כאשר לומדים לחלוטין כל דמות מרחבית, חשוב לדעת כיצד לחשב את הנפח שלה. מאמר זה מספק נוסחה לנפח של פירמידה מרובעת רגילה, וכן מראה כיצד יש להשתמש בנוסחה זו באמצעות דוגמה לפתרון בעיות.
על איזו פירמידה אנחנו מדברים?
כל תלמיד תיכון יודע שפירמידה היא פוליידרון המורכב ממשולשים ומצולע. האחרון הוא הבסיס של הדמות. למשולשים יש צלע משותפת אחת עם הבסיס והם נחתכים בנקודה אחת, שהיא החלק העליון של הפירמידה.
כל פירמידה מאופיינת באורך צלעות הבסיס, אורך קצוות הצד והגובה. האחרון הוא קטע מאונך, מורד לבסיס מהחלק העליון של הדמות.
פירמידה מרובעת רגילה היא דמות בעלת בסיס ריבועי, שגובהה חוצה ריבוע זה במרכזו. אולי הדוגמה המפורסמת ביותר לסוג זה של פירמידות הם מבני האבן המצריים העתיקים. להלן תמונהפירמידות של צ'אופס.
לדמות הנחקרת יש חמישה פנים, שארבעה מהן משולשים שווה שוקיים זהים. הוא מאופיין גם בחמישה קודקודים, שארבעה מהם שייכים לבסיס, ושמונה קצוות (4 קצוות של הבסיס ו-4 קצוות של פני הצד).
הנוסחה לנפח של פירמידה מרובעת נכונה
נפח הדמות המדוברת הוא חלק מהמרחב שמוגבל בחמש צלעות. כדי לחשב נפח זה, אנו משתמשים בתלות הבאה של שטח הפרוסה המקביל לבסיס הפירמידה Sz בקואורדינטה האנכית z:
Sz=So (h - z/h)2
כאן So הוא השטח של הבסיס המרובע. אם נחליף את z=h בביטוי הכתוב, נקבל ערך אפס עבור Sz. ערך זה של z מתאים לפרוסה שתכיל רק את החלק העליון של הפירמידה. אם z=0, נקבל את הערך של שטח הבסיס So.
קל למצוא את נפח הפירמידה אם אתה מכיר את הפונקציה Sz(z), בשביל זה מספיק לחתוך את הדמות למספר אינסופי של שכבות מקבילות לבסיס, ולאחר מכן לבצע את פעולת האינטגרציה. אני עושה את הטכניקה הזו, אנחנו מקבלים:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
בגלל ש0 הואאת שטח הבסיס הריבועי, אם כן, בציון צלע הריבוע באות a, נקבל את הנוסחה לנפח של פירמידה מרובעת רגילה:
V=1/3a2h.
עכשיו בואו נשתמש בדוגמאות של פתרון בעיות כדי להראות כיצד יש ליישם את הביטוי הזה.
הבעיה של קביעת נפח הפירמידה דרך המילה שלה וקצה הצד שלה
המשפט של פירמידה הוא גובה המשולש הרוחבי שלה, שמורד לצד הבסיס. מכיוון שכל המשולשים שווים בפירמידה רגילה, גם המושגים שלהם יהיו זהים. הבה נסמן את אורכו בסמל hb. סמן את קצה הצד כ-b.
כדי לדעת שהמשפט של הפירמידה הוא 12 ס"מ, והקצה הרוחבי שלה הוא 15 ס"מ, מצא את הנפח של פירמידה מרובעת רגילה.
נוסחת נפח הדמות שנכתבה בפסקה הקודמת מכילה שני פרמטרים: אורך הצלע a וגובה h. כרגע, אנחנו לא מכירים אף אחד מהם, אז בואו נסתכל על החישובים שלהם.
קל לחשב את אורך הצלע של ריבוע a אם אתה משתמש במשפט פיתגורס עבור משולש ישר זווית, שבו התחתון הוא הקצה b, והרגליים הן האפוטם h b וחצי מהצד של הבסיס a/2. אנחנו מקבלים:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
החלפת הערכים הידועים מהתנאי, נקבל את הערך a=18 ס מ.
כדי לחשב את גובה h של הפירמידה, אתה יכול לעשות שני דברים: לשקול מלבנימשולש עם קצה תחתון-צדדי או עם תחתית-אפותם. שתי השיטות שוות וכוללות ביצוע של אותו מספר של פעולות מתמטיות. הבה נתעכב על השיקול של משולש, שבו התחתון הוא האפוטם hb. הרגליים בו יהיו h ו-a / 2. אז נקבל:
h=√(hb2-a2/4)=√(12) 2- 182/4)=7, 937 ס מ.
עכשיו אתה יכול להשתמש בנוסחה עבור כרך V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 ס מ 3.
לפיכך, הנפח של פירמידה מרובעת רגילה הוא בערך 0.86 ליטר.
נפח הפירמידה של צ'אופס
עכשיו בואו נפתור בעיה מעניינת וחשובה מעשית: למצוא את נפח הפירמידה הגדולה ביותר בגיזה. מהספרות ידוע שגובהו המקורי של המבנה היה 146.5 מטר, ואורך בסיסו 230.363 מטר. המספרים הללו מאפשרים לנו ליישם את הנוסחה לחישוב V. נקבל:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 מ' 3.
הערך המתקבל הוא כמעט 2.6 מיליון מיליון 3. נפח זה מתאים לנפח של קובייה שדופן 137.4 מטר.
