לא סביר שאנשים רבים חושבים אם אפשר לחשב אירועים שהם פחות או יותר אקראיים. במילים פשוטות, האם זה ריאלי לדעת איזה צד של הקובייה ייפול הבא. שאלה זו היא ששאלו שני מדענים גדולים, שהניחו את היסודות למדע כמו תורת ההסתברות, שבה חוקרים את ההסתברות לאירוע בהרחבה.
מקור
אם תנסו להגדיר מושג כזה בתור תורת הסתברות, תקבלו את הדבר הבא: זהו אחד מענפי המתמטיקה החוקרים את הקביעות של אירועים אקראיים. כמובן שהמושג הזה לא באמת חושף את כל המהות, ולכן יש צורך לשקול אותו ביתר פירוט.
אני רוצה להתחיל עם יוצרי התיאוריה. כפי שהוזכר לעיל, היו שניים מהם, אלה הם פייר פרמה ובלז פסקל. הם היו בין הראשונים שניסו לחשב את התוצאה של אירוע באמצעות נוסחאות וחישובים מתמטיים. ככלל, יסודות המדע הזה הופיעו כברימי הביניים. באותה תקופה, הוגים ומדענים שונים ניסו לנתח הימורים, כגון רולטה, craps וכן הלאה, ובכך קבעו דפוס ואחוז של מספר מסוים שנפל. היסוד הונח במאה השבע עשרה על ידי המדענים הנ ל.
בתחילה, לא ניתן היה לייחס את עבודתם להישגים הגדולים בתחום זה, כי כל מה שהם עשו היה פשוט עובדות אמפיריות, והניסויים נקבעו בצורה ויזואלית, ללא שימוש בנוסחאות. עם הזמן, זה התברר להשיג תוצאות נהדרות, שהופיעו כתוצאה מהתבוננות בזריקת הקוביות. הכלי הזה הוא שעזר להפיק את הנוסחאות המובנות הראשונות.
Associates
אי אפשר שלא להזכיר אדם כמו כריסטיאן הויגנס, בתהליך של לימוד נושא שנקרא "תורת ההסתברות" (ההסתברות לאירוע מכוסה בדיוק במדע זה). האדם הזה מאוד מעניין. הוא, כמו המדענים שהוצגו לעיל, ניסה לגזור את סדירותם של אירועים אקראיים בצורה של נוסחאות מתמטיות. ראוי לציין שהוא לא עשה זאת יחד עם פסקל ופרמה, כלומר כל יצירותיו לא הצטלב בשום אופן עם המוחות הללו. הויגנס גזר את המושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות.
עובדה מעניינת היא שעבודתו יצאה הרבה לפני תוצאות עבודתם של החלוצים, או ליתר דיוק, עשרים שנה קודם לכן. בין המושגים המיועדים, המפורסמים ביותר הם:
- המושג של הסתברות כגודל של סיכוי;
- ציפייה לדיסקרטיותמקרים;
- משפטי כפל וחיבור של הסתברויות.
אי אפשר גם שלא לזכור את יעקב ברנולי, שגם הוא תרם תרומה משמעותית לחקר הבעיה. כשהוא ערך מבחנים משלו, ללא תלות באף אחד, הוא הצליח להציג הוכחה לחוק המספרים הגדולים. בתורם, המדענים פויסון ולפלאס, שעבדו בתחילת המאה התשע-עשרה, הצליחו להוכיח את המשפטים המקוריים. מרגע זה החלו להשתמש בתורת ההסתברות לניתוח טעויות במהלך התצפיות. גם מדענים רוסים, או ליתר דיוק מרקוב, צ'בישב ודיאפונוב, לא יכלו לעקוף את המדע הזה. בהתבסס על העבודה שעשו הגאונים הגדולים, הם תיקנו את הנושא הזה כענף של מתמטיקה. דמויות אלו פעלו כבר בסוף המאה התשע עשרה, ובזכות תרומתם, תופעות כמו:
- חוק המספרים הגדולים;
- תאוריית שרשרת מרקוב;
- משפט הגבול המרכזי.
