היום, בעולם המודרני, אי אפשר לעשות בלי עניין. גם בבית הספר, החל מכיתה ה', ילדים לומדים את המושג הזה ופותרים בעיות עם הערך הזה. עניין נמצא בכל תחום של מבנים מודרניים. ניקח לדוגמא את הבנקים: גובה תשלום היתר של ההלוואה תלוי בסכום הנקוב בחוזה; הריבית משפיעה גם על גודל הרווח. לכן, חיוני לדעת מהו אחוז.
המושג של עניין
לפי אגדה אחת, האחוז הופיע בגלל שגיאת הקלדה מטופשת. הקומפוזיטור היה אמור להגדיר את המספר 100, אבל ערבב אותו וניסח אותו כך: 010. זה גרם לאפס הראשון לעלות מעט, ולשני לרדת. היחידה הפכה לאחור. מניפולציות כאלה הובילו להופעת סימן האחוזים. כמובן, יש אגדות אחרות על מקור הערך הזה.
ההודים ידעו על אחוזים במאה ה-5. באירופה, שברים עשרוניים, עםשהמושג שלנו קשור הדוק זה לזה, הופיע לאחר מילניום. לראשונה בעולם הישן, השיפוט של מה זה אחוז הוצג על ידי מדען מבלגיה, סיימון סטווין. בשנת 1584 פורסמה לראשונה טבלת גדלים על ידי אותו מדען.
מקור המילה "אחוז" בלטינית בתור pro centum. אם אתה מתרגם את הביטוי, אתה מקבל "ממאה". אז, אחוז מובן כמאית הערך, מספר. ערך זה מסומן בסימן %.
הודות לאחוזים, אפשר היה להשוות חלקים של שלם אחד ללא קושי רב. הכנסת המניות פשטה מאוד את החישובים, וזו הסיבה שהם הפכו כל כך נפוצים.
המרה של שברים לאחוזים
כדי להמיר שבר עשרוני לאחוז, ייתכן שתזדקק לנוסחת האחוזים שנקראת: השבר מוכפל ב-100, %.
אם אתה צריך להמיר שבר לאחוז, תחילה עליך להפוך אותו לעשרוני, ולאחר מכן להשתמש בנוסחה שלמעלה.
המרה של אחוזים לשברים
ככזה, נוסחת האחוזים מותנית למדי. אבל אתה צריך לדעת איך להמיר את הערך הזה לביטוי שבר. כדי להמיר מניות (אחוזים) לשברים עשרוניים, עליך להסיר את הסימן% ולחלק את המחוון ב-100.
נוסחה לחישוב האחוז של מספר
30% מהסטודנטים קיבלו ציון "מצוין" במבחן בכימיה. בסך הכל יש 40 תלמידים בכיתה. כמהתלמידים כתבו מבחן על ה"5"? משימה זו מראה בבירור כיצד לגלות את האחוז של מספר.
פתרון:
1) 40 x 30=1200.
2) 1200: 100=12 (סטודנטים).
תשובה: 12 תלמידים כתבו את המבחן עבור "5".
ניתן להשתמש בטבלה המוכנה, המציגה כמה שברים ואחוזים המתאימים להם.
מסתבר שנוסחת האחוזים נראית כך: C=(A∙B)/100, כאשר A הוא ה- מספר (בדוגמה ספציפית שווה ל-40); B - מספר האחוזים (בבעיה זו, B=30%); С – התוצאה הרצויה.
נוסחה לחישוב מספר מאחוז
הבעיה הבאה תדגים מהו אחוז וכיצד למצוא מספר מתוך אחוז.
מפעל הבגדים ייצר 1200 שמלות, כאשר 32% מהן הן שמלות בסגנון חדש. כמה שמלות בסגנון חדש ייצר מפעל הבגדים?
פתרון:
1. 1200: 100=12 (שמלות) - 1% מכל הפריטים ששוחררו.
2. 12 x 32=384 (שמלות).
תשובה: המפעל ייצר 384 שמלות בסגנון חדש.
אם אתה צריך למצוא מספר לפי האחוז שלו, אתה יכול להשתמש בנוסחה הבאה: C=(A∙100)/B, כאשר A - המספר הכולל של פריטים (במקרה זה, A=1200); B - מספר האחוזים (במשימה ספציפית B=32%); C הוא הערך הרצוי.
