רבים, המתמודדים עם המושג "תורת ההסתברות", מפוחדים, וחושבים שזה משהו מכריע, מורכב מאוד. אבל זה באמת לא כל כך טרגי. היום נשקול את המושג הבסיסי של תורת ההסתברות, נלמד כיצד לפתור בעיות באמצעות דוגמאות ספציפיות.
Science
מה חוקר ענף כזה של מתמטיקה כמו "תורת ההסתברות"? הוא מציין דפוסים של אירועים וכמויות אקראיות. בפעם הראשונה, מדענים החלו להתעניין בנושא זה עוד במאה השמונה עשרה, כאשר הם למדו הימורים. המושג הבסיסי של תורת ההסתברות הוא אירוע. זו כל עובדה שמתגלה על ידי ניסיון או התבוננות. אבל מה זה ניסיון? מושג בסיסי נוסף של תורת ההסתברות. זה אומר שהרכב הנסיבות הזה לא נוצר במקרה, אלא למטרה מסוימת. לגבי תצפית, כאן החוקר עצמו אינו משתתף בניסוי, אלא הוא פשוט עד לאירועים הללו, הוא לא משפיע על המתרחש בשום צורה.
אירועים
למדנו שהמושג הבסיסי של תורת ההסתברות הוא אירוע, אבל לא שקלנו את הסיווג. כולם מחולקים לקטגוריות הבאות:
- Reliable.
- אי אפשר.
- אקראי.
לא משנהאיזה סוג של אירועים נצפים או נוצרים במהלך ההתנסות, כולם כפופים לסיווג זה. אנו מציעים להכיר כל אחד מהמינים בנפרד.
אירוע מסוים
זוהי נסיבות שלפניה ננקטו מערך האמצעים הדרוש. כדי להבין טוב יותר את המהות, עדיף לתת כמה דוגמאות. פיזיקה, כימיה, כלכלה ומתמטיקה גבוהה יותר כפופים לחוק זה. תורת ההסתברות כוללת מושג כה חשוב כמו אירוע מסוים. הנה כמה דוגמאות:
- אנחנו עובדים ומקבלים תגמול בצורת שכר.
- עברנו היטב את המבחנים, עברנו את התחרות, על כך מקבלים פרס בדמות קבלה למוסד חינוכי.
- השקענו כסף בבנק, נחזיר אותו במידת הצורך.
אירועים כאלה אמינים. אם מילאנו את כל התנאים הדרושים, אין ספק שנקבל את התוצאה הצפויה.
אירועים בלתי אפשריים
עכשיו אנחנו שוקלים אלמנטים של תורת ההסתברות. אנו מציעים לעבור להסבר על סוג האירוע הבא, כלומר הבלתי אפשרי. ראשית, נציין את הכלל החשוב ביותר - ההסתברות לאירוע בלתי אפשרי היא אפס.
לא ניתן לסטות מניסוח זה בעת פתרון בעיות. לשם הבהרה, הנה דוגמאות לאירועים כאלה:
- המים קפאו בפלוס עשר (זה בלתי אפשרי).
- מחסור בחשמל אינו משפיע בשום צורה על הייצור (ממש בלתי אפשרי כמו בדוגמה הקודמת).
דוגמאות נוספותלא כדאי לצטט, שכן אלה שתוארו לעיל משקפים בצורה ברורה מאוד את המהות של קטגוריה זו. האירוע הבלתי אפשרי לעולם לא יקרה במהלך החוויה בשום פנים ואופן.
אירועים אקראיים
לומדת את המרכיבים של תורת ההסתברות, יש להקדיש תשומת לב מיוחדת לסוג מסוים של אירוע. זה מה שהמדע לומד. כתוצאה מניסיון, משהו עלול לקרות או לא. בנוסף, ניתן לחזור על הבדיקה מספר בלתי מוגבל של פעמים. דוגמאות חיות הן:
- הטלת מטבע היא חוויה, או מבחן, הכותרת היא אירוע.
- שליפה עיוורת של כדור מתוך שקית היא מבחן, כדור אדום נתפס הוא אירוע וכן הלאה.
