אי-שוויון אלגברי או המערכות שלהם עם מקדמים רציונליים שהפתרונות שלהם מחפשים במספרים אינטגרליים או שלמים. ככלל, מספר הלא ידועים במשוואות דיופנטיות גדול יותר. לפיכך, הם ידועים גם בתור אי שוויון בלתי מוגבל. במתמטיקה המודרנית, המושג לעיל מיושם על משוואות אלגבריות שפתרונותיהן מחפשים במספרים שלמים אלגבריים של הרחבה כלשהי של שדה המשתנים Q-רציונליים, תחום המשתנים p-adic וכו'.
המקורות של אי השוויון האלה
המחקר של המשוואות הדיופנטיות נמצא על הגבול בין תורת המספרים לגיאומטריה אלגברית. מציאת פתרונות במשתנים שלמים היא אחת הבעיות המתמטיות העתיקות ביותר. כבר בתחילת האלף השני לפני הספירה. הבבלים הקדמונים הצליחו לפתור מערכות משוואות עם שני אלמונים. ענף זה של המתמטיקה פרח ביותר ביוון העתיקה. החשבון של דיופנטוס (בערך המאה ה-3 לספירה) הוא מקור משמעותי ועיקרי המכיל סוגים ומערכות שונות של משוואות.
בספר זה חזה דיופנטוס מספר שיטות לחקר אי השוויון של השני והשלישיתארים שפותחו במלואם במאה ה-19. יצירת תורת המספרים הרציונליים על ידי חוקר זה של יוון העתיקה הובילה לניתוח פתרונות לוגיים למערכות בלתי מוגדרות, אשר עוקבים אחריהם באופן שיטתי בספרו. למרות שעבודתו מכילה פתרונות למשוואות דיופנטיות ספציפיות, יש סיבה להאמין שהוא גם הכיר כמה שיטות כלליות.
המחקר של אי-שוויון אלה קשור בדרך כלל לקשיים רציניים. בשל העובדה שהם מכילים פולינומים עם מקדמים שלמים F (x, y1, …, y). בהתבסס על כך, הוסקו מסקנות שאין אלגוריתם בודד שניתן להשתמש בו כדי לקבוע עבור כל x נתון אם המשוואה F (x, y1, …., y ). המצב ניתן לפתרון עבור y1, …, y . ניתן לכתוב דוגמאות לפולינומים כאלה.
אי השוויון הפשוט ביותר
ax + by=1, כאשר a ו-b הם מספרים שלמים וראשוניים יחסית, יש לו מספר עצום של ביצועים (אם x0, y0 נוצרת התוצאה, ואז צמד המשתנים x=x0 + b ו-y=y0 -an, כאשר n הוא שרירותי, ייחשב גם כאי-שוויון). דוגמה נוספת למשוואות דיופנטיות היא x2 + y2 =z2. הפתרונות האינטגרליים החיוביים של אי שוויון זה הם אורכי הצלעות הקטנות x, y ומשולשים ישרים, כמו גם התחתון z עם ממדי צלעות שלמות. מספרים אלו ידועים כמספרים פיתגוריים. כל השלשות ביחס לראשית מסומניםהמשתנים לעיל ניתנים על ידי x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, כאשר m ו-n הם מספרים שלמים ומספרים ראשוניים (m>n>0).
דיופאנטוס באריתמטיקה שלו מחפש פתרונות רציונליים (לא בהכרח אינטגרליים) של סוגים מיוחדים של אי השוויון שלו. תיאוריה כללית לפתרון משוואות דיופנטיניות מהמעלה הראשונה פותחה על ידי C. G. Baschet במאה ה-17. מדענים אחרים בתחילת המאה ה-19 חקרו בעיקר אי-שוויון דומים כמו ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, כאשר a, b, c, d, e ו-f הם כלליים, הטרוגניים, עם שני לא ידועים מהמעלה השנייה. לגראנז' השתמש בשברים מתמשכים במחקר שלו. גאוס לצורות ריבועיות פיתח תיאוריה כללית העומדת בבסיס סוגים מסוימים של פתרונות.