הגדל, הקטן את המספר בנתוןאחוזים
על התלמידים ללמוד מהם האחוזים, כיצד לספור אותם ולפתור בעיות שונות. כדי לעשות זאת, עליך להבין כיצד המספר גדל או יורד ב-N%.
לעתים קרובות ניתנות משימות, ובחיים אתה צריך לברר למה המספר יהיה שווה, בתוספת אחוז נתון. לדוגמה, בהינתן המספר X. אתה צריך לברר מה יהיה הערך של X אם הוא יוגדל, למשל, ב-40%. ראשית עליך להמיר 40% למספר חלקי (40/100). לכן, התוצאה של הגדלת המספר X תהיה: X + 40% ∙ X=(1+40/100) ∙ X=1, 4 ∙ X אם במקום X נחליף מספר כלשהו, ניקח, למשל, 100, אז הביטוי כולו יהיה שווה ל: 1, 4 ∙ X=1, 4 ∙ 100=140.
בערך אותו עיקרון משמש כאשר מורידים מספר באחוז נתון. יש צורך לבצע חישובים: X - X ∙ 40%=X ∙ (1-40/100)=0.6 ∙ X. אם הערך הוא 100, ואז 0.6 ∙ X=0.6 . 100=60.
יש משימות שבהן אתה צריך לברר באיזה אחוז המספר גדל.
לדוגמה, בהינתן המשימה: הנהג נסע לאורך קטע אחד של המסילה במהירות של 80 קמ"ש. בקטע אחר עלתה מהירות הרכבת ל-100 קמ"ש. באיזה אחוז עלתה מהירות הרכבת?
פתרון:
נניח ש-80 קמ"ש זה 100%. לאחר מכן נעשה חישובים: (100% ∙ 100 קמ"ש) / 80 קמ"ש=1000: 8=125%. מסתבר ש-100 קמ"ש זה 125%. כדי לגלות כמה המהירות עלתה, צריך לחשב: 125% - 100%=25%.
תשובה: מהירות הרכבת בקטע השני עלתה ב-25%.
פרופורציה
יש לעתים קרובות מקרים שבהם יש צורך לפתור בעיות באחוזים באמצעות פרופורציה. למעשה, שיטה זו של מציאת התוצאה מקלה מאוד על המשימה עבור התלמידים, המורים ולא רק.
אז מהי פרופורציה? מונח זה מתייחס לשוויון של שני יחסים, שניתן לבטא באופן הבא: A/B =C / D.
בספרי הלימוד של המתמטיקה יש כלל כזה: מכפלת האיברים הקיצוניים שווה למכפלת הממוצעים. זה בא לידי ביטוי בנוסחה הבאה: A x D=B x C.
הודות לניסוח זה, ניתן לחשב כל מספר אם שלושת האיברים האחרים של הפרופורציה ידועים. לדוגמה, A הוא מספר לא ידוע. כדי למצוא אותו, אתה צריך
כשפותרים בעיות בשיטת הפרופורציה, צריך להבין מאיזה מספר לקחת אחוזים. יש מקרים שבהם צריך לקחת מניות מערכים שונים. השווה:
1. לאחר סיום המכירה בחנות, עלות החולצה עלתה ב-25% והסתכמה ב-200 רובל. מה היה המחיר במהלך המכירה.
פתרון:
במקרה זה, הערך של 200 רובל מתאים ל-125% מהמחיר המקורי (המכירה) של החולצה. לאחר מכן, כדי לגלות את ערכו במהלך המכירה, אתה צריך (200 x 100): 125. אתה מקבל 160 רובל.
2. יש 200,000 תושבים על כוכב הלכת Vitsencia: אנשים ונציגים של הגזע האנושי נאווי. נאווי מהווה 80% מכלל האוכלוסייהVicencii. מהאנשים, 40% מועסקים בתחזוקת המכרה, השאר נכרים עבור טטניום. כמה אנשים כורים טטניום?
פתרון:
קודם כל, אתה צריך למצוא בצורה מספרית את מספר האנשים ומספר הנאבים. אז, 80% מ-200,000 ישתווה ל-160,000. כל כך הרבה נציגים של הגזע האנושי חיים בויצ'נסיה. מספר האנשים, בהתאמה, הוא 40,000. מתוכם, 40%, כלומר 16,000, משרתים את המכרה. אז 24,000 אנשים כורים טטניום.
