כדי לקבוע את ההקבלה והניצב של מישורים, כמו גם כדי לחשב את המרחקים בין העצמים הגיאומטריים הללו, נוח להשתמש בסוג כזה או אחר של פונקציות מספריות. לאילו בעיות נוח להשתמש במשוואת מישור בקטעים? במאמר זה, נבחן מה זה וכיצד להשתמש בו במשימות מעשיות.
מהי משוואה בקטעי קו?
ניתן להגדיר מישור במרחב תלת-ממדי בכמה דרכים. במאמר זה יינתנו חלקם תוך פתרון בעיות מסוגים שונים. כאן אנו נותנים תיאור מפורט של המשוואה בקטעים של המישור. בדרך כלל יש לו את הצורה הבאה:
x/p + y/q + z/r=1.
כאשר סימנים p, q, r מציינים כמה מספרים ספציפיים. ניתן לתרגם משוואה זו בקלות לביטוי כללי ולצורות אחרות של פונקציות מספריות עבור המישור.
הנוחות בכתיבת המשוואה בקטעים נעוצה בעובדה שהיא מכילה את הקואורדינטות המפורשות של חיתוך המישור עם צירי קואורדינטות מאונכים. על ציר ה-Xביחס למקור, המישור חותך קטע באורך p, על ציר y - שווה ל-q, ב-z - באורך r.
אם אחד משלושת המשתנים אינו כלול במשוואה, אז זה אומר שהמישור לא עובר בציר המתאים (מתמטיקאים אומרים שהוא חוצה באינסוף).
הבא, הנה כמה בעיות שבהן נראה כיצד לעבוד עם המשוואה הזו.
תקשורת של הכללית ובקטעי משוואות
ידוע שהמטוס ניתן על ידי השוויון הבא:
2x - 3y + z - 6=0.
יש צורך לרשום את המשוואה הכללית הזו של המישור בקטעים.
כאשר מתעוררת בעיה דומה, עליך לבצע טכניקה זו: אנו מעבירים את המונח החופשי לצד הימני של השוויון. לאחר מכן נחלק את המשוואה כולה במונח זה, וננסה לבטא אותה בצורה שניתנה בפסקה הקודמת. יש לנו:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
קיבלנו בקטעים את משוואת המישור, שניתנה בתחילה בצורה כללית. ניתן להבחין בכך שהמישור חותך קטעים באורך של 3, 2 ו-6 עבור צירי x, y ו-z, בהתאמה. ציר ה-y חוצה את המישור באזור הקואורדינטות השליליות.
כאשר משרטטים משוואה בקטעים, חשוב שלפני כל המשתנים יש סימן "+". רק במקרה זה, המספר שבו מחולק משתנה זה יראה את הקואורדינטה המנותקת על הציר.
וקטור ונקודה רגילה במטוס
ידוע שלמישור כלשהו יש וקטור כיוון (3; 0; -1). ידוע גם שהוא עובר דרך הנקודה (1; 1; 1). עבור המישור הזה, כתוב משוואה בקטעים.
כדי לפתור בעיה זו, תחילה עליך להשתמש בצורה הכללית עבור אובייקט גיאומטרי דו-ממדי זה. הטופס הכללי כתוב כ:
Ax + By + Cz + D=0.
שלושת המקדמים הראשונים כאן הם הקואורדינטות של וקטור המדריך, המצוין בהצהרת הבעיה, כלומר:
A=3;
B=0;
C=-1.
נותר למצוא את המונח החופשי D. ניתן לקבוע אותו לפי הנוסחה הבאה:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
כאשר ערכי הקואורדינטות עם אינדקס 1 תואמים את הקואורדינטות של נקודה השייכת למישור. אנו מחליפים את הערכים שלהם ממצב הבעיה, נקבל:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
עכשיו אתה יכול לכתוב את המשוואה המלאה:
3x - z - 2=0.
הטכניקה להמרת ביטוי זה למשוואה בקטעים של המישור כבר הוכחה לעיל. החל אותו:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
התקבלה התשובה לבעיה. שימו לב שהמישור הזה חוצה רק את צירי x ו-z. עבור y זה מקביל.
שני קווים ישרים המגדירים מישור
מהקורס של הגיאומטריה המרחבית, כל תלמיד יודע ששני קווים שרירותיים מגדירים מישור באופן ייחודימרחב תלת מימדי. בוא נפתור בעיה דומה.
שתי משוואות של קווים ידועות:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
יש צורך לרשום את משוואת המישור בקטעים, העוברים דרך קווים אלה.
מכיוון ששני הקווים חייבים להיות במישור, זה אומר שהווקטורים (המדריכים) שלהם חייבים להיות מאונכים לווקטור (המדריך) של המישור. יחד עם זאת, ידוע שהמכפלה הווקטורית של שני מקטעים מכוונים שרירותיים נותן את התוצאה בצורה של קואורדינטות של השלישי, בניצב לשניים המקוריים. בהינתן תכונה זו, אנו מקבלים את הקואורדינטות של וקטור נורמלי למישור הרצוי:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
מכיוון שניתן להכפיל אותו במספר שרירותי, זה יוצר קטע מכוון חדש מקביל לזה המקורי, נוכל להחליף את הסימן של הקואורדינטות שהתקבלו בהפוך (כפול ב-1), נקבל:
(1; 2; 1).
אנחנו יודעים את וקטור הכיוון. נותר לקחת נקודה שרירותית של אחד מהקווים הישרים ולשרטט את המשוואה הכללית של המישור:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
אם מתרגמים את השוויון הזה לביטוי בקטעים, נקבל:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
לפיכך, המישור חוצה את כל שלושת הצירים באזור החיובי של מערכת הקואורדינטות.
שלוש נקודות ומטוס
בדיוק כמו שני קווים ישרים, שלוש נקודות מגדירות מישור באופן ייחודי במרחב תלת מימדי. נכתוב את המשוואה המתאימה בקטעים אם ידועות הקואורדינטות הבאות של נקודות השוכנות במישור:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
בוא נעשה את הפעולות הבאות: לחשב את הקואורדינטות של שני וקטורים שרירותיים המחברים את הנקודות הללו, ואז למצוא את הווקטור n¯ נורמלי למישור על ידי חישוב המכפלה של המקטעים המכוונים שנמצאו. אנחנו מקבלים:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
קח את הנקודה P כדוגמה, חבר את משוואת המישור:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 או z=0.
קיבלנו ביטוי פשוט המתאים למישור xy במערכת הקואורדינטות המלבנית הנתונה. לא ניתן לכתוב אותו בקטעים, מכיוון שצירי x ו-y שייכים למישור, ואורך הקטע המנותק בציר z הוא אפס (הנקודה (0; 0; 0) שייכת למישור).