יכול להיות מספר בלתי מוגבל של דוגמאות כאלה, אבל, באופן כללי, המהות צריכה להיות ברורה. לסיכום ושיטתיות של הידע שנצבר על אירועים, ניתנת טבלה. תורת ההסתברות חוקרת רק את הסוג האחרון מכל המוצגים.
| title | definition | example |
| Reliable | אירועים המתרחשים עם אחריות של 100% בתנאים מסוימים. | קבלה למוסד חינוכי עם בחינת כניסה טובה. |
| אי אפשר | אירועים שלעולם לא יקרו בשום פנים ואופן. | יורד שלג בטמפרטורה של פלוס שלושים מעלות צלזיוס. |
| Random | אירוע שעשוי להתרחש או לא במהלך ניסוי/בדיקה. | פגע או החטיא בעת זריקת כדורסל לתוך החישוק. |
חוקים
תורת ההסתברות היא מדע החוקר את האפשרות של אירוע. כמו לאחרים, יש לו כמה כללים. ישנם את החוקים הבאים של תורת ההסתברות:
- התכנסות של רצפים של משתנים אקראיים.
- חוק המספרים הגדולים.
בעת חישוב האפשרות של קומפלקס, ניתן להשתמש במכלול של אירועים פשוטים כדי להשיג את התוצאה בצורה קלה ומהירה יותר. שימו לב שחוקי תורת ההסתברות מוכחים בקלות בעזרת משפטים מסוימים. נתחיל עם החוק הראשון.
התכנסות של רצפים של משתנים אקראיים
שים לב שיש כמה סוגים של התכנסות:
- רצף המשתנים האקראיים מתכנס בהסתברות.
- כמעט בלתי אפשרי.
- התכנסות RMS.
- התכנסות בהפצה.
אז, תוך כדי תנועה, קשה מאוד להגיע לתחתית העניין. הנה כמה הגדרות שיעזרו לך להבין את הנושא הזה. נתחיל במבט ראשון. רצף נקרא בהסתברות מתכנס אם התנאי הבא מתקיים: n שואף לאינסוף, המספר שאליו שואף הרצף גדול מאפס וקרוב לאחד.
מעבר לתצוגה הבאה, כמעט בוודאות. הם אומרים את זההרצף מתכנס כמעט בבטחה למשתנה אקראי כאשר n נוטה לאינסוף ו-P נוטה לערך קרוב לאחד.
הסוג הבא הוא התכנסות שורש-ממוצע-ריבוע. כאשר משתמשים בהתכנסות SC, המחקר של תהליכים אקראיים וקטוריים מצטמצם לחקר התהליכים האקראיים הקואורדינטות שלהם.
הסוג האחרון נשאר, בואו נסתכל עליו בקצרה כדי להמשיך ישירות לפתרון בעיות. להתכנסות הפצה יש שם אחר - "חלש", נסביר מדוע להלן. התכנסות חלשה היא התכנסות של פונקציות התפלגות בכל נקודות ההמשכיות של פונקציית התפלגות הגבול.
הקפד לקיים את ההבטחה: התכנסות חלשה שונה מכל האמור לעיל בכך שהמשתנה האקראי אינו מוגדר במרחב ההסתברות. זה אפשרי מכיוון שהתנאי נוצר אך ורק באמצעות פונקציות הפצה.
חוק המספרים הגדולים
עוזרים מצוינים בהוכחת חוק זה יהיו משפטים של תורת ההסתברות, כגון:
- אי השוויון של צ'בישב.
- משפט צ'בישב.
- הכליל את משפט צ'בישב.
- משפט מרקוב.
אם ניקח בחשבון את כל המשפטים הללו, השאלה הזו עשויה להימשך כמה עשרות גיליונות. המשימה העיקרית שלנו היא ליישם את תורת ההסתברות בפועל. אנו מזמינים אותך לעשות זאת כבר עכשיו. אבל לפני כן, הבה נבחן את האקסיומות של תורת ההסתברות, הן יהיו העוזרות העיקריות בפתרון בעיות.
