סדרת פורייה היא ייצוג של פונקציה שנלקחה באופן שרירותי עם תקופה מסוימת כסדרה. באופן כללי, פתרון זה נקרא פירוק של אלמנט בבסיס אורתוגונלי. הרחבת הפונקציות בסדרת פורייה היא כלי רב עוצמה לפתרון בעיות שונות בשל המאפיינים של טרנספורמציה זו בעת אינטגרציה, הבדלה, כמו גם הסטה של ביטוי בטיעון ובקונבולוציה.
אדם שאינו בקיא במתמטיקה גבוהה יותר, כמו גם בעבודותיו של המדען הצרפתי פורייה, סביר להניח שלא יבין מה הן ה"שורות" הללו ולמה הן מיועדות. בינתיים, השינוי הזה הפך לדחוס למדי בחיינו. הוא משמש לא רק על ידי מתמטיקאים, אלא גם על ידי פיזיקאים, כימאים, רופאים, אסטרונומים, סייסמולוגים, אוקיאנוגרפים ועוד רבים אחרים. בואו נסתכל מקרוב על עבודותיו של המדען הצרפתי הגדול, שגילה תגלית שהקדימה את זמנו.
האדם והתמרת פורייה
סדרות פורייה הן אחת השיטות (יחד עם ניתוח ואחרות) של התמרת פורייה. תהליך זה מתרחש בכל פעם שאדם שומע צליל. האוזן שלנו ממירה אוטומטית את הצלילגלים. תנועות התנודה של חלקיקים יסודיים בתווך אלסטי מפורקות לשורות (לאורך הספקטרום) של ערכים עוקבים של רמת הווליום עבור גוונים בגבהים שונים. בשלב הבא, המוח הופך את הנתונים הללו לצלילים המוכרים לנו. כל זה קורה בנוסף לרצון או התודעה שלנו, מעצמו, אבל כדי להבין את התהליכים האלה, ייקח כמה שנים ללמוד מתמטיקה גבוהה יותר.
עוד על טרנספורמציה פורייה
ניתן לבצע טרנספורמציה של פורייה בשיטות אנליטיות, מספריות ואחרות. סדרות פורייה מתייחסות לדרך המספרי של פירוק תהליכים נדנודיים כלשהם - מגאות גאות אוקיינוס וגלי אור ועד למחזוריות של פעילות שמש (ועצמים אסטרונומיים אחרים). באמצעות טכניקות מתמטיות אלו, ניתן לנתח פונקציות, המייצגות כל תהליכים תנודתיים כסדרה של רכיבים סינוסואידיים העוברים ממינימום למקסימום ולהיפך. טרנספורמציה פורייה היא פונקציה המתארת את הפאזה והמשרעת של סינוסואידים התואמים לתדר מסוים. תהליך זה יכול לשמש לפתרון משוואות מורכבות מאוד המתארות תהליכים דינמיים המתרחשים בהשפעת אנרגיה תרמית, אור או חשמלית. כמו כן, סדרות פורייה מאפשרות לבודד את הרכיבים הקבועים באותות נדנודים מורכבים, מה שאפשר לפרש נכון את התצפיות הניסויות שהתקבלו ברפואה, כימיה ואסטרונומיה.
רקע היסטורי
האב המייסד של התיאוריה הזוז'אן בפטיסט ג'וזף פורייה הוא מתמטיקאי צרפתי. טרנספורמציה זו נקראה לאחר מכן על שמו. בתחילה יישם המדען את שיטתו כדי לחקור ולהסביר את מנגנוני הולכת החום - התפשטות החום במוצקים. פורייה הציע שניתן לפרק את ההתפלגות הבלתי סדירה הראשונית של גל חום לסינוסואידים הפשוטים ביותר, שלכל אחד מהם יהיו מינימום ומקסימום טמפרטורה משלו, כמו גם שלב משלו. במקרה זה, כל רכיב כזה יימדד ממינימום למקסימום ולהיפך. הפונקציה המתמטית המתארת את הפסגות העליונות והתחתונות של העקומה, כמו גם את השלב של כל אחת מההרמוניות, נקראת טרנספורמציה פורייה של ביטוי התפלגות הטמפרטורה. מחבר התאוריה צמצם את פונקציית ההתפלגות הכללית, שקשה לתאר אותה מתמטית, לסדרה קלה מאוד לטיפול של פונקציות קוסינוס וסינוס מחזוריות שמצטברות להתפלגות המקורית.
