קינמטיקה היא חלק מהפיסיקה המחשיבה את חוקי התנועה של גופים. ההבדל שלו מהדינמיקה הוא שהוא לא מתחשב בכוחות הפועלים על גוף נע. מאמר זה מוקדש לשאלת הקינמטיקה של תנועה סיבובית.
תנועה סיבובית וההבדל שלה מתנועה קדימה
אם תשימו לב לעצמים הנעים שמסביב, תוכלו לראות שהם נעים בקו ישר (המכונית נוסעת על הכביש, המטוס טס בשמיים), או במעגל (ה אותה מכונית נכנסת לפנייה, סיבוב הגלגל). ניתן לצמצם סוגים מורכבים יותר של תנועה של עצמים, כקירוב ראשון, לשילוב של שני הסוגים שצוינו.
תנועה מתקדמת כרוכה בשינוי הקואורדינטות המרחביות של הגוף. במקרה זה, היא נחשבת לעתים קרובות כנקודה חומרית (מידות גיאומטריות אינן נלקחות בחשבון).
תנועה סיבובית היא סוג של תנועה שבההמערכת נעה במעגל סביב ציר כלשהו. יתר על כן, האובייקט במקרה זה נחשב לעתים רחוקות כנקודה חומרית, לרוב נעשה שימוש בקירוב אחר - גוף נוקשה לחלוטין. המשמעות האחרונה היא שהכוחות האלסטיים הפועלים בין אטומי הגוף מוזנחים וההנחה היא שהממדים הגיאומטריים של המערכת אינם משתנים במהלך הסיבוב. המקרה הפשוט ביותר הוא סרן קבוע.
קינמטיקה של תנועה מתרגלת וסיבובית מצייתת לאותם חוקים של ניוטון. נעשה שימוש בכמויות פיזיקליות דומות לתיאור שני סוגי התנועה.
אילו כמויות מתארות תנועה בפיזיקה?
קינמטיקה של תנועה סיבובית ותרגונית משתמשת בשלוש כמויות בסיסיות:
- השביל עבר. נסמן אותו באות L עבור תרגום ו-θ - עבור תנועה סיבובית.
- מהירות. במקרה ליניארי כתוב בדרך כלל באות הלטינית v, לתנועה לאורך מסלול מעגלי - באות היוונית ω.
- האצה. עבור נתיב ליניארי ומעגלי, נעשה שימוש בסמלים a ו-α, בהתאמה.
המושג של מסלול משמש גם הוא לעתים קרובות. אבל עבור סוגי התנועה של עצמים הנבחנים, מושג זה הופך לטריוויאלי, שכן התנועה הטרנסלציונית מאופיינת במסלול ליניארי, וסיבובית - במעגל.
מהירויות ליניאריות וזוויתיות
בואו נתחיל את הקינמטיקה של התנועה הסיבובית של נקודה חומריתבמבט מתוך מושג המהירות. ידוע שעבור תנועה תרגום של גופים, ערך זה מתאר איזה נתיב יתגבר ליחידת זמן, כלומר:
v=L / t
V נמדד במטרים לשנייה. עבור סיבוב, זה לא נוח לשקול את המהירות הלינארית הזו, מכיוון שהיא תלויה במרחק לציר הסיבוב. מוצג מאפיין מעט שונה:
ω=θ / t
זוהי אחת הנוסחאות העיקריות של הקינמטיקה של תנועה סיבובית. זה מראה באיזו זווית θ המערכת כולה תסתובב סביב ציר קבוע בזמן t.
שתי הנוסחאות לעיל משקפות את אותו תהליך פיזי של מהירות תנועה. רק במקרה הליניארי, המרחק חשוב, ולמקרה המעגלי, זווית הסיבוב.
שתי הנוסחאות פועלות זו בזו. בואו נבין את הקשר הזה. אם נבטא את θ ברדיאנים, אזי נקודת חומר המסתובבת במרחק R מהציר, לאחר שעשתה סיבוב אחד, תעבור את הנתיב L=2piR. הביטוי למהירות הליניארית יקבל את הצורה:
v=L / t=2piR / t
אבל היחס בין 2פי רדיאנים לזמן t אינו אלא מהירות זוויתית. אז נקבל:
v=ωR
מכאן ניתן לראות שככל שהמהירות הליניארית v גדולה יותר וככל שרדיוס הסיבוב R קטן יותר, כך המהירות הזוויתית ω גדולה יותר.
