משולש, ריבוע, משושה - הדמויות האלה ידועות כמעט לכולם. אבל לא כולם יודעים מהו מצולע רגיל. אבל כל אלה הן אותן צורות גיאומטריות. מצולע רגיל הוא כזה שיש לו זוויות וצלעות שוות. יש הרבה דמויות כאלה, אבל לכולם אותם מאפיינים, ואותן נוסחאות חלות עליהם.
מאפיינים של מצולעים רגילים
כל מצולע רגיל, בין אם זה ריבוע או מתומן, ניתן לרשום במעגל. תכונה בסיסית זו משמשת לעתים קרובות בעת בניית דמות. בנוסף, ניתן לרשום עיגול גם במצולע. במקרה זה, מספר נקודות המגע יהיה שווה למספר הצדדים שלה. חשוב שלמעגל החרוט במצולע רגיל יהיה מרכז משותף איתו. דמויות גיאומטריות אלו כפופות לאותם משפטים. כל צדשל n-גון רגיל קשור לרדיוס R של המעגל המוקף סביבו.לכן ניתן לחשב אותו באמצעות הנוסחה הבאה: a=2R ∙ sin180°. דרך רדיוס המעגל, ניתן למצוא לא רק את הצלעות, אלא גם את היקף המצולע.
איך למצוא את מספר הצלעות של מצולע רגיל
כל n-גון רגיל מורכב ממספר מסוים של קטעים השווים זה לזה, אשר, כאשר הם מחוברים, יוצרים קו סגור. במקרה זה, לכל הפינות של הדמות שנוצרה יש אותו ערך. מצולעים מחולקים לפשוטים ומורכבים. הקבוצה הראשונה כוללת משולש וריבוע. למצולעים מורכבים יש יותר צדדים. הם כוללים גם דמויות בצורת כוכב. עבור מצולעים רגילים מורכבים, הצלעות נמצאות על ידי רישום שלהן במעגל. בואו נביא הוכחה. צייר מצולע רגיל עם מספר שרירותי של צלעות n. תאר מעגל סביבו. ציין את הרדיוס R. כעת דמיינו שניתן n-גון כלשהו. אם נקודות הזוויות שלו מונחות על מעגל ושוות זו לזו, ניתן למצוא את הצלעות על ידי הנוסחה: a=2R ∙ sinα: 2.
מציאת מספר הצלעות של משולש רגיל רשום
משולש שווה צלעות הוא מצולע רגיל. אותן נוסחאות חלות עליו כמו על הריבוע וה-n-גון. משולש ייחשב לנכון אם יש לו צלעות באורך זהה. במקרה זה, הזוויות הן 60⁰. בנה משולש עם אורך הצלע הנתון a. לדעת החציון והגובה שלו,אתה יכול למצוא את הערך של הצדדים שלו. לשם כך, נשתמש בשיטה של מציאת הנוסחה a \u003d x: cosα, כאשר x הוא החציון או הגובה. מכיוון שכל צלעות המשולש שוות, נקבל a=b=c. אז המשפט הבא יהיה נכון a=b=c=x: cosα. באופן דומה, אתה יכול למצוא את הערך של הצלעות במשולש שווה שוקיים, אבל x יהיה הגובה הנתון. במקביל, זה צריך להיות מוקרן אך ורק על בסיס הדמות. אז, בהכרת הגובה x, אנו מוצאים את הצלע a של משולש שווה שוקיים באמצעות הנוסחה a \u003d b \u003d x: cosα. לאחר מציאת הערך של a, ניתן לחשב את אורך הבסיס c. בוא ניישם את משפט פיתגורס. נחפש את הערך של מחצית הבסיס c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. ואז c=2xtanα. הנה דרך פשוטה למצוא את מספר הצלעות של כל מצולע רשום.
חשב את צלעות הריבוע הכתוב במעגל
כמו כל מצולע רגיל אחר, לריבוע יש צלעות וזוויות שוות. אותן נוסחאות חלות עליו כמו על המשולש. ניתן לחשב את צלעות הריבוע באמצעות ערך האלכסון. הבה נשקול שיטה זו ביתר פירוט. ידוע שהאלכסון חוצה את הזווית. בתחילה, ערכו היה 90 מעלות. כך, לאחר החלוקה, נוצרים שני משולשים ישרי זווית. זוויות הבסיס שלהם יהיו 45 מעלות. בהתאם לכך, כל צלע בריבוע תהיה שווה, כלומר: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, כאשר e הוא האלכסון של הריבוע, או הבסיס של הריבוע. המשולש הימני שנוצר לאחר החלוקה. זו לא הדרך היחידהמציאת צלעות של ריבוע. הבה נרשום את הדמות הזו במעגל. לדעת את הרדיוס של מעגל זה R, אנו מוצאים את הצלע של הריבוע. נחשב אותו באופן הבא: a4=R√2. הרדיוסים של מצולעים רגילים מחושבים לפי הנוסחה R=a: 2tg (360o: 2n), כאשר a הוא אורך הצלע.
