פונקציות טריגונומטריות הפוכות גורמות באופן מסורתי קשיים לתלמידי בית הספר. היכולת לחשב את טנגנס הקשת של מספר עשויה להידרש במשימות USE בפלנימטריה וסטריאומטריה. כדי לפתור בהצלחה משוואה ובעיה עם פרמטר, עליך להיות בעל הבנה של המאפיינים של פונקציית משיק הקשת.
הגדרה
משיק הקשת של מספר x הוא מספר y שהמשיק שלו הוא x. זו ההגדרה המתמטית.
פונקציית arctangent כתובה כ-y=arctg x.
באופן כללי יותר: y=Carctg (kx + a).
חישוב
כדי להבין כיצד פועלת הפונקציה הטריגונומטרית ההפוכה של הארקטנג'נט, תחילה עליך לזכור כיצד נקבע ערכו של הטנגנס של מספר. בואו נסתכל מקרוב.
הטנגנס של x הוא היחס בין הסינוס של x לקוסינוס של x. אם ידועה לפחות אחת משתי הכמויות הללו, אזי ניתן לקבל את המודולוס של השנייה מהזהות הטריגונומטרית הבסיסית:
sin2 x + cos2 x=1.
יש להודות, תידרש הערכה כדי לפתוח את המודול.
אםהמספר עצמו ידוע, ולא המאפיינים הטריגונומטריים שלו, אז ברוב המקרים יש צורך להעריך בערך את הטנגנס של המספר על ידי התייחסות לטבלת ברדיס.
חריגים הם מה שנקרא ערכים סטנדרטיים.
הם מוצגים בטבלה הבאה:
בנוסף לאמור לעיל, כל ערכים שהושגו מהנתונים על ידי הוספת מספר בצורה ½πк (к - כל מספר שלם, π=3, 14) יכולים להיחשב סטנדרטיים.
זה נכון בדיוק לגבי משיק הקשת: לרוב ניתן לראות את הערך המשוער מהטבלה, אבל רק כמה ערכים ידועים בוודאות:
בפועל, בפתרון בעיות של מתמטיקה בית ספרית, נהוג לתת תשובה בצורת ביטוי המכיל את טנגנס הקשת, ולא האומדן המשוער שלו. לדוגמה, arctg 6, arctg (-¼).
מתווה גרף
מכיוון שהטנגנס יכול לקבל כל ערך, התחום של הפונקציה arctangent הוא כל קו המספרים. בוא נסביר ביתר פירוט.
אותו משיק מתאים למספר אינסופי של ארגומנטים. לדוגמה, לא רק הטנגנס של אפס שווה לאפס, אלא גם הטנגנס של כל מספר בצורה π k, כאשר k הוא מספר שלם. לכן, מתמטיקאים הסכימו לבחור ערכים עבור משיק הקשת מהמרווח בין -½ π ל-½ π. יש להבין זאת בצורה זו. הטווח של הפונקציה הארקטנגנטית הוא המרווח (-½ π; ½ π). קצוות הפער אינם כלולים, מכיוון שהמשיק -½p ו-½p אינם קיימים.
במרווח שצוין, המשיק הוא רציףעולה. משמעות הדבר היא שגם הפונקציה ההפוכה של משיק הקשת עולה ברציפות על כל קו המספרים, אך מוגבלת מלמעלה ומלמטה. כתוצאה מכך, יש לו שתי אסימפטוטות אופקיות: y=-½ π ו-y=½ π.
במקרה זה, tg 0=0, נקודות חיתוך אחרות עם ציר האבססיס, למעט (0;0), הגרף לא יכול להיות עקב עלייה.
כפועל יוצא מהזוגיות של פונקציית הטנגנס, לארקטנג'נט יש תכונה דומה.
כדי לבנות גרף, קח מספר נקודות מבין הערכים הסטנדרטיים:
הנגזרת של הפונקציה y=arctg x בכל נקודה מחושבת על ידי הנוסחה:
שים לב שהנגזרת שלו חיובית בכל מקום. זה עולה בקנה אחד עם המסקנה שהועלתה קודם לכן לגבי הגידול המתמשך של הפונקציה.
הנגזרת השנייה של הארקטנג'נט נעלמת בנקודה 0, היא שלילית עבור ערכים חיוביים של הטיעון, ולהיפך.
משמעות הדבר היא שלגרף של פונקציית משיק הקשת יש נקודת פיתול באפס והוא קמור כלפי מטה במרווח (-∞; 0] וקמור כלפי מעלה במרווח [0; +∞).
