הצורות הגיאומטריות האלה מקיפות אותנו בכל מקום. מצולעים קמורים יכולים להיות טבעיים, כגון חלת דבש, או מלאכותיים (מעשה ידי אדם). דמויות אלו משמשות בייצור סוגים שונים של ציפויים, בציור, אדריכלות, עיטורים וכו'. למצולעים קמורים יש את התכונה שכל הנקודות שלהם נמצאות באותו צד של קו ישר העובר דרך זוג קודקודים סמוכים של דמות גיאומטרית זו. יש גם הגדרות אחרות. מצולע נקרא קמור אם הוא ממוקם בחצי מישור בודד ביחס לכל ישר המכיל את אחת מצלעיו.
מצולעים קמורים
במהלך הגיאומטריה היסודית, רק מצולעים פשוטים נחשבים תמיד. להבין את כל המאפיינים של כאלהצורות גיאומטריות, יש צורך להבין את טבען. מלכתחילה, יש להבין שכל קו נקרא סגור, שקצוותיו חופפים. יתר על כן, הדמות שנוצרה על ידה יכולה להיות בעלת מגוון תצורות. מצולע הוא קו שבור פשוט סגור, שבו קישורים שכנים אינם ממוקמים על אותו קו ישר. הקישורים והקודקודים שלו הם, בהתאמה, הצדדים והקודקודים של דמות גיאומטרית זו. אסור לפוליליין פשוט לכלול צמתים עצמיים.
הקודקודים של מצולע נקראים סמוכים אם הם מייצגים את הקצוות של אחת מצלעיו. דמות גיאומטרית בעלת המספר ה-n של קודקודים, ומכאן המספר ה-n של הצלעות, נקראת n-גון. הקו השבור עצמו נקרא הגבול או קו המתאר של דמות גיאומטרית זו. מישור מצולע או מצולע שטוח נקראים חלק הקצה של כל מישור התחום בו. הצדדים הסמוכים של דמות גיאומטרית זו נקראים קטעים של קו שבור היוצא מקודקוד אחד. הם לא יהיו סמוכים אם הם מגיעים מקודקודים שונים של המצולע.
הגדרות אחרות של מצולעים קמורים
בגיאומטריה היסודית, יש עוד כמה הגדרות שוות ערך המציינות איזה מצולע נקרא קמור. כל ההצהרות הללו נכונות באותה מידה. מצולע נחשב קמור אם:
• כל קטע שמחבר כל שתי נקודות בתוכו נמצא בתוכו כולו;
• בתוכוכל האלכסונים שלו שוכבים;
• כל זווית פנימית אינה עולה על 180°.
מצולע תמיד מחלק מישור לשני חלקים. אחד מהם מוגבל (ניתן לתחום אותו במעגל), והשני בלתי מוגבל. הראשון נקרא האזור הפנימי, והשני הוא האזור החיצוני של דמות גיאומטרית זו. מצולע זה הוא מפגש (במילים אחרות, רכיב משותף) של כמה חצאי מישורים. יתרה מכך, כל קטע שיש לו קצוות בנקודות השייכות למצולע שייך לו לחלוטין.
זנים של מצולעים קמורים
ההגדרה של מצולע קמור אינה מצביעה על כך שיש הרבה סוגים שלהם. ולכל אחד מהם יש קריטריונים מסוימים. אז, מצולעים קמורים בעלי זווית פנימית של 180 מעלות נקראים קמור חלש. דמות גיאומטרית קמורה בעלת שלושה קודקודים נקראת משולש, ארבעה - מרובע, חמישה - מחומש וכו'. כל אחד מה-n-גונים הקמורים עונה על הדרישה המהותית הבאה: n חייב להיות שווה ל-3 או גדול מ-3. המשולשים קמורים. דמות גיאומטרית מסוג זה, שבה כל הקודקודים ממוקמים על אותו עיגול, נקראת כתובה במעגל. מצולע קמור נקרא מוקף אם כל הצדדים שלו ליד המעגל נוגעים בו. אומרים ששני מצולעים שווים רק אם ניתן להצמיד אותם על ידי סופרפוזיציה. מצולע מישור נקרא מישור מצולע.(חלק מהמישור), המוגבלת על ידי דמות גיאומטרית זו.