בחקר אי-השוויון מדרגה שנייה אלו, התקדמות משמעותית חלה רק במאה ה-20. א. Thue מצא שהמשוואה הדיופנטית a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, כאשר n≧3, a0, …, a , c הם מספרים שלמים, ו-a0tn + …+ a לא יכול להיות מספר אינסופי של פתרונות שלמים. עם זאת, השיטה של Thue לא פותחה כראוי. א' בייקר יצר משפטים יעילים שנותנים הערכות לגבי הביצועים של כמה משוואות מסוג זה. BN Delaunay הציע שיטת חקירה נוספת החלה על מעמד מצומצם יותר של אי-שוויון אלה. במיוחד, הצורה ax3 + y3 =1 ניתנת לפתרון מלא בדרך זו.
משוואות דיופנטיות: שיטות פתרון
לתיאוריה של דיופנטוס יש הרבה כיוונים. לפיכך, בעיה ידועה במערכת זו היא ההשערה שאין פתרון לא טריוויאלי של המשוואות הדיופנטיניות xn + y =z n if n ≧ 3 (השאלה של פרמה). המחקר של הגשמת מספרים שלמים של אי השוויון הוא הכללה טבעית של בעיית השלשות הפיתגוריות. אוילר השיג פתרון חיובי לבעיה של פרמה עבור n=4. מתוקף תוצאה זו, היא מתייחסת להוכחה של המספר השלם החסר, מחקרים שאינם אפס של המשוואה אם n הוא מספר ראשוני אי זוגי.
המחקר לגבי ההחלטה לא הושלם. הקשיים ביישום שלו קשורים לעובדה שהפירוק הפשוט בטבעת המספרים השלמים האלגבריים אינו ייחודי. תורת המחלקים במערכת זו עבור מחלקות רבות של מעריכים ראשוניים n מאפשרת לאשר את תקפותו של משפט פרמה. לפיכך, המשוואה הדיופנטית הליניארית עם שני לא ידועים מתגשמה על ידי השיטות והדרכים הקיימות.
סוגים וסוגים של משימות מתוארות
אריתמטיקה של טבעות של מספרים שלמים אלגבריים משמשת גם בבעיות ופתרונות רבים אחרים של משוואות דיופנטיות. לדוגמה, שיטות כאלה יושמו בעת מילוי אי-שוויון בצורה N(a1 x1 +…+ a x)=m, כאשר N(a) הוא הנורמה של a, ו-x1, …, xn אינטגרל משתנים רציונליים נמצאים. מחלקה זו כוללת את משוואת Pell x2–dy2=1.
הערכים1, …, a שמופיעים, המשוואות הללו מחולקות לשני סוגים. הסוג הראשון - מה שנקרא צורות שלמות - כולל משוואות שבהן בין a ישנם m מספרים בלתי תלויים ליניארית על פני שדה המשתנים הרציונליים Q, כאשר m=[Q(a1, …, a):Q], שבה יש מידה של מעריכים אלגבריים Q (a1, …, a ) על פני Q. מינים לא שלמים הם אלה שב שהמספר המרבי שלi קטן מ-m.
הטפסים המלאים פשוטים יותר, המחקר שלהם מלא וניתן לתאר את כל הפתרונות. הסוג השני, מינים לא שלמים, מסובך יותר, ופיתוח תיאוריה כזו טרם הושלם. משוואות כאלה נלמדות באמצעות קירובים דיופנטיים, הכוללים את אי השוויון F(x, y)=C, כאשר F (x, y) הוא פולינום הומוגנית בלתי ניתן לצמצום בדרגה n≧3. לפיכך, אנו יכולים להניח ש-yi→∞. בהתאם לכך, אם yi גדול מספיק, אז אי השוויון יסתור את המשפט של Thue, Siegel ו-Roth, שממנו נובע ש-F(x, y)=C, כאשר F הוא צורה של מדרגה שלישית ומעלה, הבלתי ניתן לצמצום לא יכול לקבל אינסוף פתרונות.
איך פותרים משוואה דיופנטית?
