כמה בעיות במתמטיקה דורשות את היכולת לחשב את השורש הריבועי. בעיות אלו כוללות פתרון משוואות מסדר שני. במאמר זה נציג שיטה יעילה לחישוב שורשים ריבועיים ומשתמשים בה בעבודה עם נוסחאות לשורשים של משוואה ריבועית.
מהו שורש ריבועי?
במתמטיקה, מושג זה מתאים לסמל √. נתונים היסטוריים אומרים שהחל להשתמש בו לראשונה בסביבות המחצית הראשונה של המאה ה-16 בגרמניה (העבודה הגרמנית הראשונה על אלגברה מאת כריסטוף רודולף). מדענים מאמינים שסמל זה הוא אות לטינית שעברה שינוי צורה (radix פירושו "שורש" בלטינית).
השורש של כל מספר שווה לערך כזה, שהריבוע שלו מתאים לביטוי השורש. בשפת המתמטיקה, הגדרה זו תיראה כך: √x=y אם y2=x.
השורש של מספר חיובי (x > 0) הוא גםמספר חיובי (y > 0), אבל אם השורש נלקח ממספר שלילי (x < 0), אז התוצאה שלו כבר תהיה מספר מרוכב, כולל היחידה הדמיונית i.
להלן שתי דוגמאות פשוטות:
√9=3 כי 32 =9; √(-9)=3i כי i2=-1.
נוסחה האיטרטיבית של הרון למציאת שורשים מרובעים
הדוגמאות לעיל פשוטות מאוד, וחישוב השורשים בהן אינו קשה. קשיים מתחילים להופיע כבר במציאת ערכי השורש לכל ערך שלא ניתן לייצגו כריבוע של מספר טבעי, למשל √10, √11, √12, √13, שלא לדבר על העובדה שבפועל זה הכרחי כדי למצוא שורשים למספרים שאינם שלמים: למשל √(12, 15), √(8, 5) וכן הלאה.
בכל המקרים לעיל, יש להשתמש בשיטה מיוחדת לחישוב השורש הריבועי. כיום ידועות כמה שיטות כאלה: למשל הרחבה בסדרת טיילור, חלוקה לפי עמודה ועוד כמה. מבין כל השיטות המוכרות, אולי הפשוטה והיעילה ביותר היא השימוש בנוסחה האיטרטיבית של הרון, הידועה גם בתור השיטה הבבלית לקביעת שורשים ריבועיים (יש ראיות שהבבלים הקדמונים השתמשו בה בחישוביהם המעשיים).
יהיה צורך לקבוע את הערך של √x. הנוסחה למציאת השורש הריבועי היא כדלקמן:
an+1=1/2(a+x/a), כאשר limn->∞(a)=> x.
פענח את הסימון המתמטי הזה. כדי לחשב √x, עליך לקחת מספר כלשהו a0 (זה יכול להיות שרירותי, אבל לתוצאה מהירה, עליך לבחור אותו כך ש(a0) 2 היה קרוב ככל האפשר ל-x, ולאחר מכן החלף אותו בנוסחת השורש הריבועי שצוינה וקבל מספר חדש a1, שכבר יהיה להיות קרוב יותר לערך הרצוי. יש צורך להחליף את a1 בביטוי ולקבל 2 הליך זה יש לחזור על הפעולה עד לקבלת הדיוק הנדרש.
דוגמה ליישום הנוסחה האיטרטיבית של הרון
האלגוריתם שתואר לעיל להשגת השורש הריבועי של מספר נתון עשוי להישמע די מסובך ומבלבל עבור רבים, אבל במציאות הכל מתברר הרבה יותר פשוט, מכיוון שהנוסחה הזו מתכנסת מהר מאוד (במיוחד אם מספר מזל נבחר 0).
בוא ניקח דוגמה פשוטה: אנחנו צריכים לחשב √11. אנו בוחרים 0=3, מכיוון ש-32=9, שהוא קרוב יותר ל-11 מ-42=16. החלפה לתוך הנוסחה, נקבל:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
אין טעם להמשיך בחישובים, מכיוון שהשגנו ש-2 ו-3 מתחילים להיות שונים רק בעשרוני החמישי מקום. לפיכך, זה היה מספיק כדי ליישם רק 2 פעמים את הנוסחהחשב √11 עד 0.0001.
כיום, מחשבונים ומחשבים נמצאים בשימוש נרחב לחישוב שורשים, עם זאת, כדאי לזכור את הנוסחה המסומנת כדי להיות מסוגל לחשב באופן ידני את ערכם המדויק.