שינוי חוזר של מספר באחוז מסוים
כשאתה כבר מבין מה זה אחוז, אתה צריך ללמוד את המושג של שינוי מוחלט ויחסי. טרנספורמציה מוחלטת מובנת כהגדלה של מספר במספר מסוים. לפיכך, X גדל ב-100. לא משנה מה יחליף X, מספר זה עדיין יגדל ב-100: 15 + 100; 99, 9 + 100; a + 100 וכו'
שינוי יחסי מובן כעלייה בערך במספר מסוים של אחוזים. נניח ש-X גדל ב-20%. המשמעות היא ש-X יהיה שווה ל: X + X ∙ 20%. שינוי יחסי משתמע בכל פעם שמדובר בגידול בחצי או בשליש, ירידה ברבע, גידול ב-15% וכו'.
יש עוד נקודה חשובה: אם הערך של X גדל ב-20%, ולאחר מכן ב-20% נוספים, אז הגידול הכולל יהיה 44%, אך לא 40%. ניתן לראות זאת מהחישובים הבאים:
1. X + 20% ∙ X=1, 2 ∙ X
2. 1, 2 ∙ X + 20% ∙ 1, 2 ∙ X=1, 2 ∙ X + 0, 24 ∙ X=1, 44 ∙ X
זה נראהש-X גדל ב-44%.
דוגמאות לבעיות עניין
1. איזה אחוז מ-36 הוא 9?
פתרון:
לפי הנוסחה למציאת האחוז של מספר, צריך להכפיל 9 ב-100 ולחלק ב-36.
תשובה: 9 הוא 25% מ-36.
2. חשב את המספר C, שהוא 10% מ-40.
פתרון:
לפי הנוסחה למציאת מספר לפי האחוז שלו, צריך להכפיל 40 ב-10 ולחלק את התוצאה ב-100.
תשובה: 4 הוא 10% מ-40.
3. השותף הראשון השקיע 4,500 רובל בעסק, השני - 3,500 רובל, השלישי - 2,000 רובל. הם הרוויחו 2400 רובל. הם חלקו את הרווחים שווה בשווה. כמה ברובל הפסיד השותף הראשון, לעומת כמה הוא היה מקבל אם היו מחלקים את ההכנסה לפי אחוז הכספים המושקעים?
פתרון:
אז, ביחד הם השקיעו 10,000 רובל. ההכנסה לכל אחד הסתכמה בחלק שווה של 800 רובל. כדי לגלות כמה השותף הראשון היה צריך לקבל וכמה הוא הפסיד בהתאמה, צריך לברר את אחוז הכספים המושקעים. אז אתה צריך לגלות כמה רווח תרומה זו עושה ברובל. והדבר האחרון הוא להחסיר 800 רובל מהתוצאה.
תשובה: השותף הראשון הפסיד 280 רובל כשחילק רווחים.
קצת חיסכון
היום, שאלה פופולרית למדי היא קבלת הלוואה לתקופה מסוימת. אבל איך לבחור הלוואה משתלמת כדי לא לשלם יותר מדי? ראשית, אתה צריך להסתכלשער ריבית. רצוי שמדד זה יהיה נמוך ככל האפשר. לאחר מכן עליך ליישם את הנוסחה לחישוב הריבית על ההלוואה.
ככלל, גובה תשלום היתר מושפע מגובה החוב, מהריבית ומדרך ההחזר. יש קצבה ותשלומים מובחנים. במקרה הראשון, ההלוואה מוחזרת בתשלומים שווים מדי חודש. מיד גדל הסכום המכסה את ההלוואה העיקרית ועלות הריבית יורדת בהדרגה. במקרה השני, הלווה משלם סכומים קבועים להחזר ההלוואה, עליהם מתווספת ריבית על יתרת החוב העיקרי. מדי חודש, הסכום הכולל של התשלומים יקטן.
כעת עלינו לשקול את שתי הדרכים להחזר ההלוואה. כך שעם אופציית הקצבה גובה התשלום ביתר יהיה גבוה יותר ובאופציה הדיפרנציאלית גובה התשלומים הראשונים. מטבע הדברים, תנאי ההלוואה זהים בשני המקרים.
מסקנה
אז, עניין. איך לספור אותם? פשוט מספיק. עם זאת, לפעמים הם יכולים להיות בעייתיים. נושא זה מתחיל להילמד בבית הספר, אך הוא מדביק את כולם בתחום ההלוואות, הפיקדונות, המיסים וכדומה ולכן רצוי להתעמק במהות הנושא. אם עדיין אינך יכול לבצע את החישובים, ישנם הרבה מחשבונים מקוונים שיעזרו לך להתמודד עם המשימה.