דוגמה זו היא מעמד צר למדי בין כולם. לדוגמה, למרות הפשטות שלהם, x3 + y3 + z3=N, ו-x2 +y 2 +z2 +u2 =N אינם נכללים במעמד זה. חקר הפתרונות הוא ענף שנחקר בקפידה למדי של משוואות דיופנטיות, כאשר הבסיס הוא הייצוג באמצעות צורות ריבועיות של מספרים. לגרנז'יצר משפט שאומר שההגשמה קיימת עבור כל ה-N הטבעי. כל מספר טבעי יכול להיות מיוצג כסכום של שלושה ריבועים (משפט גאוס), אבל הוא לא צריך להיות בצורה 4a (8K- 1), כאשר a ו-k הם מעריכי מספר שלם לא שליליים.
פתרונות רציונליים או אינטגרליים למערכת של משוואה דיופנטית מסוג F (x1, …, x)=a, כאשר F (x 1, …, x) היא צורה ריבועית עם מקדמים שלמים. לפיכך, לפי משפט מינקובסקי-האסה, אי השוויון ∑aijxixj=b ijו-b הוא רציונלי, יש לו פתרון אינטגרלי במספרים ממשיים ו-p-adic עבור כל מספר ראשוני p רק אם הוא ניתן לפתרון במבנה הזה.
בשל הקשיים המובנים, חקר מספרים בעלי צורות שרירותיות מהדרגה השלישית ומעלה נחקר במידה פחותה. שיטת הביצוע העיקרית היא שיטת הסכומים הטריגונומטריים. במקרה זה, מספר הפתרונות למשוואה נכתב במפורש במונחים של אינטגרל פורייה. לאחר מכן, שיטת הסביבה משמשת לבטא את מספר ההגשמה של אי השוויון של ההתאמות המתאימות. שיטת הסכומים הטריגונומטריים תלויה בתכונות האלגבריות של אי השוויון. ישנן מספר רב של שיטות אלמנטריות לפתרון משוואות דיופנטיות ליניאריות.
ניתוח דיופנטי
המחלקה למתמטיקה, הנושא שלה הוא חקר פתרונות אינטגרליים ורציונליים של מערכות משוואות של אלגברה בשיטות של גיאומטריה, מאותהספירות. במחצית השנייה של המאה ה-19, הופעתה של תורת המספרים הזו הובילה לחקר המשוואות הדיופנטיות מתחום שרירותי בעל מקדמים, ופתרונות נשקלו בו או בטבעותיו. מערכת הפונקציות האלגבריות התפתחה במקביל למספרים. האנלוגיה הבסיסית בין השניים, שהודגשה על ידי ד' הילברט ובמיוחד ל' קרונקר, הובילה לבנייה אחידה של מושגים אריתמטיים שונים, הנקראים בדרך כלל גלובליים.
זה בולט במיוחד אם הפונקציות האלגבריות הנחקרות בשדה קבוע של קבועים הן משתנה אחד. מושגים כמו תורת שדות כיתה, מחלק והסתעפות ותוצאות הם המחשה טובה לאמור לעיל. נקודת מבט זו אומצה במערכת האי-שוויון הדיופנטי רק מאוחר יותר, ומחקר שיטתי לא רק עם מקדמים מספריים, אלא גם עם מקדמים שהם פונקציות, החל רק בשנות החמישים. אחד הגורמים המכריעים בגישה זו היה התפתחות הגיאומטריה האלגברית. הלימוד הבו-זמני של תחומי המספרים והפונקציות, העולים כשני היבטים חשובים לא פחות של אותו נושא, לא רק הביא תוצאות אלגנטיות ומשכנעות, אלא הביא להעשרה הדדית של שני הנושאים.
בגיאומטריה האלגברית, מושג המגוון מוחלף בקבוצה לא-בלתי-משתנה של אי-שוויון על פני שדה K נתון, והפתרונות שלהם מוחלפים בנקודות רציונליות עם ערכים ב-K או בהרחבה הסופית שלו. לפיכך ניתן לומר שהבעיה הבסיסית של הגיאומטריה הדיופנטית היא חקר הנקודות הרציונליותשל קבוצה אלגברית X(K), בעוד ש-X הם מספרים מסוימים בשדה K. לביצוע מספרים שלמים יש משמעות גיאומטרית במשוואות דיופנטיות לינאריות.