משוואות מסדר שני
ההבנה מהו שורש ריבועי והיכולת לחשב אותו משמשת בעת פתרון משוואות ריבועיות. משוואות אלו הן שוויון עם אחד לא ידוע, שצורתם הכללית מוצגת באיור שלהלן.
כאן c, b ו-a הם כמה מספרים, ו-a אסור להיות שווה לאפס, והערכים של c ו-b יכולים להיות שרירותיים לחלוטין, כולל אפס.
כל ערכים של x שמקיימים את השוויון המצוין באיור נקראים השורשים שלו (אין לבלבל מושג זה עם השורש הריבועי √). מכיוון שלמשוואה הנבדקת יש את הסדר השני (x2), אז לא יכולים להיות יותר משני מספרים לשורשים שלה. בואו נסתכל כיצד למצוא את השורשים הללו בהמשך המאמר.
מציאת השורשים של משוואה ריבועית (נוסחה)
שיטה זו לפתרון הסוג הנחשב של שוויון נקראת גם אוניברסלית, או השיטה באמצעות המבחין. זה יכול להיות מיושם על כל משוואות ריבועיות. הנוסחה למבחין ולשורשים של המשוואה הריבועית היא כדלקמן:
זה מראה שהשורשים תלויים בערך של כל אחד משלושת המקדמים של המשוואה. יתר על כן, החישובx1 שונה מהחישוב x2 רק בסימן שלפני השורש הריבועי. הביטוי הרדיקלי, השווה ל-b2 - 4ac, הוא לא יותר מאשר המפלה של השוויון הנחשב. המבחין בנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית משחק תפקיד חשוב מכיוון שהוא קובע את מספר וסוג הפתרונות. אז אם הוא אפס, אז יהיה רק פתרון אחד, אם הוא חיובי, אז למשוואה יש שני שורשים ממשיים, לבסוף, המבחין השלילי מוביל לשני שורשים מורכבים x1 ו x 2.
משפט וייטה או כמה מאפיינים של השורשים של משוואות מסדר שני
בסוף המאה ה-16, אחד ממייסדי האלגברה המודרנית, הצרפתי פרנסואה ויאט, שחקר משוואות מסדר שני, הצליח להשיג את תכונות השורשים שלה. מבחינה מתמטית, ניתן לכתוב אותם כך:
x1 + x2=-b / a ו-x1 x 2=c / a.
כל אחד יכול בקלות להשיג את שני השוויון, לשם כך יש צורך לבצע רק את הפעולות המתמטיות המתאימות עם השורשים המתקבלים באמצעות הנוסחה עם המבחין.
ניתן לכנות את השילוב של שני הביטויים הללו, בצדק, הנוסחה השנייה של השורשים של משוואה ריבועית, המאפשרת לנחש את פתרונותיה מבלי להשתמש באבחון. יש לציין כאן שלמרות ששני הביטויים תקפים תמיד, נוח להשתמש בהם כדי לפתור משוואה רק אם ניתן לחשב אותה.
המשימה לגבש את הידע הנרכש
בואו נפתור בעיה מתמטית שבה נדגים את כל הטכניקות הנדונות במאמר. תנאי הבעיה הם כדלקמן: עליך למצוא שני מספרים שהמוצר עבורם הוא -13, והסכום הוא 4.
תנאי זה מזכיר מיד את משפט וייטה, תוך יישום הנוסחאות של סכום השורשים הריבועיים והמכפלה שלהם, אנו כותבים:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
בהנחה של a=1, אז b=-4 ו-c=-13. מקדמים אלה מאפשרים לנו לכתוב משוואה מסדר שני:
x2 - 4x - 13=0.
השתמש בנוסחה עם המבחין, נקבל את השורשים הבאים:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
כלומר, המשימה צומצמה למציאת המספר √68. שים לב ש-68=417, ואז באמצעות מאפיין השורש הריבועי, נקבל: √68=2√17.
עכשיו בואו נשתמש בנוסחת השורש הריבועי הנחשב: a0=4, ואז:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
אין צורך לחשב 3 מכיוון שהערכים שנמצאו נבדלים ב-0.02 בלבד. לפיכך, √68=8.246. החלפתו בנוסחה של x 1, 2, אנחנו מקבלים:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 ו-x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
כפי שאתה יכול לראות, סכום המספרים שנמצאו הוא אכן 4, אבל אם תמצא את המכפלה שלהם, הוא יהיה שווה ל-12,999, אשר עונה על מצב הבעיה עם דיוק של 0.001.
