במתמטיקה, יש את המושג "קבוצה", כמו גם דוגמאות להשוואה של אותן קבוצות ביניהן. השמות של סוגי השוואת קבוצות הם המילים הבאות: ביגיון, הזרקה, ניתוח. כל אחד מהם מתואר בפירוט רב יותר להלן.
תספורת היא… מה זה?
קבוצה אחת של אלמנטים מהקבוצה הראשונה מותאמת לקבוצת האלמנטים השנייה מהקבוצה השנייה בצורה זו: כל אלמנט אחד של הקבוצה הראשונה מותאם ישירות לרכיב אחד נוסף של הקבוצה השנייה, ושם אין מצב עם מחסור או ספירה של רכיבים משתי קבוצות של קבוצות או משתי קבוצות.
ניסוח המאפיינים העיקריים:
- אלמנט אחד לאחד.
- אין אלמנטים נוספים בעת התאמה והנכס הראשון נשמר.
- אפשר להפוך את המיפוי תוך שמירה על התצוגה הכללית.
- בייקציה היא פונקציה שהיא גם הזרקה וגם ניתוחית.
בייקציה מנקודת המבט המדעית
פונקציות בייקטיביות הן בדיוק איזומורפיזמים בקטגוריה "סט וקבוצת פונקציות". עם זאת, בלקציות אינן תמיד איזומורפיזמים עבור קטגוריות מורכבות יותר. לדוגמה, בקטגוריה מסוימת של קבוצות, מורפיזמים חייבים להיות הומומורפיזמים, שכן עליהם לשמר את מבנה הקבוצה. לכן, איזומורפיזמים הם איזומורפיזמים קבוצתיים, שהם הומומורפיזמים משולבים.
המושג של "התכתבות אחד לאחד" מוכלל לפונקציות חלקיות, שם הן נקראות ביגיון חלקי, אם כי שילוב חלקי הוא מה שצריך להיות זריקה. הסיבה להרפיה זו היא שהפונקציה החלקית (התקינה) אינה מוגדרת עוד עבור חלק מהתחום שלה. לפיכך, אין סיבה טובה להגביל את הפונקציה ההפוכה שלו לפונקציה שלמה, כלומר, מוגדרת בכל מקום בתחום שלה. האוסף של כל ההצמדות החלקיות לקבוצת בסיס נתונה נקראת חצי קבוצה הפוכה סימטרית.
דרך נוספת להגדיר את אותו מושג: כדאי לומר ששילוב חלקי של קבוצות מ-A ל-B הוא כל יחס R (פונקציה חלקית) עם התכונה ש-R הוא גרף חילוף f:A'→B ' כאשר A' היא תת-קבוצה של A ו-B' היא תת-קבוצה של B.
כאשר שילוב חלקי נמצא על אותה קבוצה, זה נקרא לפעמים טרנספורמציה חלקית של אחד לאחד. דוגמה לכך היא טרנספורמציה של מוביוס שהוגדרה זה עתה במישור המורכב, ולא השלמתה במישור המורכב המורחב.
הזרקה
קבוצה אחת של רכיבים מהקבוצה הראשונה מותאמת לקבוצת האלמנטים השנייה מהקבוצה השנייה בצורה זו: כל רכיב אחד של הקבוצה הראשונה מותאם לרכיב אחד נוסף מהשני, אך לא כולם הם מומרים לזוגות. מספר האלמנטים הבלתי מזווגים תלוי בהבדל במספר האלמנטים האלה ממש בכל אחת מהקבוצות: אם קבוצה אחת מורכבת משלושים ואחד אלמנטים, ובשנייה יש שבעה נוספים, אז מספר האלמנטים הבלתי מזווגים הוא שבעה. הזרקה מכוונת לסט. ביגיון והזרקה דומים, אבל לא יותר מאשר דומים.