עקרון הטרנספורמציה והשקפותיהם של בני זמננו
בני דורו של המדען - המתמטיקאים המובילים של תחילת המאה התשע-עשרה - לא קיבלו את התיאוריה הזו. ההתנגדות העיקרית הייתה קביעתו של פורייה כי ניתן לייצג פונקציה בלתי רציפה המתארת קו ישר או עקומה בלתי רציפה כסכום של ביטויים סינוסואידים שהם רציפים. כדוגמה, קחו בחשבון את ה"צעד" של Heaviside: ערכו הוא אפס משמאל לפער ואחד מימין. פונקציה זו מתארת את התלות של הזרם החשמלי במשתנה הזמן כאשר המעגל סגור. בני זמננו של התיאוריה באותה תקופה מעולם לא נתקלו בכאלהמצב שבו הביטוי הבלתי רציף יתואר על ידי שילוב של פונקציות רציפות, רגילות, כגון אקספוננציאלי, סינוסואיד, ליניארי או ריבועי.
מה בלבל מתמטיקאים צרפתים בתורת פורייה?
אחרי הכל, אם המתמטיקאי צדק בהצהרותיו, אז בסיכום סדרת פורייה הטריגונומטרית האינסופית, ניתן לקבל ייצוג מדויק של ביטוי הצעד גם אם יש לו הרבה שלבים דומים. בתחילת המאה התשע-עשרה, אמירה כזו נראתה אבסורדית. אבל למרות כל הספקות, מתמטיקאים רבים הרחיבו את היקף המחקר של תופעה זו, והוציאו אותה מעבר לתחום המחקרים על מוליכות תרמית. עם זאת, רוב המדענים המשיכו להתייסר על השאלה: "האם סכום של סדרה סינוסואידלית יכול להתכנס לערך המדויק של פונקציה בלתי רציפה?"
התכנסות של סדרות פורייה: דוגמה
שאלת ההתכנסות מועלית בכל פעם שיש צורך לסכם סדרות אינסופיות של מספרים. כדי להבין תופעה זו, שקול דוגמה קלאסית. האם אי פעם תוכל להגיע לקיר אם כל צעד עוקב הוא חצי מהגודל הקודם? נניח שאתה שני מטרים מהמטרה, הצעד הראשון מקרב אותך לנקודת המחצית, הבא לנקודת שלושת הרבעים, ואחרי החמישי תעבור כמעט 97 אחוז מהדרך. עם זאת, לא משנה כמה צעדים תנקוט, לא תשיג את המטרה המיועדת במובן מתמטי קפדני. באמצעות חישובים מספריים, אפשר להוכיח שבסופו של דבר אפשר להתקרב כמה שאוהבים.מרחק מוגדר קטן. הוכחה זו שוות ערך להדגמה שערך הסכום של חצי, רבע וכו' ישוטה לאחד.
שאלת התכנסות: הביאה השניה, או המכשיר של לורד קלווין
שוב ושוב שאלה זו עלתה בסוף המאה התשע-עשרה, כאשר ניסו להשתמש בסדרות פורייה כדי לחזות את עוצמת הגאות והשפל. בשלב זה, לורד קלווין המציא מכשיר, שהוא מכשיר מחשוב אנלוגי שאפשר לימאים של צי הצבא והסוחר לעקוב אחר תופעת הטבע הזו. מנגנון זה קבע את קבוצות השלבים והמשרעות מטבלת גבהי הגאות והרגעים המתאימים להם, שנמדדו בקפידה בנמל נתון במהלך השנה. כל פרמטר היה מרכיב סינוסואידאלי של ביטוי גובה הגאות והשפל והיה אחד המרכיבים הקבועים. תוצאות המדידות הוכנסו למחשבון של לורד קלווין, שסינתז עקומה שחיזה את גובה המים כפונקציה של הזמן לשנה הבאה. עד מהרה נעשו עקומות דומות עבור כל הנמלים בעולם.
ואם התהליך נשבר על ידי פונקציה לא רציפה?
באותה תקופה, נראה היה ברור שמנבא גלי גאות עם מספר רב של רכיבי ספירה יכול לחשב מספר רב של פאזות ומשרעות ובכך לספק תחזיות מדויקות יותר. אף על פי כן, התברר כי סדירות זו אינה נצפית במקרים בהם הביטוי הגאות והשפל, הבאסינתזה, הכיל קפיצה חדה, כלומר, זה היה בלתי רציף. במקרה שהנתונים מוכנסים למכשיר מטבלת רגעי הזמן, הוא מחשב מספר מקדמי פורייה. התפקוד המקורי משוחזר הודות לרכיבים הסינוסואידים (לפי המקדמים שנמצאו). ניתן למדוד את הפער בין הביטוי המקורי למשוחזר בכל נקודה. כאשר מבצעים חישובים והשוואות חוזרות ונשנות, ניתן לראות שערך השגיאה הגדולה ביותר אינו יורד. עם זאת, הם ממוקמים באזור המתאים לנקודת האי-רציפות, ונוטים לאפס בכל נקודה אחרת. בשנת 1899, תוצאה זו אושרה תיאורטית על ידי ג'ושוע ווילארד גיבס מאוניברסיטת ייל.
