מציאת הקובע של מטריצה היא פעולה חשובה לא רק עבור אלגברה לינארית: לדוגמה, בכלכלה, באמצעות חישוב זה, נפתרות מערכות של משוואות ליניאריות עם הרבה לא ידועים, שנמצאות בשימוש נרחב בבעיות כלכליות.
קונספט קובע
הקביעה, או הדטרמיננטה, של מטריצה היא ערך השווה לנפח של מקבילי הבנוי על וקטורי השורה או העמודה שלו. ניתן לחשב ערך זה רק עבור מטריצה מרובעת, בעלת אותו מספר שורות ועמודות. אם איברי המטריצה הם מספרים, הקובע יהיה גם מספר.
חישוב הקובעים
יש לזכור שיש כמה כללים שיכולים מאוד להקל על חישובים כאלה.
אז הקובע של מטריצה המורכבת מאיבר אחד שווה ליסוד היחיד שלה. לא קשה לחשב את הקובע מסדר שני, לשם כך די להחסיר את מכפלת היסודות הממוקמים באלכסון המשני מהמכפלה של איברי האלכסון הראשי.
הקל ביותר לבצע חישוב של הקובע מסדר 3לפי כלל המשולש. כדי לעשות זאת, בצע את הפעולות הבאות:
- מצא את המכפלה של שלושה איברים של המטריצה הממוקמים באחד הראשי שלה
- כפל בשלושה איברים הממוקמים על משולשים שבסיסיהם מקבילים לאלכסון הראשי.
- חזור על הפעולה הראשונה והשנייה עבור האלכסון המשני.
- מצא את סכום כל הערכים שהושגו בחישובים הקודמים, בעוד המספרים שהתקבלו בפסקה השלישית נלקחים עם סימן מינוס.
אלכסונים.
כדי למצוא בקלות את הקובע של מטריצה מסדר רביעי, כמו גם ממדים גבוהים יותר, יש צורך לשקול את המאפיינים שיש לכל הקובעים:
- הערך של הקובע לא משתנה לאחר טרנספוזיציה של מטריצה.
- שינוי המיקומים של שתי שורות או עמודות סמוכות מוביל לשינוי בסימן הקובע.
- אם למטריצה יש שתי שורות או עמודות שוות, או שכל הרכיבים של העמודה (שורה) הם אפס, אזי הקובע שלה שווה לאפס.
- כפל המספרים של מטריצה במספר כלשהו מוביל לעלייה בדטרמיננטה שלה באותו מספר פעמים.
שימוש במאפיינים לעיל עוזר למצוא בקלות את הקובע של מטריצה בכל סדר. לדוגמה, שימוש בשיטת הפחתת הסדר עבור זה, שבה הקובע מורחב על ידי רכיבי השורה (עמודה) כפול המשלים האלגברי.
דרך נוספת שהופכת את מציאת הקובע להרבה יותר קלה
מטריקס היא להביא אותה לצורה משולשת, כאשר כל האלמנטים מתחת לאלכסון הראשי שווים לאפס. במקרה זה, קובע המטריצה מחושב כמכפלת המספרים הממוקמים באלכסון זה.
ולבסוף, ברצוני לציין שחישוב הקובעים, למרות שהוא מורכב מחישובים מתמטיים פשוטים לכאורה, דורש טיפול והתמדה לא מעטים.