אז, עם ההיסטוריה של הולדת המדע ועם האנשים העיקריים שהשפיעו עליו, הכל פחות או יותר ברור. עכשיו הגיע הזמן לממש את כל העובדות.
מושגים בסיסיים
לפני שניגע בחוקים ובמשפטים, כדאי ללמוד את המושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות. האירוע לוקח בו את התפקיד המוביל. הנושא הזה הוא די נרחב, אבל בלעדיו לא ניתן יהיה להבין את כל השאר.
אירוע בתורת ההסתברות הוא כל קבוצה של תוצאות של ניסוי. אין כל כך הרבה מושגים של תופעה זו. אז, המדען לוטמן,עובד בתחום הזה, אמר שבמקרה הזה אנחנו מדברים על משהו ש"קרה, למרות שאולי לא קרה."
אירועים אקראיים (תורת ההסתברות מקדישה להם תשומת לב מיוחדת) הוא מושג שמרמז לחלוטין על כל תופעה שיש לה את היכולת להתרחש. או להיפך, ייתכן שתרחיש זה לא יקרה כאשר מתקיימים תנאים רבים. כדאי גם לדעת שאירועים אקראיים הם שתופסים את כל נפח התופעות שהתרחשו. תורת ההסתברות מצביעה על כך שניתן לחזור על כל התנאים ללא הרף. ההתנהלות שלהם היא שנקראה "ניסיון" או "מבחן".
אירוע מסוים הוא כזה שיתרחש ב-100% במבחן נתון. בהתאם, אירוע בלתי אפשרי הוא אירוע שלא יקרה.
שילוב של צמד פעולות (בדרך כלל מקרה א' ומקרה ב') היא תופעה המתרחשת בו-זמנית. הם מוגדרים כ-AB.
סכום צמדי האירועים A ו-B הוא C, במילים אחרות, אם לפחות אחד מהם קורה (A או B), אז יתקבל C. הנוסחה של התופעה המתוארת נכתבת כך: C=A + B.
אירועים נפרדים בתורת ההסתברות מרמזים על כך ששני מקרים סותרים זה את זה. הם אף פעם לא יכולים לקרות באותו זמן. אירועים משותפים בתורת ההסתברות הם האנטיפוד שלהם. זה מרמז שאם A קרה, אז זה לא מפריע ל-B.
אירועים מנוגדים (תורת ההסתברות עוסקת בהם בפירוט רב) קלים להבנה. עדיף להתמודד איתם בהשוואה. הם כמעט זהים לואירועים לא תואמים בתורת ההסתברות. אבל ההבדל ביניהם טמון בעובדה שאחת מהתופעות הרבות חייבת להתרחש בכל מקרה.
אירועים שווים הם הפעולות האלה, שהאפשרות שלהן שווה. כדי להבהיר את זה, אנחנו יכולים לדמיין הטלת מטבע: נפילה של אחד מהצדדים שלו צפויה באותה מידה ליפול של השני.
קל יותר לראות אירוע משמח עם דוגמה. נניח שיש פרק ב' ופרק א'. הראשון הוא הטלת הקובייה עם הופעת מספר אי זוגי, והשני הוא הופעת הספרה חמש על הקוביה. ואז מתברר שא' מעדיף את B.
אירועים עצמאיים בתורת ההסתברות מוקרנים רק על שני מקרים או יותר ומרמזים על אי-תלות של כל פעולה מאחרת. לדוגמה, A הוא אובדן זנבות כאשר מטבע מושלך, ו-B הוא ציור של שקע מהחפיסה. הם אירועים עצמאיים בתורת ההסתברות. עם הרגע הזה זה נעשה ברור יותר.
אירועים תלויים בתורת ההסתברות קבילים גם הם רק עבור הסט שלהם. הם מרמזים על התלות של אחד בשני, כלומר, התופעה ב' יכולה להתרחש רק אם A כבר התרחשה או להיפך, לא התרחשה, כאשר זה התנאי העיקרי ל-B.
התוצאה של ניסוי אקראי המורכב ממרכיב אחד היא אירועים יסודיים. תורת ההסתברות מסבירה שזו תופעה שהתרחשה רק פעם אחת.
