בגיאומטריה, שני מאפיינים חשובים משמשים ללימוד דמויות: אורכי הצלעות והזוויות ביניהן. במקרה של דמויות מרחביות, זוויות דו-הדרליות מתווספות למאפיינים אלה. הבה נשקול מה זה, ונתאר גם את השיטה לקביעת הזוויות הללו באמצעות דוגמה של פירמידה.
המושג של זווית דיהדרלית
כולם יודעים ששני ישרים מצטלבים יוצרים זווית עם הקודקוד בנקודת החיתוך שלהם. ניתן למדוד זווית זו באמצעות מד זווית, או להשתמש בפונקציות טריגונומטריות כדי לחשב אותה. הזווית שנוצרת משתי זוויות ישרות נקראת לינארית.
עכשיו דמיינו שבמרחב התלת מימדי יש שני מישורים שמצטלבים בקו ישר. הם מוצגים בתמונה.
זווית דו-הדרלית היא הזווית בין שני מישורים מצטלבים. בדיוק כמו ליניארי, הוא נמדד במעלות או ברדיאנים. אם לנקודה כלשהי של הקו שלאורכו מצטלבים המטוסים, שחזר שני ניצבים,שוכב במישורים האלה, אז הזווית ביניהם תהיה הדיהדרלית הרצויה. הדרך הקלה ביותר לקבוע זווית זו היא להשתמש במשוואות הכלליות של מישורים.
משוואת המישורים והנוסחה לזווית ביניהם
המשוואה של כל מישור בחלל במונחים כלליים כתובה כך:
A × x + B × y + C × z + D=0.
כאן x, y, z הן הקואורדינטות של נקודות השייכות למישור, המקדמים A, B, C, D הם כמה מספרים ידועים. הנוחות של שוויון זה לחישוב זוויות דו-הדרליות היא שהוא מכיל במפורש את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של המישור. נסמן אותו ב-n¯. לאחר מכן:
n¯=(A; B; C).
הווקטור n¯ מאונך למישור. הזווית בין שני מישורים שווה לזווית בין וקטורי הכיוון שלהם n1¯ ו-n2¯. מהמתמטיקה ידוע שהזווית שנוצרת על ידי שני וקטורים נקבעת באופן ייחודי מהמכפלה הסקלרית שלהם. זה מאפשר לך לכתוב נוסחה לחישוב הזווית הדו-הדרלית בין שני מישורים:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
אם נחליף את הקואורדינטות של הוקטורים, הנוסחה תיכתב במפורש:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
סימן המודולו במונה משמש להגדרת זווית חדה בלבד, שכן זווית דו-הדרלית תמיד קטנה או שווה ל-90o.
הפירמידה ופינותיה
פירמידה היא דמות שנוצרה על ידי n-גון אחד ו-n משולשים. כאן n הוא מספר שלם השווה למספר הצלעות של המצולע שהוא בסיס הפירמידה. דמות מרחבית זו היא פוליהדרון או פולידרון, שכן היא מורכבת מפנים שטוחים (צדדים).
הזוויות הדו-הדרליות של פירמידה-פוליהדרון יכולות להיות משני סוגים:
- בין בסיס לצלע (משולש);
- בין שני צדדים.
אם הפירמידה נחשבת סדירה, אז קל לקבוע את הזוויות הנקובות עבורה. לשם כך, באמצעות הקואורדינטות של שלוש נקודות ידועות, יש להרכיב משוואה של מישורים, ולאחר מכן להשתמש בנוסחה שניתנה בפסקה למעלה עבור הזווית φ.
להלן אנו נותנים דוגמה שבה אנו מראים כיצד למצוא זוויות דו-הדרליות בבסיס פירמידה רגילה מרובעת.
פירמידה רגילה מרובעת וזווית בבסיסה
נניח שנתונה פירמידה רגילה עם בסיס ריבועי. אורך הצלע של הריבוע הוא a, גובה הדמות הוא h. מצא את הזווית בין בסיס הפירמידה לצלע שלה.
בואו נניח את המקור של מערכת הקואורדינטות במרכז הריבוע. ואז הקואורדינטות של הנקודותA, B, C, D המוצגים בתמונה יהיו:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
שקול את המטוסים ACB ו-ADB. ברור, וקטור הכיוון n1¯ עבור מישור ACB יהיה:
1¯=(0; 0; 1).
כדי לקבוע את וקטור הכיוון n2¯ של מישור ADB, המשך באופן הבא: מצא שני וקטורים שרירותיים השייכים לו, למשל, AD¯ ו-AB¯, ואז לחשב את העבודה הווקטורית שלהם. התוצאה שלו תיתן את הקואורדינטות n2¯. יש לנו:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
מכיוון שכפל וחלוקה של וקטור במספר לא משנים את כיוונו, אנו הופכים את ה-n2¯ המתקבל, תוך חלוקת הקואורדינטות שלו ב-a, נקבל:
2¯=(h; 0; a/2).
הגדרנו מדריכים וקטוריים n1¯ ו-n2¯ עבור מישורי הבסיס של ACB ו-ADB. נותר להשתמש בנוסחה לזווית φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
שנה את הביטוי שהתקבל וכתוב אותו מחדש כך:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
השגנו את הנוסחה לזווית הדו-הדרלית בבסיס לפירמידה מרובעת רגילה. לדעת את גובה הדמות ואת אורך הצלע שלה, אתה יכול לחשב את הזווית φ. לדוגמה, עבור פירמידת צ'אופס, שצד הבסיס שלה הוא 230.4 מטר, והגובה ההתחלתי היה 146.5 מטר, הזווית φ תהיה 51.8o.
ניתן גם לקבוע את הזווית הדו-הדרלית לפירמידה רגילה מרובעת בשיטה הגיאומטרית. לשם כך, די להתייחס למשולש ישר זווית הנוצר על ידי גובה h, מחצית מאורך הבסיס a/2 והמשפט של משולש שווה שוקיים.