מצולעים קמורים רגילים
מצולעים רגילים הם צורות גיאומטריות בעלות זוויות וצלעות שוות. בתוכם יש נקודה 0, שנמצאת באותו מרחק מכל אחד מהקודקודים שלה. זה נקרא המרכז של דמות גיאומטרית זו. הקטעים המחברים את המרכז עם הקודקודים של דמות גיאומטרית זו נקראים אפוטמים, ואלו המחברים את נקודה 0 עם הצלעות נקראים רדיוסים.
מרובע רגיל הוא ריבוע. משולש שווה צלעות נקרא משולש שווה צלעות. עבור דמויות כאלה, יש את הכלל הבא: כל פינה של מצולע קמור היא 180°(n-2)/ n, כאשר n הוא מספר הקודקודים של דמות גיאומטרית קמורה זו.
השטח של כל מצולע רגיל נקבע על ידי הנוסחה:
S=ph, כאשר p הוא מחצית הסכום של כל הצלעות של המצולע הנתון ו-h הוא אורך האפוטם.
מאפיינים של מצולעים קמורים
למצולעים קמורים יש מאפיינים מסוימים. אז, קטע המחבר כל 2 נקודות של דמות גיאומטרית כזו נמצא בהכרח. הוכחה:
נניח ש-P הוא מצולע קמור נתון. ניקח 2 נקודות שרירותיות, למשל, A, B, השייכות ל-P. לפי ההגדרה הקיימת של מצולע קמור, נקודות אלו ממוקמות באותו צד של הקו, המכיל כל צד של P.לכן, גם ל-AB יש תכונה זו והוא כלול ב-P. מצולע קמור תמיד יכול להיות מחולק למספר משולשים על ידי כל האלכסונים הנמשכים מאחד הקודקודים שלו.
זוויות של צורות גיאומטריות קמורות
פינות של מצולע קמור הן הפינות שנוצרות על ידי הצדדים שלו. פינות פנימיות ממוקמות באזור הפנימי של דמות גיאומטרית נתונה. הזווית שנוצרת על ידי צלעותיה המתכנסות בקודקוד אחד נקראת זווית של מצולע קמור. זוויות הסמוכות לזוויות הפנימיות של דמות גיאומטרית נתונה נקראות חיצוניות. כל פינה של מצולע קמור הממוקמת בתוכו היא:
180° - x, כאשר x הוא הערך של הזווית החיצונית. הנוסחה הפשוטה הזו פועלת עבור כל צורות גיאומטריות מסוג זה.
באופן כללי, עבור פינות חיצוניות יש את הכלל הבא: כל זווית של מצולע קמור שווה להפרש בין 180° לערך הזווית הפנימית. זה יכול להיות בעל ערכים הנעים בין -180° ל-180°. לכן, כאשר הזווית הפנימית היא 120°, הזווית החיצונית תהיה 60°.
סכום זוויות של מצולעים קמורים
סכום הזוויות הפנימיות של מצולע קמור נקבע על ידי הנוסחה:
180°(n-2), כאשר n הוא מספר הקודקודים של ה-n-גון.
די קל לחשב את סכום הזוויות של מצולע קמור. שקול כל דמות גיאומטרית כזו. כדי לקבוע את סכום הזוויות בתוך מצולע קמור, יש צורךלחבר את אחד הקודקודים שלו לקודקודים אחרים. כתוצאה מפעולה זו מתקבלים (n-2) משולשים. אנו יודעים שסכום הזוויות של כל משולש הוא תמיד 180°. מכיוון שמספרם בכל מצולע הוא (n-2), סכום הזוויות הפנימיות של דמות כזו הוא 180° x (n-2).
