גליל הוא אחת הדמויות התלת מימדיות הפשוטות שנלמדות בקורס גיאומטריה בבית הספר (גיאומטריה מוצקה בקטע). במקרה זה, לעתים קרובות מתעוררות בעיות בחישוב נפח ומסה של גליל, כמו גם בקביעת שטח הפנים שלו. תשובות לשאלות המסומנות ניתנות במאמר זה.
מהו צילינדר?
לפני שממשיכים לתשובה לשאלה, מהי מסת הגליל ונפחו, כדאי לשקול מהו הדמות המרחבית הזו. יש לציין מיד שגליל הוא עצם תלת מימדי. כלומר, במרחב, ניתן למדוד שלושה מהפרמטרים שלו לאורך כל אחד מהצירים במערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית. למעשה, כדי לקבוע באופן חד משמעי את מידותיו של צילינדר, מספיק לדעת רק שניים מהפרמטרים שלו.
צילינדר הוא דמות תלת מימדית שנוצרה על ידי שני עיגולים ומשטח גלילי. כדי לייצג בצורה ברורה יותר את האובייקט הזה, מספיק לקחת מלבן ולהתחיל לסובב אותו סביב כל אחד מהצדדים שלו, שיהיה ציר הסיבוב. במקרה זה, המלבן המסתובב יתאר את הצורהסיבוב - צילינדר.
שני משטחים עגולים נקראים בסיסי הגליל, הם מאופיינים ברדיוס מסוים. המרחק בין הבסיסים נקרא גובה. שני הבסיסים מחוברים זה לזה על ידי משטח גלילי. הקו העובר במרכזי שני המעגלים נקרא ציר הגליל.
נפח ושטח פנים
כפי שניתן לראות מהאמור לעיל, הגליל מוגדר על ידי שני פרמטרים: הגובה h ורדיוס הבסיס r שלו. לדעת פרמטרים אלה, ניתן לחשב את כל המאפיינים האחרים של הגוף הנחשב. להלן העיקריים שבהם:
- אזור הבסיסים. ערך זה מחושב לפי הנוסחה: S1=2pir2, כאשר pi הוא pi שווה ל-3, 14. ספרה 2 בנוסחה מופיע מכיוון שלגליל יש שני בסיסים זהים.
- שטח פנים גלילי. ניתן לחשב אותו כך: S2=2pirh. קל להבין את הנוסחה הזו: אם משטח גלילי נחתך אנכית מבסיס אחד למשנהו ומורחב, אז יתקבל מלבן שגובהו יהיה שווה לגובה הגליל, והרוחב יתאים ל. היקף בסיס הדמות התלת מימדית. מכיוון ששטח המלבן המתקבל הוא מכפלת צלעותיו, השוות ל-h ו-2pir, מתקבלת הנוסחה לעיל.
- שטח פני צילינדר. זה שווה לסכום השטחים של S1 ו-S2, נקבל: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- כרך. קל למצוא את הערך הזה, אתה רק צריך להכפיל את השטח של בסיס אחד בגובה הדמות: V=(S1/2)h=pir 2 h.
קביעת המסה של גליל
לבסוף, שווה ללכת ישירות לנושא המאמר. כיצד לקבוע את המסה של גליל? כדי לעשות זאת, אתה צריך לדעת את נפחו, הנוסחה לחישוב שהוצגה לעיל. וצפיפות החומר ממנו הוא מורכב. המסה נקבעת על ידי נוסחה פשוטה: m=ρV, כאשר ρ היא צפיפות החומר שיוצר את העצם המדובר.
מושג הצפיפות מאפיין את המסה של חומר שנמצא ביחידת נפח של מרחב. לדוגמה. ידוע שלברזל יש צפיפות גבוהה יותר מעץ. המשמעות היא שבמקרה של נפחים שווים של חומרי ברזל ועץ, לראשון מסה גדולה בהרבה מהאחרון (בערך פי 16).
חישוב המסה של גליל נחושת
שקול בעיה פשוטה. יש צורך למצוא את המסה של גליל עשוי נחושת. ליתר ביטחון, תנו לגליל בקוטר של 20 ס"מ ובגובה של 10 ס"מ.
לפני שתתחיל לפתור את הבעיה, עליך לטפל בנתוני המקור. רדיוס הגליל שווה למחצית מקוטרו, כלומר r=20/2=10 ס"מ, בעוד שהגובה הוא h=10 ס"מ. מכיוון שהגליל הנחשב בבעיה עשוי מנחושת, אזי, בהתייחס ל- נתוני התייחסות, אנו כותבים את ערך הצפיפות של חומר זה: ρ=8, 96 גרם/ס"מ3 (עבור טמפרטורה של 20 מעלות צלזיוס).
עכשיו אתה יכול להתחיל לפתור את הבעיה. ראשית, בואו נחשב את הנפח: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. אז מסת הגליל תהיה: m=ρV=8.963140=28134 גרם או כ-28 קילוגרמים.
יש לשים לב למימד היחידות במהלך השימוש בהן בנוסחאות המתאימות. אז בבעיה, כל הפרמטרים הוצגו בסנטימטרים ובגרמים.
צילינדרים הומוגניים וחלולים
מהתוצאה שהתקבלה לעיל, ניתן לראות שלגליל נחושת במידות קטנות יחסית (10 ס"מ) יש מסה גדולה (28 ק"ג). זה נובע לא רק מהעובדה שהוא עשוי מחומר כבד, אלא גם מהעובדה שהוא הומוגני. חשוב להבין עובדה זו, שכן ניתן להשתמש בנוסחה הנ"ל לחישוב המסה רק אם הגליל עשוי לחלוטין (בחוץ ובפנים) מאותו חומר, כלומר, הוא הומוגני.
בפועל משתמשים לרוב בגלילים חלולים (לדוגמה, חביות גליליות למים). כלומר, הם עשויים מיריעות דקות מחומר כלשהו, אבל בפנים הם ריקים. עבור גליל חלול, לא ניתן להשתמש בנוסחה המצוינת לחישוב המסה.
חישוב המסה של גליל חלול
מעניין לחשב איזו מסה תהיה לגליל נחושת אם הוא ריק בפנים. לדוגמה, תנו לו להיות עשוי מיריעת נחושת דקה בעובי של d=2 מ מ בלבד.
כדי לפתור בעיה זו, עליך למצוא את נפח הנחושת עצמה, ממנה עשוי החפץ. לא נפח הצילינדר. בגלל העוביהסדין קטן בהשוואה לממדים של הגליל (d=2 מ"מ ו-r=10 ס"מ), ואז ניתן למצוא את נפח הנחושת שממנו עשוי החפץ על ידי הכפלת כל שטח הפנים של הגליל ב- עובי יריעת הנחושת, נקבל: V=dS 3=d2pir(r+h). בהחלפת הנתונים מהבעיה הקודמת, נקבל: V=0.223, 1410(10+10)=251.2 cm3. ניתן לקבל את המסה של גליל חלול על ידי הכפלת נפח הנחושת שהושג, שנדרש לייצורו, בצפיפות הנחושת: m \u003d 251.28.96 \u003d 2251 גרם או 2.3 ק"ג. כלומר, הגליל החלול הנחשב שוקל פי 12 (28, 1/2, 3) פחות מאשר הגליל ההומוגני.
