת הנוסחה האינטגרלית של פורייה שהשתנתה למספר ממדים, וקובעים את כל הרכיבים המוסטים לפאזה הדרושים שנוכל לאסוף לאמפליטודה ולפאזה מיידיות. שנית, נפנה לשאלת קיומן של פונקציות הולומורפיות של מספר משתנים היפר-מורכבים. לאחר [Sch93] מסתבר שהאלגברה ההיפר-קומפלקסית הקומוטטיבית והאסוציאטיבית שנוצרת על ידי קבוצה של מחוללים אליפטיים (e2i=−1) היא מרחב מתאים לחיות אות אנליטי היפר-מורכב, אנו קוראים לאלגברה היפר-מורכבת כזו מרחב שייפרס ומציינים זהSd.
לכן, ההיפר-קומפלקס של אותות אנליטיים מוגדר כפונקציה הולומורפית על גבול הפולידיסק / החצי העליון של המישור במרחב היפר-קומפלקס כלשהו, אותו אנו מכנים מרחב Schaefers הכללי, ומסומן ב-Sd. לאחר מכן אנו צופים בתקפות הנוסחה האינטגרלית של Cauchy עבור הפונקציות Sd → Sd, אשר מחושבות על פני משטח היפר-שטח בתוך פולידיסק ב-Sd ומפיקות את התמרות הילברט השבריות המקבילות המתייחסות לרכיבים המצומדים ההיפר-קומפלקסים. לבסוף, מסתבר שהטרנספורמציה של פורייה עם ערכים במרחב שייפרס נתמכת רק בתדרים לא שליליים. הודות למאמר זה, למדת מהו אות אנליטי.