Axioms
כבר פגשנו את הראשון כשדיברנו על האירוע הבלתי אפשרי. בואו נזכור: ההסתברות לאירוע בלתי אפשרי היא אפס. הבאנו דוגמה חיה מאוד ובלתי נשכחת: ירד שלג בטמפרטורת אוויר של שלושים מעלות צלזיוס.
השני נשמע כך: אירוע אמין מתרחש בהסתברות שווה לאחד. כעת נראה כיצד לכתוב את זה בשפה מתמטית: P(B)=1.
שלישי: אירוע אקראי עשוי להתרחש או לא, אבל האפשרות תמיד נעה בין אפס לאחד. ככל שהערך קרוב יותר לאחד, כך גדל הסיכוי; אם הערך מתקרב לאפס, ההסתברות נמוכה מאוד. בואו נכתוב את זה בשפה מתמטית: 0<Р(С)<1.
בואו ניקח בחשבון את האקסיומה האחרונה, הרביעית, שנשמעת כך: ההסתברות לסכום של שני אירועים שווה לסכום ההסתברויות שלהם. אנו כותבים בשפה מתמטית: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
האקסיומות של תורת ההסתברות הן הכללים הפשוטים ביותר שקל לזכור. בואו ננסה לפתור כמה בעיות, בהתבסס על הידע שכבר צבר.
כרטיס הגרלה
ראשית, שקול את הדוגמה הפשוטה ביותר - הגרלת הלוטו. תארו לעצמכם שרכשתם כרטיס לוטו אחד למזל טוב. מה ההסתברות שתזכה בעשרים רובל לפחות? בסך הכל משתתפים במחזור אלף כרטיסים, באחד מהם יש פרס של חמש מאות רובל, עשרה מתוך מאה רובל, חמישים מתוך עשרים רובל ומאה מתוך חמישה. בעיות בתורת ההסתברות מבוססות על מציאת האפשרותבהצלחה. כעת ננתח יחד את הפתרון של המשימה שהוצגה לעיל.
אם נסמן באות A זכייה של חמש מאות רובל, אז ההסתברות לקבל A תהיה 0.001. איך השגנו את זה? אתה רק צריך לחלק את מספר הכרטיסים "ברי המזל" במספר הכולל שלהם (במקרה זה: 1/1000).
B הוא ניצחון של מאה רובל, ההסתברות תהיה 0.01. כעת פעלנו לפי אותו עיקרון כמו בפעולה הקודמת (10/1000)
C - הזכייה שווה לעשרים רובל. מצא את ההסתברות, היא שווה ל-0.05.
שאר הכרטיסים אינם מעניינים אותנו, מכיוון שקרן הפרסים שלהם קטנה מזו המצוינת בתנאי. הבה ניישם את האקסיומה הרביעית: ההסתברות לזכות בעשרים רובל לפחות היא P(A)+P(B)+P(C). האות P מציינת את ההסתברות להתרחשותו של אירוע זה, כבר מצאנו אותם בשלבים הקודמים. נותר רק להוסיף את הנתונים הדרושים, בתשובה נקבל 0, 061. מספר זה יהיה התשובה לשאלת המשימה.
חפיסת כרטיסים
בעיות בתורת ההסתברות יכולות להיות מורכבות יותר, לדוגמה, קחו את המשימה הבאה. לפניך חפיסה של שלושים ושישה קלפים. המשימה שלך היא למשוך שני קלפים ברציפות מבלי לערבב את הערימה, הקלף הראשון והשני חייבים להיות אסים, הצבע לא משנה.
ראשית, בואו נמצא את ההסתברות שהקלף הראשון יהיה אס, לשם כך נחלק ארבע בשלושים ושש. הם שמו את זה בצד. אנחנו מוציאים את הקלף השני, זה יהיה אס עם הסתברות של שלוש שלושים וחמישיות. ההסתברות לאירוע השני תלויה באיזה קלף שלפנו ראשון, אנחנו מעונייניםהאם זה היה אס או לא. מכאן נובע שאירוע B תלוי באירוע A.
