היכולת לחשב נפח של דמויות מרחביות חשובה בפתרון מספר בעיות מעשיות בגיאומטריה. אחת הצורות הנפוצות ביותר היא הפירמידה. במאמר זה נשקול את הנוסחאות לנפח הפירמידה, הן המלאות והן הקטומות.
פירמידה כדמות תלת ממדית
כולם יודעים על הפירמידות המצריות, אז יש להם מושג טוב באיזה דמות נדון. עם זאת, מבני אבן מצריים הם רק מקרה מיוחד של מעמד ענק של פירמידות.
העצם הגיאומטרי הנחשב במקרה הכללי הוא בסיס מצולע, שכל קודקוד שלו מחובר לנקודה כלשהי במרחב שאינה שייכת למישור הבסיס. הגדרה זו מובילה לדמות המורכבת מ-n-גון אחד ו-n משולשים.
כל פירמידה מורכבת מ-n+1 פנים, 2n קצוות ו-n+1 קודקודים. מכיוון שהדמות הנבדקת היא פוליידרון מושלם, המספרים של האלמנטים המסומנים מצייתים לשוויון אוילר:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
המצולע בבסיס נותן את שם הפירמידה,למשל, משולש, מחומש וכן הלאה. קבוצה של פירמידות עם בסיסים שונים מוצגת בתמונה למטה.
הנקודה שבה n משולשים של הדמות מחוברים נקראת החלק העליון של הפירמידה. אם מורידים ממנו מאונך לבסיס והוא חוצה אותו במרכז הגיאומטרי, אז דמות כזו תיקרא קו ישר. אם התנאי הזה לא מתקיים, אז יש פירמידה נוטה.
דמות ישרה שהבסיס שלה נוצר על-ידי n-גון שווה-צלעות (שווי-זווית) נקראת רגיל.
נוסחת נפח הפירמידה
כדי לחשב את נפח הפירמידה, אנו משתמשים בחשבון האינטגרלי. לשם כך, אנו מחלקים את הדמות על ידי מטוסי גזרה מקבילים לבסיס למספר אינסופי של שכבות דקות. האיור שלהלן מציג פירמידה מרובעת עם גובה h ואורך צלעות L, שבה מסומנת שכבת חתך דקה במרובע.
ניתן לחשב את השטח של כל שכבה כזו באמצעות הנוסחה:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
כאן A0 הוא שטח הבסיס, z הוא הערך של הקואורדינטה האנכית. ניתן לראות שאם z=0, אז הנוסחה נותנת את הערך A0.
כדי לקבל את הנוסחה לנפח של פירמידה, יש לחשב את האינטגרל על פני כל גובה הדמות, כלומר:
V=∫h0(A(z)dz).
החלפת התלות A(z) וחישוב האנטי-נגזרת, נגיע לביטוי:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
קיבלנו את הנוסחה לנפח הפירמידה. כדי למצוא את הערך של V, מספיק להכפיל את גובה הדמות בשטח הבסיס, ולאחר מכן לחלק את התוצאה בשלוש.
שים לב שהביטוי המתקבל תקף לחישוב נפח של פירמידה מסוג שרירותי. כלומר, הוא יכול להיות נוטה, והבסיס שלו יכול להיות n-גון שרירותי.
הפירמידה הנכונה והנפח שלה
ניתן לחדד את הנוסחה הכללית לנפח שהתקבלה בפסקה למעלה במקרה של פירמידה עם הבסיס הנכון. השטח של בסיס כזה מחושב באמצעות הנוסחה הבאה:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
כאן L הוא אורך הצלע של מצולע רגיל עם n קודקודים. הסמל pi הוא המספר pi.
החלפת הביטוי ב-A0 בנוסחה הכללית, נקבל את הנפח של פירמידה רגילה:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
לדוגמה, עבור פירמידה משולשת, נוסחה זו מובילה לביטוי הבא:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
עבור פירמידה מרובעת רגילה, נוסחת הנפח הופכת:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
קביעת הנפח של פירמידות רגילות מחייבת לדעת את צד הבסיס שלהן ואת גובה הדמות.
פירמידה קטומה
נניח שלקחנופירמידה שרירותית וחתכו חלק מהמשטח הצידי שלה המכיל את החלק העליון. הדמות הנותרת נקראת פירמידה קטומה. הוא כבר מורכב משני בסיסים n-גונליים ו-n טרפזים המחברים ביניהם. אם מישור החיתוך היה מקביל לבסיס הדמות, נוצרת פירמידה קטומה עם בסיסים דומים מקבילים. כלומר, ניתן לקבל את אורכי הצלעות של אחת מהן על ידי הכפלת אורכיה של השנייה במקדם כלשהו k.
התמונה למעלה מציגה פירמידה משושה רגילה קטומה. ניתן לראות שהבסיס העליון שלו, כמו התחתון, נוצר על ידי משושה רגיל.
הנוסחה לנפח של פירמידה קטומה, שניתן לגזור באמצעות חשבון אינטגרלי דומה לזה שניתן, היא:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
כאשר A0 ו-A1 הם האזורים של הבסיס התחתון (הגדול) והעליון (הקטן), בהתאמה. המשתנה h הוא גובה הפירמידה הקטומה.
נפח הפירמידה של צ'אופס
מעניין לפתור את בעיית קביעת הנפח שהפירמידה המצרית הגדולה ביותר מכילה בתוכה.
בשנת 1984, האגיפטולוגים הבריטים מארק להנר וג'ון גודמן קבעו את הממדים המדויקים של פירמידת צ'אופס. גובהו המקורי היה 146.50 מטר (כיום כ-137 מטר). האורך הממוצע של כל אחת מארבע צלעות המבנה היה 230.363 מטר.בסיס הפירמידה מרובע עם דיוק גבוה.
בוא נשתמש בדמויות הנתונות כדי לקבוע את נפח ענק האבן הזה. מכיוון שהפירמידה היא מרובע רגיל, אז הנוסחה תקפה עבורה:
V4=1/3L2h.
תחליף את המספרים, נקבל:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
נפח פירמידת צ'אופס הוא כמעט 2.6 מיליון מ'3. לשם השוואה, נציין שלבריכה האולימפית נפח של 2.5 אלף מ'3. כלומר, כדי למלא את כל פירמידת צ'אופס, יהיה צורך ביותר מ-1000 מהבריכות האלה!