מחקרי אי-שוויון ואפשרויות ביצוע
כאשר לומדים נקודות רציונליות (או אינטגרליות) על זנים אלגבריים, מתעוררת הבעיה הראשונה, והיא קיומם. הבעיה העשירית של הילברט מנוסחת כבעיה של מציאת שיטה כללית לפתרון בעיה זו. בתהליך יצירת הגדרה מדויקת של האלגוריתם ולאחר שהוכח שאין ביצועים כאלה עבור מספר רב של בעיות, הבעיה קיבלה תוצאה שלילית ברורה, והשאלה המעניינת ביותר היא הגדרת מחלקות של משוואות דיופנטיות שעבורו קיימת המערכת הנ ל. הגישה הטבעית ביותר, מנקודת מבט אלגברית, היא מה שנקרא עקרון האסה: השדה הראשוני K נחקר יחד עם ההשלמות שלו Kv על פני כל האומדנים האפשריים. מכיוון ש-X(K)=X(Kv) הם תנאי הכרחי לקיום, ונקודת ה-K לוקחת בחשבון שהקבוצה X(Kv) אינו ריק עבור כל v.
החשיבות טמונה בעובדה שהוא מפגיש בין שתי בעיות. השני הוא הרבה יותר פשוט, הוא ניתן לפתרון באמצעות אלגוריתם ידוע. במקרה הספציפי שבו הזן X השלכתי, הלמה של הנזל והכללותיה מאפשרות הפחתה נוספת: ניתן לצמצם את הבעיה לחקר נקודות רציונליות על פני שדה סופי. ואז הוא מחליט לבנות קונספט באמצעות מחקר עקבי או שיטות יעילות יותר.
אחרוןשיקול חשוב הוא שהקבוצות X(Kv) אינן ריקות עבור כולם אלא מספר סופי של v, כך שמספר התנאים תמיד סופי וניתן לבדוק אותם ביעילות. עם זאת, העיקרון של האסה אינו חל על עקומות מעלות. לדוגמה, 3x3 + 4y3=5 יש נקודות בכל שדות המספרים p-adic ו במערכת של מספרים ממשיים, אך אין לה נקודות רציונליות.
שיטה זו שימשה נקודת מוצא לבניית קונספט המתאר את מחלקות המרחבים ההומוגניים העיקריים של זנים אבלים כדי לבצע "סטייה" מעקרון האסה. הוא מתואר במונחים של מבנה מיוחד שניתן לשייך לכל סעפת (קבוצת טייט-שפרביץ'). הקושי העיקרי של התיאוריה נעוץ בעובדה ששיטות לחישוב קבוצות קשות להשגה. מושג זה הורחב גם למחלקות אחרות של זנים אלגבריים.
חפש אלגוריתם למילוי אי-שוויון
רעיון היוריסטי נוסף המשמש בחקר משוואות דיופנטיות הוא שאם מספר המשתנים המעורבים בקבוצה של אי-שוויון גדול, אז למערכת בדרך כלל יש פתרון. עם זאת, קשה מאוד להוכיח זאת עבור כל מקרה מסוים. הגישה הכללית לבעיות מסוג זה משתמשת בתורת המספרים האנליטית ומבוססת על אומדנים לסכומים טריגונומטריים. שיטה זו יושמה במקור על סוגים מיוחדים של משוואות.
