מהם מספרים אי-רציונליים? למה קוראים להם ככה? איפה משתמשים בהם ומה הם? מעטים יכולים לענות על שאלות אלו ללא היסוס. אבל למעשה, התשובות להן די פשוטות, אם כי לא כולם צריכים אותן ובמצבים נדירים מאוד
מהות וייעוד
מספרים אי-רציונליים הם אינסוף שברים עשרוניים שאינם מחזוריים. הצורך להציג את המושג הזה נובע מהעובדה שהמושגים הקיימים בעבר של מספרים ממשיים או ממשיים, מספרים שלמים, טבעיים ורציונליים כבר לא הספיקו כדי לפתור בעיות מתעוררות חדשות. לדוגמה, על מנת לחשב מהו הריבוע של 2, עליך להשתמש באינספור עשרונים בלתי חוזרים. בנוסף, גם לרבות מהמשוואות הפשוטות ביותר אין פתרון מבלי להציג את המושג של מספר אי-רציונלי.
קבוצה זו מסומנת כ-I. וכפי שכבר ברור, לא ניתן לייצג ערכים אלו כשבר פשוט, שבמונה שלו יהיה מספר שלם, ובמכנה - מספר טבעי.
בפעם הראשונה אי פעםאחרת, מתמטיקאים הודים נתקלו בתופעה זו במאה ה-7 לפני הספירה, כאשר התגלה שלא ניתן לציין במפורש את השורשים הריבועיים של כמה כמויות. וההוכחה הראשונה לקיומם של מספרים כאלה מיוחסת להיפאסוס הפיתגורי, שעשה זאת בתהליך חקר משולש ישר זווית שווה שוקיים. תרומה רצינית לחקר הסט הזה נעשתה על ידי כמה מדענים אחרים שחיו לפני תקופתנו. הצגת המושג של מספרים אי-רציונליים גררה עדכון של המערכת המתמטית הקיימת, וזו הסיבה שהם כה חשובים.
מקור השם
אם יחס בלטינית פירושו "שבר", "יחס", אז הקידומת "ir"
נותנת למילה זו משמעות הפוכה. לפיכך, השם של קבוצת המספרים הללו מצביע על כך שלא ניתן לתאם אותם עם מספר שלם או שבר, יש להם מקום נפרד. זה נובע ממהותם.
מקום בדירוג הכללי
מספרים אי-רציונליים, יחד עם מספרים רציונליים, שייכים לקבוצת המספרים הממשיים או הממשיים, אשר בתורם שייכים למספרים מרוכבים. אין קבוצות משנה, עם זאת, ישנם זנים אלגבריים וטרנסנדנטליים, עליהם יידונו להלן.
Properties
מכיוון שמספרים אי-רציונליים הם חלק מקבוצת המספרים הממשיים, חלים עליהם כל המאפיינים שלהם שנלמדים בחשבון (הם נקראים גם חוקים אלגבריים בסיסיים).
a + b=b + a (קומוטטיביות);
(a + b) + c=a + (b + c)(אסוציאטיביות);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (קיומו של המספר הנגדי);
ab=ba (חוק עקירה);
(ab)c=a(bc) (הפצה);
a(b+c)=ab + ac (חוק חלוקתי);
a x 1=a
a x 1/a=1 (קיומו של מספר הפוך);
ההשוואה מתבצעת גם בהתאם לחוקים ועקרונות כלליים:
אם a > b ו-b > c, אז a > c (טרנזיטיביות של היחס) ו. וכו'
כמובן, ניתן להמיר את כל המספרים האי-רציונליים באמצעות אריתמטיקה בסיסית. אין כללים מיוחדים לכך.
בנוסף, האקסיומה של ארכימדס חלה על מספרים אי-רציונליים. זה אומר שלכל שתי כמויות a ו-b, ההצהרה נכונה שאם לוקחים את a כמונח מספיק פעמים, אתה יכול לעלות על b.
השתמש
למרות העובדה שבחיים הרגילים אתה לא צריך להתמודד איתם לעתים קרובות, לא ניתן לספור מספרים אי-רציונליים. יש הרבה כאלה, אבל הם כמעט בלתי נראים. אנחנו מוקפים במספרים לא רציונליים בכל מקום. דוגמאות המוכרות לכולם הן המספר pi, שווה ל-3, 1415926 …, או e, שהוא בעצם הבסיס של הלוגריתם הטבעי, 2, 718281828 … באלגברה, טריגונומטריה וגיאומטריה, יש להשתמש בהם כל הזמן. אגב, גם הערך המפורסם של "חתך הזהב", כלומר היחס בין החלק הגדול לקטן יותר, וגם להיפך, הוא
שייך לסט הזה. "כסף" פחות מוכר - גם.
הם ממוקמים בצפיפות רבה על קו המספרים, כך שבין שני ערכים כלשהם הקשורים לקבוצת הרציונליים, בטוח יתרחש אחד לא רציונלי.
יש עדיין הרבה בעיות לא פתורות הקשורות לסט הזה. ישנם קריטריונים כגון מדד האי-רציונליות והנורמליות של מספר. מתמטיקאים ממשיכים לבחון את הדוגמאות המשמעותיות ביותר להשתייכותם לקבוצה כזו או אחרת. לדוגמה, מאמינים כי e הוא מספר נורמלי, כלומר, ההסתברות שיופיעו ספרות שונות ברישומו זהה. באשר ל-pi, המחקר עדיין מתנהל לגביו. מדד לאי-רציונליות נקרא גם ערך המראה עד כמה ניתן לקירוב מספר זה או אחר באמצעות מספרים רציונליים.
אלגברית וטרנסנדנטלית
כפי שכבר הוזכר, מספרים אי-רציונליים מחולקים באופן מותנה לאלגברי וטרנסצנדנטלי. באופן מותנה, מאחר ולמען האמת, סיווג זה משמש לחלוקת קבוצת C.
ייעוד זה מסתיר מספרים מרוכבים, הכוללים מספרים אמיתיים או ממשיים.
אז, ערך אלגברי הוא ערך שהוא שורש של פולינום שאינו שווה לאפס באופן זהה. לדוגמה, השורש הריבועי של 2 יהיה בקטגוריה זו מכיוון שהוא הפתרון למשוואה x2 - 2=0.
כל שאר המספרים הממשיים שאינם עומדים בתנאי זה נקראים טרנסנדנטליים. למגוון הזהכלול את הדוגמאות המפורסמות ביותר וכבר מוזכרות - המספר pi והבסיס של הלוגריתם הטבעי e.
מעניין, לא אחת ולא השנייה נגזרה במקור על ידי מתמטיקאים בתפקיד זה, חוסר ההיגיון וההתעלות שלהם הוכחו שנים רבות לאחר גילוים. עבור pi, ההוכחה ניתנה ב-1882 ופושטה ב-1894, מה ששם קץ למחלוקת בת 2,500 השנים בנוגע לבעיית ריבוע המעגל. זה עדיין לא לגמרי מובן, אז למתמטיקאים מודרניים יש על מה לעבוד. אגב, החישוב המדויק הראשון של ערך זה בוצע על ידי ארכימדס. לפניו, כל החישובים היו משוערים מדי.
עבור e (המספרים אוילר או נאפייר), הוכחה להתעלות שלו נמצאה ב-1873. הוא משמש בפתרון משוואות לוגריתמיות.
דוגמאות אחרות כוללות ערכי סינוס, קוסינוס וטנגנס לכל ערכים אלגבריים שאינם אפס.