התכנסות של סדרות פורייה והתפתחות המתמטיקה בכלל
ניתוח פורייה אינו ישים לביטויים המכילים מספר אינסופי של התפרצויות במרווח מסוים. באופן כללי, סדרות פורייה, אם הפונקציה המקורית היא תוצאה של מדידה פיזיקלית אמיתית, תמיד מתכנסות. שאלות של התכנסות תהליך זה עבור מחלקות ספציפיות של פונקציות הובילו להופעתם של סעיפים חדשים במתמטיקה, למשל, תורת הפונקציות המוכללות. זה קשור לשמות כמו ל' שוורץ, י' מיקוסינסקי וג'יי טמפל. במסגרת תיאוריה זו נוצר בסיס תיאורטי ברור ומדויק לביטויים כמו פונקציית הדלתא של דיראק (היא מתארת שטח של אזור בודד המרוכז בשכונה קטנה לאין שיעור של נקודה) וה-Heaviside " שלב". הודות לעבודה זו, סדרת פורייה הפכה ליישוםפתרון משוואות ובעיות הכוללות מושגים אינטואיטיביים: מטען נקודתי, מסה נקודתית, דיפולים מגנטיים, וכן עומס מרוכז על קרן.
שיטת פורייה
סדרות פורייה, בהתאם לעקרונות ההפרעות, מתחילות בפירוק של צורות מורכבות לצורות פשוטות יותר. לדוגמה, שינוי בזרימת החום מוסבר על ידי מעברו דרך מכשולים שונים העשויים מחומר מבודד חום בעל צורה לא סדירה או שינוי פני השטח של כדור הארץ - רעידת אדמה, שינוי במסלולו של גוף שמימי - השפעת כוכבי לכת. ככלל, משוואות דומות המתארות מערכות קלאסיות פשוטות נפתרות באופן יסודי עבור כל גל בודד. פורייה הראה שניתן לסכם פתרונות פשוטים גם כדי לתת פתרונות לבעיות מורכבות יותר. בשפת המתמטיקה, סדרת פורייה היא טכניקה לייצוג ביטוי כסכום של הרמוניות - קוסינוס וסינוסים. לכן, ניתוח זה ידוע גם בשם "ניתוח הרמוני".
סדרת פורייה - הטכניקה האידיאלית לפני "עידן המחשב"
לפני יצירת טכנולוגיית המחשב, טכניקת פורייה הייתה הנשק הטוב ביותר בארסנל המדענים כאשר עובדים עם טבע הגל של העולם שלנו. סדרת פורייה בצורה מורכבת מאפשרת לפתור לא רק בעיות פשוטות שניתן ליישם ישירות על חוקי המכניקה של ניוטון, אלא גם משוואות יסוד. רוב התגליות של המדע הניוטוני במאה התשע-עשרה התאפשרו רק על ידי הטכניקה של פורייה.
סדרת פורייה היום
עם פיתוח מחשבי פורייה טרנספורמציהעלה לרמה חדשה לגמרי. טכניקה זו מושרשת היטב כמעט בכל תחומי המדע והטכנולוגיה. דוגמה לכך היא אות אודיו ווידאו דיגיטלי. מימושו התאפשר רק הודות לתיאוריה שפיתח מתמטיקאי צרפתי בתחילת המאה התשע-עשרה. לפיכך, סדרת פורייה בצורה מורכבת אפשרה לעשות פריצת דרך בחקר החלל החיצון. בנוסף, הוא השפיע על חקר הפיזיקה של חומרים מוליכים למחצה ופלזמה, אקוסטיקה של מיקרוגל, אוקינוגרפיה, מכ ם, סיסמולוגיה.
סדרת פורייה טריגונומטרית
במתמטיקה, סדרת פורייה היא דרך לייצג פונקציות מורכבות שרירותיות כסכום של פשוטות יותר. במקרים כלליים, מספר הביטויים הללו יכול להיות אינסופי. יתרה מכך, ככל שמספרם נלקח בחשבון בחישוב, כך התוצאה הסופית מדויקת יותר. לרוב, הפונקציות הטריגונומטריות של קוסינוס או סינוס משמשות כפשוטות ביותר. במקרה זה, סדרת פורייה נקראת טריגונומטרית, והפתרון של ביטויים כאלה נקרא הרחבת ההרמונית. לשיטה זו יש תפקיד חשוב במתמטיקה. קודם כל, הסדרה הטריגונומטרית מספקת אמצעי לתמונה, כמו גם מחקר של פונקציות, היא המנגנון העיקרי של התיאוריה. בנוסף, הוא מאפשר לפתור מספר בעיות של פיזיקה מתמטית. לבסוף, תיאוריה זו תרמה לפיתוח הניתוח המתמטי, הולידה מספר חלקים חשובים מאוד במדע המתמטי (תורת האינטגרלים, תורת הפונקציות המחזוריות). בנוסף, היא שימשה נקודת מוצא לפיתוח התיאוריות הבאות: קבוצות, פונקציותמשתנה אמיתי, ניתוח פונקציונלי, וגם הניח את הבסיס לניתוח הרמוני.