סכום הזוויות של מצולע קמור, כלומר כל שתי זוויות חיצוניות פנימיות וסמוכות, עבור דמות גיאומטרית קמורה נתונה תמיד יהיה שווה ל-180°. על סמך זה, אתה יכול לקבוע את סכום כל הזוויות שלו:
180 x n.
סכום הזוויות הפנימיות הוא 180°(n-2). בהתבסס על זה, סכום כל הפינות החיצוניות של נתון זה נקבע על ידי הנוסחה:
180°n-180°-(n-2)=360°.
סכום הזוויות החיצוניות של כל מצולע קמור יהיה תמיד 360° (ללא קשר למספר הצלעות).
הזווית החיצונית של מצולע קמור מיוצגת בדרך כלל על ידי ההפרש בין 180° לערך הזווית הפנימית.
מאפיינים אחרים של מצולע קמור
בנוסף לתכונות הבסיסיות של צורות גיאומטריות אלה, יש להן אחרות שעולות בעת מניפולציה שלהן. אז, ניתן לחלק כל אחד מהמצולעים למספר n-גונים קמורים. כדי לעשות זאת, יש צורך להמשיך כל אחד מהצדדים שלו ולחתוך את הדמות הגיאומטרית הזו לאורך הקווים הישרים הללו. אפשר גם לפצל כל מצולע לכמה חלקים קמורים באופן שהקודקודים של כל אחד מהחלקים עולים בקנה אחד עם כל הקודקודים שלו. מדמות גיאומטרית כזו, ניתן ליצור משולשים בפשטות רבה על ידי ציור כולםאלכסונים מקודקוד אחד. לפיכך, ניתן בסופו של דבר לחלק כל מצולע למספר מסוים של משולשים, מה שמתברר כמועיל מאוד בפתרון בעיות שונות הקשורות לצורות גיאומטריות כאלה.
היקף של מצולע קמור
קטעים של קו שבור, הנקראים צלעות של מצולע, מסומנים לרוב באותיות הבאות: ab, bc, cd, de, ea. אלו הם הצדדים של דמות גיאומטרית עם קודקודים a, b, c, d, e. סכום האורכי של כל צלעות המצולע הקמור הזה נקרא היקפו.
היקף פוליגון
ניתן לרשום ולהגדיר מצולעים קמורים. עיגול הנוגע בכל צדדיה של הדמות הגאומטרית הזו נקרא חרוט בו. מצולע כזה נקרא מוקף. מרכז המעגל שנחקק במצולע הוא נקודת החיתוך של חצויים של כל הזוויות בתוך דמות גיאומטרית נתונה. השטח של מצולע כזה הוא:
S=pr, כאשר r הוא רדיוס המעגל הכתוב ו-p הוא חצי ההיקף של המצולע הנתון.
מעגל המכיל את קודקודי המצולע נקרא מוקף סביבו. יתר על כן, דמות גיאומטרית קמורה זו נקראת חרוטה. מרכז המעגל, המוקף סביב מצולע כזה, הוא נקודת החיתוך של מה שנקרא חצויים בניצב של כל הצלעות.
אלכסונים של צורות גיאומטריות קמורות
האלכסונים של מצולע קמור הם קטעים שלחבר קודקודים לא סמוכים. כל אחד מהם נמצא בתוך הדמות הגיאומטרית הזו. מספר האלכסונים של n-גון כזה נקבע על ידי הנוסחה:
N=n (n – 3)/ 2.
מספר האלכסונים של מצולע קמור ממלא תפקיד חשוב בגיאומטריה היסודית. מספר המשולשים (K) שאליהם ניתן לחלק כל מצולע קמור מחושב בנוסחה הבאה:
K=n – 2.
מספר האלכסונים של מצולע קמור תלוי תמיד במספר הקודקודים שלו.
פירוק של מצולע קמור
במקרים מסוימים, כדי לפתור בעיות גיאומטריות, יש צורך לפצל מצולע קמור למספר משולשים עם אלכסונים שאינם חותכים. ניתן לפתור בעיה זו על ידי גזירת נוסחה ספציפית.