תאוצה לינארית וזוויתית
מאפיין חשוב נוסף בקינמטיקה של תנועת הסיבוב של נקודה חומרית הוא התאוצה הזוויתית. לפני שנכיר אותו, בואונוסחה לערך ליניארי דומה:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
הביטוי הראשון משקף את התאוצה המיידית (dt ->0), בעוד שהנוסחה השנייה מתאימה אם המהירות משתנה באופן אחיד לאורך זמן Δt. התאוצה המתקבלת בגרסה השנייה נקראת ממוצע.
בהתחשב בדמיון של כמויות המתארות תנועה לינארית וסיבובית, עבור תאוצה זוויתית נוכל לכתוב:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
הפירוש של הנוסחאות האלה זהה בדיוק לזו של המקרה הליניארי. ההבדל היחיד הוא ש-a מראה כמה מטרים לשנייה המהירות משתנה ליחידת זמן, ו-α מראה כמה רדיאנים לשנייה משתנה המהירות הזוויתית באותו פרק זמן.
בואו נמצא את הקשר בין התאוצות הללו. החלפת הערך של v, מבוטא במונחים של ω, בכל אחד משני השוויון עבור α, נקבל:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
מכאן נובע שככל שרדיוס הסיבוב קטן יותר וככל שהתאוצה הליניארית גדולה יותר, כך גדל הערך של α.
מרחק שעבר וזווית הסיבוב
נותר לתת נוסחאות לגודל האחרון מבין שלושת הגדלים הבסיסיים בקינמטיקה של תנועה סיבובית סביב ציר קבוע - לזווית הסיבוב. כמו בפסקאות הקודמות, אנו רושמים תחילה את הנוסחה לתנועה ישרה מואצת באופן אחיד, יש לנו:
L=v0 t + a t2 / 2
אנלוגיה מלאה לתנועה סיבובית מובילה לנוסחה הבאה עבורה:
θ=ω0 t + αt2 / 2
הביטוי האחרון מאפשר לך לקבל את זווית הסיבוב עבור כל זמן t. שימו לב שההיקף הוא 2פי רדיאנים (≈ 6.3 רדיאנים). אם כתוצאה מפתרון הבעיה, הערך של θ גדול מהערך שצוין, אז הגוף ביצע יותר מסיבוב אחד סביב הציר.
הנוסחה לקשר בין L ו-θ מתקבלת על ידי החלפת הערכים התואמים של ω0ו-α באמצעות מאפיינים ליניאריים:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
הביטוי המתקבל משקף את משמעות הזווית θ עצמה ברדיאנים. אם θ=1 רד, אז L=R, כלומר, זווית של רדיאן אחד מונחת על קשת באורך רדיוס אחד.
דוגמה לפתרון בעיות
בוא נפתור את הבעיה הבאה של קינמטיקה סיבובית: אנחנו יודעים שהמכונית נעה במהירות של 70 קמ ש. בידיעה שקוטר הגלגל שלו הוא D=0.4 מטר, יש צורך לקבוע את הערך של ω עבורו, וכן את מספר הסיבובים שהוא יבצע כאשר המכונית תיסע מרחק של קילומטר אחד.
כדי למצוא את המהירות הזוויתית, מספיק להחליף את הנתונים הידועים בנוסחה כדי לקשר אותם למהירות הליניארית, נקבל:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
בדומה לזווית θ שאליה הגלגל יסתובב לאחר המעבר1 ק מ, נקבל:
θ=L / R=1000 / 0, 2=5000 רד.
בהינתן שסיבוב אחד הוא 6.2832 רדיאנים, נקבל את מספר סיבובי הגלגל התואם לזווית זו:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 turns.
ענינו על השאלות באמצעות הנוסחאות שבכתבה. אפשר היה גם לפתור את הבעיה בדרך אחרת: לחשב את הזמן שבו תיסע המכונית 1 ק מ, ולהחליף אותו בנוסחה של זווית הסיבוב, ממנה נוכל לקבל את המהירות הזוויתית ω. נמצאה תשובה.