עם זאת, מאוחר יותר הוכח בעזרתו שאם הצורה של מעלה אי זוגית היא F, ב-dו-n משתנים ועם מקדמים רציונליים, אז n גדול מספיק בהשוואה ל-d, כך שלמשטח ההשלכה F=0 יש נקודה רציונלית. לפי ההשערה של ארטין, תוצאה זו נכונה גם אם n > d2. זה הוכח רק עבור צורות ריבועיות. בעיות דומות ניתן לבקש גם עבור תחומים אחרים. הבעיה המרכזית של הגיאומטריה הדיופנטית היא מבנה קבוצת הנקודות השלמות או הרציונליות ולימודן, והשאלה הראשונה שיש לברר היא האם קבוצה זו היא סופית. בבעיה זו, במצב לרוב יש מספר סופי של ביצועים אם מידת המערכת גדולה בהרבה ממספר המשתנים. זו ההנחה הבסיסית.
אי-שוויון בקווים ובעקומות
ניתן לייצג את הקבוצה X(K) כסכום ישיר של מבנה חופשי בדרגה r וקבוצה סופית בסדר n. מאז שנות ה-30 נחקרה השאלה האם מספרים אלו מוגבלים על קבוצת כל העקומות האליפטיות על פני שדה נתון K. הגבולות של הפיתול n הוכחו בשנות השבעים. יש עקומות בדרגה שרירותית גבוהה במקרה הפונקציונלי. במקרה המספרי, עדיין אין תשובה לשאלה זו.
לבסוף, ההשערה של מורדל קובעת שמספר הנקודות האינטגרליות הוא סופי עבור עקומה של הסוג g>1. במקרה הפונקציונלי, תפיסה זו הוכחה על ידי Yu. I. Manin ב-1963. הכלי העיקרי המשמש להוכחת משפטי סופיות בגיאומטריה דיופנטית הוא הגובה. מבין הזנים האלגבריים, הממדים מעל אחד הם אבליםסעפות, שהן האנלוגים הרב-ממדיים של עקומות אליפטיות, נחקרו באופן יסודי ביותר.
A. וייל הכליל את המשפט על סופיות מספר המחוללים של קבוצת נקודות רציונליות לזנים אבלים מכל מימד (מושג מורדל-ווייל), והרחיב אותו. בשנות ה-60 הופיעה ההשערה של בירץ' וסווינרטון-דייר, ושיפרה את זה ואת תפקודי הקבוצה והזטה של הסעפת. עדויות מספריות תומכות בהשערה זו.
בעיית פתרון
הבעיה של מציאת אלגוריתם שניתן להשתמש בו כדי לקבוע אם למשוואה דיופנטית כלשהי יש פתרון. מאפיין מהותי של הבעיה המופיעה הוא החיפוש אחר שיטה אוניברסלית שתתאים לכל אי שוויון. שיטה כזו תאפשר גם לפתור את המערכות לעיל, שכן היא שווה ערך ל-P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 או p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. הבעיה של מציאת דרך אוניברסלית כזו למצוא פתרונות לאי שוויון ליניאריים במספרים שלמים הוצגה על ידי D. גילברט.
בתחילת שנות ה-50, הופיעו מחקרים ראשונים שמטרתם להוכיח את אי-קיומו של אלגוריתם לפתרון משוואות דיופנטיות. בשלב זה הופיעה השערת דייוויס, שאמרה שכל סט אינספור שייך גם למדען היווני. מכיוון שדוגמאות לקבוצות בלתי ניתנות להכרעה מבחינה אלגוריתמית ידועות, אך ניתן לספור באופן רקורסיבי. מכאן נובע שהשערת דייוויס נכונה ובעיית הפתירות של משוואות אלויש ביצוע שלילי.
אחרי זה, להשערת דייויס, נותר להוכיח שיש שיטה להפיכת אי-שוויון שגם (או לא היה) בו זמנית יש פתרון. הוכח ששינוי כזה של המשוואה הדיופנטית אפשרי אם יש לה את שתי התכונות שלעיל: 1) בכל פתרון מסוג זה v ≦ uu; 2) עבור כל k, יש ביצוע עם צמיחה מעריכית.
דוגמה למשוואה דיופנטית לינארית של מחלקה זו השלימה את ההוכחה. בעיית קיומו של אלגוריתם לפתירות והכרה של אי-שוויון אלו במספרים רציונליים עדיין נחשבת לשאלה חשובה ופתוחה שלא נחקרה מספיק.