נוסחאות בסיסיות
אז, המושגים של "אירוע", "תורת הסתברות",ניתנה גם ההגדרה של המונחים הבסיסיים של מדע זה. עכשיו הגיע הזמן להכיר ישירות את הנוסחאות החשובות. ביטויים אלה מאשרים מתמטית את כל המושגים העיקריים בנושא כה קשה כמו תורת ההסתברות. ההסתברות לאירוע משחקת תפקיד עצום גם כאן.
מוטב להתחיל עם הנוסחאות הבסיסיות של קומבינטוריקה. ולפני שממשיכים אליהם, כדאי לשקול במה מדובר.
קומבינטוריקה היא בעיקר ענף של מתמטיקה, היא עוסקת בחקר מספר עצום של מספרים שלמים, כמו גם תמורות שונות של המספרים עצמם ושל היסודות שלהם, נתונים שונים וכו', המובילות להופעת מספר שילובים. בנוסף לתורת ההסתברות, ענף זה חשוב לסטטיסטיקה, מדעי המחשב והצפנה.
אז עכשיו אנחנו יכולים לעבור להצגת הנוסחאות עצמן ולהגדרתן.
הראשון יהיה הביטוי למספר התמורות, זה נראה כך:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
המשוואה חלה רק אם הרכיבים שונים רק לפי הסדר.
כעת תישקל נוסחת המיקום, היא נראית כך:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (נ - מ')!
ביטוי זה מתייחס לא רק לסדר האלמנט, אלא גם להרכבו.
המשוואה השלישית מהקומבינטוריקה, והיא גם האחרונה, נקראת הנוסחה למספר הצירופים:
C_n^m=n !:((נ -M))!:מ !
שילובים הם בחירות שאינן מסודרות, בהתאמה, והכלל הזה חל עליהן.
התברר שקל להבין את הנוסחאות של קומבינטוריקה, עכשיו אנחנו יכולים לעבור להגדרה הקלאסית של הסתברויות. הביטוי הזה נראה כך:
P(A)=m: n.
בנוסחה זו, m הוא מספר התנאים הטובים לאירוע A, ו-n הוא המספר של כל התוצאות האפשריות והיסודיות באותה מידה.
יש מספר רב של ביטויים, המאמר לא יכסה את כולם, אך ייגע בדברים החשובים שבהם, כמו למשל, הסתברות סכום האירועים:
P(A + B)=P(A) + P(B) - המשפט הזה מיועד להוספת אירועים לא תואמים בלבד;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - וזה מיועד להוספת תואמים בלבד.
הסתברות להפקת אירועים:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – המשפט הזה מיועד לאירועים עצמאיים;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - וזה מיועד עבור מכורים.
נוסחת האירוע מסיימת את הרשימה. תורת ההסתברות מספרת לנו על משפט בייס, שנראה כך:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
בנוסחה זו, H1, H2, …, H הוא ה- קבוצה שלמה של השערות.
בואו נעצור כאן, ואז נשקול דוגמאות של יישום נוסחאות לפתרון בעיות ספציפיות מהתרגול.
דוגמאות
אם תלמד בקפידה קטע כלשהומתמטיקה, זה לא מסתדר בלי תרגילים ופתרונות לדוגמה. כך גם תורת ההסתברות: אירועים, דוגמאות כאן הן מרכיב אינטגרלי המאשש חישובים מדעיים.
נוסחה למספר התמורות
בוא נגיד שיש שלושים קלפים בחפיסת קלפים, החל בערך נקוב אחד. שאלה הבאה. כמה דרכים יש לערום את החפיסה כך שקלפים עם ערך נקוב של אחד ושתיים לא יהיו זה ליד זה?
המשימה הוגדרה, כעת נעבור לפתרון. ראשית עליך לקבוע את מספר התמורות של שלושים אלמנטים, לשם כך אנו לוקחים את הנוסחה לעיל, מסתבר ש-P_30=30!.
