פרמטרים ליניאריים אופייניים של כל פירמידה הם אורכי הצדדים של הבסיס, הגובה, הקצוות הצדדיים והאפוטמים שלה. עם זאת, יש מאפיין נוסף הקשור לפרמטרים שצוינו - זוהי הזווית הדו-הדרלית. שקול במאמר מה זה וכיצד למצוא אותו.
פירמידת דמויות מרחביות
לכל תלמיד יש מושג טוב מה עומד על כף המאזניים כשהוא שומע את המילה "פירמידה". ניתן לבנות אותו בצורה גיאומטרית באופן הבא: בחרו מצולע מסוים, לאחר מכן קבעו נקודה במרחב וחברו אותה לכל פינה במצולע. הדמות התלת מימדית שתתקבל תהיה פירמידה מסוג שרירותי. המצולע שיוצר אותו נקרא בסיס, והנקודה אליה מחוברות כל פינותיו היא קודקוד הדמות. האיור למטה מציג באופן סכמטי פירמידה מחומשת.
ניתן לראות שהשטח שלו נוצר לא רק על ידי מחומש, אלא גם על ידי חמישה משולשים. באופן כללי, מספר המשולשים הללו יהיה שווה למספרצלעות של בסיס מצולע.
זוויות דיהדרליות של הדמות
כאשר בעיות גיאומטריות נחשבות במישור, כל זווית נוצרת על ידי שני ישרים או קטעים מצטלבים. במרחב, זוויות דו-הדרליות מתווספות לזוויות הליניאריות הללו, שנוצרות על ידי חיתוך של שני מישורים.
אם ההגדרה המסומנת של זווית במרחב מיושמת על הדמות המדוברת, אז נוכל לומר שיש שני סוגים של זוויות דו-הדרליות:
- בבסיס הפירמידה. הוא נוצר על ידי מישור הבסיס וכל אחד מהפנים הצדדיות (משולש). המשמעות היא שזוויות הבסיס של הפירמידה הן n, כאשר n הוא מספר הצלעות של המצולע.
- בין הצלעות (משולשים). מספר הזוויות הדו-הדרליות הללו הוא גם n חלקים.
שימו לב שהסוג הראשון של זוויות נחשבות בנוי בקצוות הבסיס, הסוג השני - בקצוות הצדדיים.
איך לחשב את הזוויות של פירמידה?
הזווית הליניארית של זווית דו-הדרלית היא המידה של זווית זו. זה לא קל לחשב את זה, שכן פני הפירמידה, בניגוד לפנים הפריזמה, אינם מצטלבים בזוויות ישרות במקרה הכללי. הכי אמין לחשב את הערכים של זוויות דו-הדרליות באמצעות משוואות המישור בצורה כללית.
במרחב תלת מימדי, מישור ניתן על ידי הביטוי הבא:
Ax + By + Cz + D=0
כאשר A, B, C, D הם כמה מספרים ממשיים. הנוחות של משוואה זו היא ששלושת המספרים הראשונים המסומנים הם הקואורדינטות של הווקטור,שהוא מאונך למישור הנתון, כלומר:
n¯=[A; ב; C]
אם ידועות הקואורדינטות של שלוש נקודות השייכות למישור, אז על ידי לקיחת המכפלה הווקטורית של שני וקטורים הבנויים על נקודות אלו, ניתן לקבל את הקואורדינטות n¯. הווקטור n¯ נקרא המדריך של המישור.
לפי ההגדרה, הזווית הדו-הדרלית שנוצרת מחיתוך שני מישורים שווה לזווית הליניארית בין וקטורי הכיוון שלהם. נניח שיש לנו שני מישורים שהווקטורים הנורמליים שלהם שווים:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
כדי לחשב את הזווית φ ביניהם, אתה יכול להשתמש במאפיין המוצר הסקלרי, ואז הנוסחה המתאימה הופכת ל:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
או בצורת קואורדינטות:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
בוא נראה כיצד להשתמש בשיטה לעיל לחישוב זוויות דו-הדרליות בעת פתרון בעיות גיאומטריות.
זוויות של פירמידה מרובעת רגילה
נניח שיש פירמידה רגילה שבבסיסה יש ריבוע עם צלע 10 ס"מ. גובה הדמות הוא12 ס"מ. יש צורך לחשב מהן זוויות הדיהדרליות בבסיס הפירמידה ולצדדיה.
מאחר והנתון שניתן במצב הבעיה נכון, כלומר יש לו סימטריה גבוהה, אז כל הזוויות בבסיס שוות זו לזו. גם הזוויות שנוצרות על ידי פני הצד זהות. כדי לחשב את הזוויות הדו-הדרליות הנדרשות, נמצא את וקטורי הכיוון עבור הבסיס ושני מישורי הצד. סמן את אורך צלע הבסיס באות a, ואת הגובה h.
התמונה למעלה מציגה פירמידה רגילה מרובעת. נכתוב את הקואורדינטות של נקודות A, B, C ו-D בהתאם למערכת הקואורדינטות שהוזנה:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
כעת נמצא את וקטורי הכיוון עבור מישורי הבסיס ABC ושני הצדדים ABD ו-BCD בהתאם לשיטה המתוארת בפסקה למעלה:
עבור ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
עבור ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
עבור BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
עכשיו נותר ליישם את הנוסחה המתאימה לזווית φ ולהחליף את ערכי הצלע והגובה מהצהרת הבעיה:
זווית בין ABC ל-ABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
זווית בין ABD ל-BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
חישבנו את ערכי הזוויות שצריך למצוא לפי מצב הבעיה. ניתן להשתמש בנוסחאות המתקבלות בפתרון הבעיה כדי לקבוע את הזוויות הדו-הדרליות של פירמידות רגילות מרובעות עם כל ערכים של a ו-h.
זוויות של פירמידה רגילה משולשת
האיור למטה מציג פירמידה שבסיסה הוא משולש רגיל. ידוע שהזווית הדו-הדרלית בין הצדדים נכונה. יש צורך לחשב את שטח הבסיס אם ידוע שגובה הדמות הוא 15 ס מ.
זווית דו-הדרלית השווה ל-90o מסומנת כ-ABC באיור. אתה יכול לפתור את הבעיה באמצעות השיטה לעיל, אבל במקרה זה נעשה את זה יותר קל. נסמן את הצלע של המשולש a, את גובה הדמות - h, את האפוטמה - hb ואת הצלעצלע - ב. כעת תוכל לכתוב את הנוסחאות הבאות:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
מכיוון ששני משולשי הצלעות בפירמידה זהים, הצלעות AB ו-CB שוות והן רגלי המשולש ABC. נסמן את אורכם ב-x, ואז:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
השוואת השטחים של משולשי הצלעות והחלפת המילה בביטוי המתאים, יש לנו:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
השטח של משולש שווה צלעות מחושב באופן הבא:
S=√3/4a2=3√3/2h2
תחליף את ערך הגובה ממצב הבעיה, נקבל את התשובה: S=584, 567 cm2.