השלב הבא הוא למצוא את ההסתברות ליישום בו-זמני, כלומר, נכפיל את A ו-B. המכפלה שלהם נמצא באופן הבא: ההסתברות של אירוע אחד מוכפלת בהסתברות המותנית של אחר, אותו אנו מחשבים., בהנחה שהאירוע הראשון התרחש, כלומר, עם הקלף הראשון שלפנו אס.
כדי להבהיר הכל, בואו ניתן ייעוד לאלמנט כזה כמו ההסתברות המותנית לאירוע. זה מחושב בהנחה שאירוע A התרחש. מחושב באופן הבא: P(B/A).
המשך בפתרון הבעיה שלנו: P(AB)=P(A)P(B/A) או P (AB)=P(B)P(A/B). ההסתברות היא (4/36)((3/35)/(4/36). חשב על ידי עיגול לאמאיות. יש לנו: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. ההסתברות שנשלוף שני אסים ברציפות היא תשע מאיות הערך קטן מאוד, מכאן שההסתברות להתרחשות האירוע קטנה ביותר.
מספר נשכח
אנו מציעים לנתח עוד כמה אפשרויות למשימות שנלמדות על ידי תורת ההסתברות. כבר ראיתם דוגמאות לפתרון כמה מהן במאמר זה, בואו ננסה לפתור את הבעיה הבאה: הילד שכח את הספרה האחרונה במספר הטלפון של חברו, אבל מכיוון שהשיחה הייתה חשובה מאוד, הוא התחיל לחייג הכל בתורו. אנחנו צריכים לחשב את ההסתברות שהוא יתקשר לא יותר משלוש פעמים. הפתרון לבעיה הוא הפשוט ביותר אם הכללים, החוקים והאקסיומות של תורת ההסתברות ידועים.
לפני הצפייהפתרון, נסה לפתור אותו בעצמך. אנו יודעים שהספרה האחרונה יכולה להיות מאפס עד תשע, כלומר יש עשרה ערכים בסך הכל. ההסתברות לקבל את הנכון היא 1/10.
לאחר מכן, אנחנו צריכים לשקול אפשרויות למקור האירוע, נניח שהילד ניחש נכון ומיד קלע את הנכון, ההסתברות לאירוע כזה היא 1/10. האפשרות השנייה: השיחה הראשונה היא החמצה, והשנייה היא על המטרה. אנו מחשבים את ההסתברות לאירוע כזה: מכפילים 9/10 ב-1/9, כתוצאה מכך נקבל גם 1/10. האפשרות השלישית: השיחה הראשונה והשנייה התבררה בכתובת הלא נכונה, רק מהשלישית הילד הגיע לאן שרצה. אנו מחשבים את ההסתברות לאירוע כזה: נכפיל 9/10 ב-8/9 וב-1/8, נקבל 1/10 כתוצאה מכך. לפי מצב התקלה אנחנו לא מעוניינים באפשרויות אחרות ולכן נותר לנו לחבר את התוצאות, כתוצאה מכך יש לנו 3/10. תשובה: ההסתברות שהילד יתקשר לא יותר משלוש פעמים היא 0.3.
כרטיסים עם מספרים
יש לפניכם תשעה קלפים, שעל כל אחד מהם כתוב מספר מאחד עד תשע, המספרים אינם חוזרים על עצמם. הם הוכנסו לקופסה וערבבו היטב. אתה צריך לחשב את ההסתברות ש
- מספר זוגי יעלה;
- דו ספרתי.
לפני שנמשיך לפתרון, בוא נקבע ש-m הוא מספר המקרים המוצלחים, ו-n הוא המספר הכולל של אפשרויות. מצא את ההסתברות שהמספר זוגי. לא יהיה קשה לחשב שיש ארבעה מספרים זוגיים, זה יהיה ה-m שלנו, יש תשע אפשרויות בסך הכל, כלומר, m=9. ואז ההסתברותשווה ל-0, 44 או 4/9.
שקול את המקרה השני: מספר האפשרויות הוא תשע, ולא יכולות להיות תוצאות מוצלחות כלל, כלומר, m שווה לאפס. ההסתברות שהקלף הנשלף יכיל מספר דו ספרתי היא גם אפס.