כיצד לחשב את ההיקף של n-gon
היקפו של n-גון הוא סכום כל הצלעות שלו. קל לחשב את זה. כדי לעשות זאת, אתה צריך לדעת את הערכים של כל הצדדים. עבור סוגים מסוימים של מצולעים, יש נוסחאות מיוחדות. הם מאפשרים לך למצוא את ההיקף הרבה יותר מהר. ידוע שלכל מצולע רגיל יש צלעות שוות. לכן, כדי לחשב את ההיקף שלו, מספיק להכיר לפחות אחד מהם. הנוסחה תהיה תלויה במספר הצדדים של הדמות. באופן כללי, זה נראה כך: P \u003d an, כאשר a הוא הערך של הצלע, ו-n הוא מספר הזוויות. לדוגמה, כדי למצוא את ההיקף של מתומן רגיל עם צלע של 3 ס"מ, אתה צריך להכפיל אותו ב-8, כלומר, P=3 ∙ 8=24 ס"מ. עבור משושה עם צלע של 5 ס"מ, אנו מחשבים כדלקמן: P=5 ∙ 6=30 ס"מ. וכך עבור כל מצולע.
מציאת ההיקף של מקבילית, ריבוע ומעוין
תלוי בכמה צלעות יש למצולע רגיל, ההיקף שלו מחושב. זה הופך את המשימה להרבה יותר קלה. ואכן, בניגוד לדמויות אחרות, במקרה זה אין צורך לחפש את כל הצדדים שלה, מספיק רק אחד. לפי אותו עיקרון, אנו מוצאים את ההיקף במרובעים, כלומר ריבוע ומעוין. למרות העובדה שמדובר בדמויות שונות, הנוסחה עבורן היא זהה P=4a, כאשר a היא הצלע. בואו ניקח דוגמה. אם הצלע של מעוין או ריבוע היא 6 ס"מ, אז נמצא את ההיקף באופן הבא: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 ס"מ. למקבילית יש רק צלעות מנוגדות. לכן, ההיקף שלו נמצא בשיטה אחרת. אז, אנחנו צריכים לדעת את האורך a ואת הרוחב b של הדמות. לאחר מכן נחיל את הנוסחה P=(a + c) ∙ 2. מקבילית, שבה כל הצלעות והזוויות ביניהן שוות, נקראת מעוין
מציאת ההיקף של משולש שווה צלעות וישר זווית
ניתן למצוא את ההיקף של משולש שווה צלעות רגיל לפי הנוסחה P=3a, כאשר a הוא אורך הצלע. אם זה לא ידוע, ניתן למצוא אותו דרך החציון. במשולש ישר זווית, רק שתי צלעות שוות. את הבסיס ניתן למצוא דרך משפט פיתגורס. לאחר שהערכים של שלושת הצדדים נודעו, אנו מחשבים את ההיקף. ניתן למצוא אותו על ידי יישום הנוסחה P \u003d a + b + c, כאשר a ו-b הם צלעות שוות, ו-c הוא הבסיס. זכור שבמשולש שווה שוקיים a \u003d b \u003d a, לכן, a + b \u003d 2a, ואז P \u003d 2a + c. לדוגמה, הצלע של משולש שווה שוקיים היא 4 ס"מ, מצא את הבסיס וההיקף שלו. אנו מחשבים את הערך של התחתון באמצעות משפט פיתגורס c=√a2 + v2=√16+16=√32=5.65 ס"מ. כעת אנו מחשבים היקף Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13.65 ס"מ.