הגדרת הבעיה: בואו נקרא מחיצה נכונה של n-גון קמור לכמה משולשים על ידי אלכסונים שמצטלבים רק בקודקודים של דמות גיאומטרית זו.
פתרון: נניח ש-Р1, Р2, Р3 …, Pn הם קודקודים של n-גון זה. המספר Xn הוא מספר המחיצות שלו. הבה נשקול בזהירות את האלכסון המתקבל של הדמות הגיאומטרית Pi Pn. בכל אחת מהמחיצות הרגילות P1 Pn שייך למשולש מסוים P1 Pi Pn, שיש לו 1<i<n. אם נמשיך מכאן ובהנחה ש-i=2, 3, 4 …, n-1, נקבל (n-2) קבוצות של המחיצות הללו, הכוללות את כל המקרים הספציפיים האפשריים.
תנו i=2 להיות קבוצה אחת של מחיצות רגילות, המכילות תמיד את האלכסון Р2 Pn. מספר המחיצות שנכנסות אליו זהה למספר המחיצות(n-1)-גון P2 P3 P4… Pn. במילים אחרות, זה שווה Xn-1.
אם i=3, אז קבוצת המחיצות האחרת הזו תכיל תמיד את האלכסונים Р3 Р1 ו-Р3 Pn. במקרה זה, מספר המחיצות הרגילות הכלולות בקבוצה זו יתאים למספר המחיצות של (n-2)-gon P3 P4 … Pn. במילים אחרות, זה יהיה שווה ל-Xn-2.
תן i=4, אז בין המשולשים מחיצה רגילה תכיל בוודאות משולש P1 P4 Pn, שאליו יתחבר המרובע P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn. מספר המחיצות הרגילות של מרובע כזה הוא X4, ומספר המחיצות של (n-3)-גון הוא Xn-3. בהתבסס על האמור לעיל, אנו יכולים לומר שהמספר הכולל של המחיצות הנכונות הכלולות בקבוצה זו הוא Xn-3 X4. קבוצות אחרות עם i=4, 5, 6, 7… יכללו Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … מחיצות רגילות.
תנו i=n-2, אז מספר הפיצולים הנכונים בקבוצה זו יהיה זהה למספר הפיצולים בקבוצה שבה i=2 (במילים אחרות, שווה ל-Xn-1).
מכיוון ש-X1=X2=0, X3=1, X4=2…, אז המספר של כל המחיצות של מצולע קמור הוא:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
דוגמה:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
מספר המחיצות הנכונות מצטלבות אלכסון אחד בפנים
כאשר בודקים מקרים מיוחדים, ניתן להגיע לההנחה שמספר האלכסונים של n-גונים קמורים שווה למכפלת כל המחיצות של הדמות הזו ב-(n-3).
הוכחה להנחה זו: דמיינו ש-P1n=Xn(n-3), אז ניתן לחלק כל n-גון למשולשים (n-2). יתרה מכך, (n-3)-מרובע יכול להיות מורכב מהם. יחד עם זה, לכל מרובע יהיה אלכסון. מכיוון שניתן לצייר שני אלכסונים באיור גיאומטרי קמור זה, המשמעות היא שניתן לצייר אלכסונים נוספים (n-3) בכל (n-3)-מרובעים. על סמך זה, אנו יכולים להסיק שבכל מחיצה רגילה ניתן לצייר (n-3)-אלכסונים העומדים בתנאים של בעיה זו.
אזור של מצולעים קמורים
לעתים קרובות, כאשר פותרים בעיות שונות של גיאומטריה יסודית, יש צורך לקבוע את השטח של מצולע קמור. נניח ש(Xi. Yi), i=1, 2, 3… n הוא רצף הקואורדינטות של כל הקודקודים השכנים של מצולע שאין לו חיתוכים עצמיים. במקרה זה, השטח שלו מחושב באמצעות הנוסחה הבאה:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), where (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