Surjection
קבוצת אלמנטים אחת מהקבוצה הראשונה מותאמת לקבוצת האלמנטים השנייה מהקבוצה השנייה באופן זה: כל אלמנט של קבוצה כלשהי יוצר זוג, גם אם יש הבדל בין מספר האלמנטים. מכאן נובע שאלמנט אחד מקבוצה אחת יכול להתאים למספר אלמנטים מקבוצה אחרת.
לא תפקודית, לא זריקה, ולא פונקציה כירולית
זוהי פונקציה של צורה צירטיבית וניתוחית, אבל עם שארית (לא מזווגת)=> הזרקה. בפונקציה כזו, ברור שיש קשר בין ביגיון לניתוח, מכיוון שהיא כוללת ישירות את שני סוגי השוואות הקבוצות הללו. לכן, המכלול של כל מיני פונקציות אלו אינו אחד מהם בנפרד.
הסבר על כל מיני פונקציות
לדוגמה, המתבונן מוקסם מהדברים הבאים. יש תחרויות חץ וקשת. כל אחד מהמשתתפים רוצים לפגוע במטרה (על מנת להקל על המשימה: לא נלקח בחשבון בדיוק היכן פוגע החץ). שלושה משתתפים בלבד ושלושה יעדים - זהו האתר (האתר) הראשון לטורניר. בקטעים הבאים, מספר הקשתים נשמר, אך מספר המטרות משתנה: בשנייה - ארבע מטרות, בשנייה - גם ארבע, וברביעית - חמש. כל משתתף יורה על כל מטרה.
- המקום הראשון לטורניר. הקשת הראשון פוגע במטרה אחת בלבד. השני פוגע במטרה אחת בלבד. השלישי חוזר אחרי האחרים, וכל הקשתים פוגעים במטרות שונות: אלה שממול. כתוצאה מכך, 1 (הקשת הראשון) פגע במטרה (א), 2 - ב (ב), 3 - ב (ג). נצפתה התלות הבאה: 1 – (א), 2 – (ב), 3 – (ג). המסקנה תהיה פסק הדין שהשוואה כזו של קבוצות היא מזימה.
- הפלטפורמה השנייה לטורניר. הקשת הראשון פוגע במטרה אחת בלבד. השני גם פוגע רק במטרה אחת. השלישי לא באמת מנסה וחוזר על הכל אחרי האחרים, אבל המצב זהה - כל הקשתים פוגעים במטרות שונות. אבל, כאמור, יש כבר ארבעה יעדים בפלטפורמה השנייה. תלות: 1 - (א), 2 - (ב), 3 - (ג), (ד) - אלמנט לא מזווג של הסט. במקרה זה, המסקנה תהיה פסק הדין שהשוואת קבוצה כזו היא זריקה.
- המקום השלישי לטורניר. הקשת הראשון פוגע במטרה אחת בלבד. השני פוגע שוב במטרה אחת בלבד. השלישי מחליט להתאסף ופוגע במטרה השלישית והרביעית. כתוצאה מכך, התלות: 1 -(א), 2 - (ב), 3 - (ג), 3 - (ד). כאן, המסקנה תהיה השיפוט שהשוואה כזו של קבוצות היא השערה.
- הפלטפורמה הרביעית לטורניר. עם הראשון, הכל כבר ברור, הוא פוגע רק במטרה אחת, שבקרוב לא יהיה בה מקום למכות משעממות ממילא. כעת השני לוקח על עצמו את התפקיד של השלישי עדיין האחרון ושוב פוגע רק במטרה אחת, וחוזר על עצמו אחרי הראשון. השלישי ממשיך לשלוט בעצמו ואינו מפסיק להכניס את החץ שלו למטרה השלישית והרביעית. החמישי, לעומת זאת, עדיין היה מעבר לשליטתו. אז, תלות: 1 - (א), 2 - (ב), 3 - (ג), 3 - (ד), (ה) - אלמנט לא מזווג של קבוצת המטרות. מסקנה: השוואה כזו של קבוצות היא לא ניתוח, לא הזרקה, ולא תערובת.
עכשיו בניית הזרקה, הזרקה או הזרקה לא תהיה בעיה, כמו גם מציאת הבדלים ביניהם.