איך למצוא את הפינות של מצולע רגיל
מצולע רגילמתרחש בחיינו כל יום, למשל, ריבוע רגיל, משולש, מתומן. נראה שאין דבר קל יותר מלבנות את הדמות הזו בעצמך. אבל זה רק במבט ראשון. כדי לבנות כל n-גון, אתה צריך לדעת את הערך של הזוויות שלו. אבל איך מוצאים אותם? אפילו מדענים מהעת העתיקה ניסו לבנות מצולעים רגילים. הם ניחשו להתאים אותם למעגלים. ואז סומנו עליו הנקודות הדרושות, מחוברות בקווים ישרים. עבור נתונים פשוטים, בעיית הבנייה נפתרה. התקבלו נוסחאות ומשפטים. לדוגמה, אוקלידס ביצירתו המפורסמת "ההתחלה" עסק בפתרון בעיות עבור 3, 4, 5, 6 ו-15 גונים. הוא מצא דרכים לבנות אותם ולמצוא זוויות. בוא נראה איך לעשות את זה עבור 15 גון. ראשית עליך לחשב את סכום הזוויות הפנימיות שלו. יש צורך להשתמש בנוסחה S=180⁰(n-2). אז, ניתן לנו 15-גון, כלומר המספר n הוא 15. אנו מחליפים את הנתונים שאנו מכירים בנוסחה ומקבלים S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. מצאנו את הסכום של כל הזוויות הפנימיות של 15-גון. עכשיו אנחנו צריכים לקבל את הערך של כל אחד מהם. יש 15 זוויות בסך הכל. אנחנו עושים את החישוב 2340⁰: 15=156⁰. זה אומר שכל זווית פנימית היא 156⁰, כעת באמצעות סרגל ומצפן, אתה יכול לבנות 15-גון רגיל. אבל מה לגבי n-gons מורכבים יותר? במשך מאות שנים, מדענים נאבקו לפתור בעיה זו. הוא נמצא רק במאה ה-18 על ידי קרל פרידריך גאוס. הוא הצליח לבנות 65537-gon. מאז, הבעיה נחשבת רשמית כפתורה לחלוטין.
חישוב זוויות של n-גוניםברדיאנים
כמובן, ישנן מספר דרכים למצוא פינות של מצולעים. לרוב הם מחושבים במעלות. אבל אתה יכול גם לבטא אותם ברדיאנים. איך לעשות את זה? יש צורך להמשיך כדלקמן. ראשית, אנו מגלים את מספר הצלעות של מצולע רגיל, ואז נחסר ממנו 2. לכן, נקבל את הערך: n - 2. נכפיל את ההפרש שנמצא במספר n ("pi"=3, 14). כעת נותר רק לחלק את המכפלה המתקבלת במספר הזוויות ב-n-gon. שקול את החישובים האלה באמצעות הדוגמה של אותו חמישה עשר צדדים. אז, המספר n הוא 15. החל את הנוסחה S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. זה, כמובן, אינה הדרך היחידה לחשב זווית ברדיאנים. אתה יכול פשוט לחלק את גודל הזווית במעלות במספר 57, 3. אחרי הכל, המעלות הרבות האלה שוות ערך לרדיאן אחד.
חשב את הערך של זוויות במעלות
מלבד מעלות ורדיאנים, אתה יכול לנסות למצוא את הערך של הזוויות של מצולע רגיל בדרגות. זה נעשה בדרך הבאה. הפחיתו 2 ממספר הזוויות הכולל, חלקו את ההפרש המתקבל במספר הצלעות של מצולע רגיל. אנחנו מכפילים את התוצאה שנמצאה ב-200. דרך אגב, כמעט ולא נעשה שימוש ביחידת מדידה כזו של זוויות כמו אבני ברד.
חישוב של זוויות חיצוניות של n-gons
עבור כל מצולע רגיל, למעט הפנימי, ניתן גם לחשב את הזווית החיצונית. ערכו נמצא באותו אופן כמו עבור דמויות אחרות. אז, כדי למצוא את הזווית החיצונית של מצולע רגיל, אתה צריךלדעת את המשמעות של הפנימיות. יתרה מכך, אנו יודעים שסכום שתי הזוויות הללו הוא תמיד 180 מעלות. לכן, אנו עושים את החישובים באופן הבא: 180⁰ פחות הערך של הזווית הפנימית. אנחנו מוצאים את ההבדל. הוא יהיה שווה לערך הזווית הסמוכה לו. לדוגמה, הפינה הפנימית של ריבוע היא 90 מעלות, כך שהזווית החיצונית תהיה 180⁰ - 90⁰=90⁰. כפי שאנו יכולים לראות, לא קשה למצוא אותו. הזווית החיצונית יכולה לקבל ערך מ-+180⁰ עד -180⁰, בהתאמה.