בהתבסס על הכלל הזה, נגלה כמה אפשרויות יש לקפל את החפיסה בדרכים שונות, אבל אנחנו צריכים להפחית מהן את אלו שבהן הקלף הראשון והשני הם הבאים. כדי לעשות זאת, נתחיל עם האפשרות כאשר הראשון נמצא מעל השני. מסתבר שהקלף הראשון יכול לתפוס עשרים ותשעה מקומות - מהראשון עד העשרים ותשעה, והקלף השני מהשני עד השלושים, יוצא עשרים ותשעה מקומות לזוג קלפים. בתורו, השאר יכולים לתפוס עשרים ושמונה מקומות, ובכל סדר. כלומר, עבור תמורה של עשרים ושמונה קלפים, יש עשרים ושמונה אפשרויות P_28=28!
כתוצאה מכך, מתברר שאם נשקול את הפתרון כאשר הקלף הראשון מעל השני, יש 29 ⋅ 28 אפשרויות נוספות!=29!
באמצעות אותה שיטה, עליך לחשב את מספר האפשרויות המיותרות עבור המקרה כאשר הקלף הראשון נמצא מתחת לשנייה.מסתבר גם 29 ⋅ 28!=29!
מכאן נובע שיש 2 ⋅ 29 אפשרויות נוספות!, בעוד שישנן 30 דרכים נדרשות לבנות חפיסה! - 2 ⋅ 29!. נותר רק לספור.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
עכשיו אתה צריך להכפיל את כל המספרים מאחד עד עשרים ותשע ביחד, ואז בסוף להכפיל הכל ב-28. התשובה היא 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
פתרון הדוגמה. נוסחה למספר מיקום
בבעיה זו, אתה צריך לברר כמה דרכים יש לשים חמישה עשר כרכים על מדף אחד, אבל בתנאי שיש שלושים כרכים בסך הכל.
לבעיה הזו יש פתרון מעט יותר קל מהקודם. באמצעות הנוסחה הידועה כבר, יש צורך לחשב את המספר הכולל של מיקומים מתוך שלושים כרכים של חמישה עשר.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 931 70
התשובה, בהתאמה, תהיה 202 843 204 931 727 360 000.
עכשיו בואו ניקח את המשימה קצת יותר קשה. עליך לברר כמה דרכים יש לסדר שלושים ספרים בשני מדפי ספרים, בתנאי שרק חמישה עשר כרכים יכולים להיות על מדף אחד.
לפני שמתחילים בפתרון, ברצוני להבהיר שחלק מהבעיות נפתרות בכמה דרכים, אז ישנן שתי דרכים באחת הזו, אך משתמשים באותה נוסחה בשתיהן.
בבעיה זו, אתה יכול לקחת את התשובה מהקודמת, כי שם חישבנו כמה פעמים אתה יכול למלא מדף בחמישה עשר ספרים עבור-באופן שונה. התברר כי A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
נחשב את המדף השני באמצעות נוסחת התמורה, כי מונחים בו חמישה עשר ספרים, בעוד שרק חמישה עשר נשארו. השתמש בנוסחה P_15=15!.
מסתבר שהסך הכל יהיה A_30^15 ⋅ P_15 דרכים, אבל בנוסף, יהיה צורך להכפיל את המכפלה של כל המספרים משלושים עד שש עשרה במכפלת המספרים מאחד עד חמש עשרה, שכן תוצאה, המכפלה של כל המספרים מאחד עד שלושים, אז התשובה היא 30!
אבל אפשר לפתור את הבעיה הזו בדרך אחרת - קל יותר. כדי לעשות זאת, אתה יכול לדמיין שיש מדף אחד לשלושים ספרים. כולם מונחים על המטוס הזה, אבל מכיוון שהמצב מחייב שיהיו שני מדפים, חותכים אחד ארוך לשניים, יוצא שניים חמש עשרה כל אחד. מכאן מסתבר שאפשרויות המיקום יכולות להיות P_30=30!.
פתרון הדוגמה. נוסחה לשילוב מספר
עכשיו נשקול גרסה של הבעיה השלישית מהקומבינטוריקה. אתה צריך לברר כמה דרכים יש לסדר חמישה עשר ספרים, בתנאי שאתה צריך לבחור מתוך שלושים זהים לחלוטין.
לפתרון, כמובן, תיושם הנוסחה למספר הצירופים. מהתנאי מתברר שאין חשיבות לסדרם של חמישה עשר הספרים הזהים. לכן, תחילה עליך לברר את המספר הכולל של צירופים של שלושים ספרים של חמישה עשר.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: חמש עשרה!=155 117 520
זהו. באמצעות נוסחה זו, בזמן הקצר ביותר האפשרילפתור בעיה כזו, התשובה, בהתאמה, היא 155 117 520.
פתרון הדוגמה. ההגדרה הקלאסית של הסתברות
עם הנוסחה למעלה, אתה יכול למצוא את התשובה לבעיה פשוטה. אבל זה יעזור לראות ויזואלית ולעקוב אחר מהלך הפעולות.
ניתן בבעיה שיש עשרה כדורים זהים לחלוטין בכד. מתוכם, ארבעה צהובים ושישה כחולים. כדור אחד נלקח מהכד. אתה צריך לברר את ההסתברות לקבל כחול.
כדי לפתור את הבעיה, יש צורך להגדיר את קבלת הכדור הכחול כאירוע א'. לחוויה זו יכולות להיות עשר תוצאות, שבתורן, הן יסודיות וסבירות באותה מידה. יחד עם זאת, מתוך עשרה, שישה נוחים לאירוע א'. אנו פותרים לפי הנוסחה:
P(A)=6: 10=0, 6
ביישום הנוסחה הזו, גילינו שההסתברות לקבל את הכדור הכחול היא 0.6.
פתרון הדוגמה. הסתברות לסכום האירועים
עכשיו יוצג וריאנט, שנפתר באמצעות הנוסחה להסתברות של סכום האירועים. אז, בתנאי שיש שתי קופסאות, הראשון מכיל כדור אחד אפור וחמישה כדורים לבנים, והשני מכיל שמונה כדורים אפורים וארבעה כדורים לבנים. כתוצאה מכך, אחד מהם נלקח מהקופסה הראשונה והשנייה. צריך לברר מה הסיכוי שהכדורים שתקבלו יהיו אפורים ולבנים.
כדי לפתור בעיה זו, עליך לתייג את האירועים.
- אז, A - קח כדור אפור מהקופסה הראשונה: P(A)=1/6.
- A’ – קח כדור לבן גם מהקופסה הראשונה: P(A')=5/6.
- B – הכדור האפור כבר הוצא מהקופסה השנייה: P(B)=2/3.
- B’ – קח כדור אפור מהתיבה השנייה: P(B')=1/3.
לפי מצב הבעיה חייבת לקרות אחת התופעות: AB' או A'B. באמצעות הנוסחה, נקבל: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
עכשיו נעשה שימוש בנוסחת הכפל ההסתברות. לאחר מכן, כדי לגלות את התשובה, עליך ליישם את המשוואה לחיבור שלהם:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
כך, באמצעות הנוסחה, תוכלו לפתור בעיות דומות.
Result
המאמר סיפק מידע על הנושא "תורת ההסתברות", שבו ההסתברות לאירוע משחקת תפקיד מכריע. כמובן שלא הכל נלקח בחשבון, אבל בהתבסס על הטקסט המוצג אפשר להכיר תיאורטית את החלק הזה של המתמטיקה. המדע המדובר יכול להיות שימושי לא רק בעבודה מקצועית, אלא גם בחיי היומיום. בעזרתו, אתה יכול לחשב כל אפשרות של כל אירוע.
הטקסט נגע גם בתאריכים משמעותיים בהיסטוריה של היווצרות תורת ההסתברות כמדע, ובשמות של אנשים שעבודותיהם הושקעו בה. כך הובילה הסקרנות האנושית לכך שאנשים למדו לחשב אפילו אירועים אקראיים. פעם הם רק התעניינו בזה, אבל היום כולם כבר יודעים על זה. ואף אחד לא יגיד מה מצפה לנו בעתיד, אילו תגליות מבריקות נוספות הקשורות לתיאוריה הנבדקת יתגלו. אבל דבר אחד בטוח - המחקר לא עומד מלכת!
