ההיסטוריה של המספרים ומערכת המספרים קשורות קשר הדוק, מכיוון שמערכת המספרים היא דרך לכתוב מושג מופשט כמו מספר. נושא זה אינו שייך אך ורק לתחום המתמטיקה, כי כל זה הוא חלק חשוב מתרבות העם בכללותו. לכן, כאשר מנתחים את ההיסטוריה של המספרים ומערכות המספרים, נוגעים בקצרה בהיבטים רבים אחרים של ההיסטוריה של הציביליזציות שיצרו אותם. המערכות בכללותן מחולקות למיקום, לא-מיקום ומעורב. כל ההיסטוריה של המספרים ומערכות המספרים מורכבת מחילופין ביניהם. מערכות מיקום הן אלו שבהן הערך המסומן על ידי ספרה בהזנת מספר תלוי במיקומו. במערכות לא-פוזיציוניות, בהתאם, אין תלות כזו. האנושות גם יצרה מערכות מעורבות.
לומד מערכות מספרים בבית הספר
היום מתקיים השיעור "תולדות המספרים ומערכות המספרים" בכיתה ט' במסגרת הקורס במדעי המחשב. הדבר העיקריהמשמעות המעשית שלו היא ללמד כיצד לתרגם מספרים ממערכת מספרים אחת לאחרת (בעיקר מעשרוני לבינארי). עם זאת, ההיסטוריה של המספרים ומערכות המספרים היא חלק אורגני מההיסטוריה בכללותה ויכולה בהחלט להשלים גם נושא זה של תוכנית הלימודים בבית הספר. זה גם יכול לשפר את הגישה הבינתחומית שמקודמת כיום. במסגרת קורס היסטוריה כללית ניתן היה ללמוד באופן עקרוני לא רק את ההיסטוריה של ההתפתחות הכלכלית, תנועות חברתיות-פוליטיות, ממשלות ומלחמות, אלא גם, במידה מועטה, את ההיסטוריה של המספרים ומערכות המספרים. כיתה 9 בקורס מדעי המחשב במקרה זה יכול לקבל מספר גדול בהרבה של דוגמאות מחומר שכוסה בעבר במונחים של תרגום מספרים ממערכת אחת לאחרת. והדוגמאות הללו אינן חסרות קסם, אשר יוצגו להלן.
הופעת מערכות המספרים
קשה לומר מתי, והכי חשוב, איך אדם למד לספור (כמו שאי אפשר לברר בוודאות מתי, והכי חשוב, איך קמה שפה). זה רק ידוע שלכל התרבויות העתיקות כבר היו מערכות ספירה משלהן, מה שאומר שההיסטוריה של המספרים ומערכת המספרים מקורם בתקופות טרום-ציוויליזציה. אבנים ועצמות אינן מסוגלות לספר לנו מה מתרחש במוח האנושי, ומקורות כתובים לא נוצרו אז. אולי אדם נזקק לחשבון בעת חלוקת השלל או הרבה יותר מאוחר, כבר בזמן המהפכה הנאוליתית, כלומר בזמן המעבר לחקלאות, כדי לחלק את השדות. כל תיאוריה לגבי זה תהיה חסרת בסיס באותה מידה. עם זאת, עדיין ניתן להניח כמה הנחות על ידי לימודהיסטוריה של שפות שונות.
עקבות של מערכת המספרים העתיקה
מערכת הספירה הראשונית ההגיונית ביותר היא הניגוד למושגים "אחד" - "רבים". זה הגיוני עבורנו כי ברוסית מודרנית יש רק יחיד ורבים. אבל בשפות עתיקות רבות היה גם מספר כפול לשני דברים. הוא היה קיים גם בשפות ההודו-אירופיות הראשונות, כולל הרוסית העתיקה. לפיכך, ההיסטוריה של המספרים ומערכת המספרים החלה בהפרדת המושגים "אחד", "שניים", "רבים". עם זאת, כבר בתרבויות העתיקות ביותר הידועות לנו פותחו מערכות מספרים מפורטות יותר.
סימון מסופוטמי של מספרים
אנחנו רגילים לעובדה שמערכת המספרים היא עשרונית. זה מובן: יש 10 אצבעות על הידיים. אף על פי כן, ההיסטוריה של הופעתם של מספרים ומערכות מספרים עברה שלבים מורכבים יותר. מערכת המספרים המסופוטמית היא סקסאגסימאלית. לכן, עדיין יש 60 דקות בשעה, ו-60 שניות בדקה. לכן, השנה מתחלקת במספר החודשים, כפולה של 60, והיום מתחלק באותו מספר שעות. בתחילה, זה היה שעון שמש, כלומר, כל אחד מהם היה 1/12 של יום אור (בשטחה של עיראק המודרנית, משך הזמן שלו לא השתנה בהרבה). רק מאוחר יותר, משך השעה החל להיקבע שלא על ידי השמש, ונוספו גם 12 שעות לילה.
מעניין שהסימנים של המערכת הסקסאגסימלית הזו נכתבו כאילו הם עשרוניים - היו רק שני סימנים (כדי לציין אחד ועשרה, לא שישה ולאשישים, כלומר עשרה), המספרים הושגו על ידי שילוב של סימנים אלה. זה מפחיד אפילו לדמיין כמה קשה היה לרשום כל מספר גדול בצורה כזו.
מערכת המספרים המצרית העתיקה
הן ההיסטוריה של המספרים במערכת המספרים העשרונית והן השימוש במספר סימנים לייצוג מספרים החלו במצרים הקדמונים. הם שילבו את ההירוגליפים שעמדו על אחד, מאה, אלף, עשרת אלפים, מאה אלף, מיליון ועשרה מיליון, ובכך ציינו את המספר הרצוי. מערכת כזו הייתה הרבה יותר נוחה מהמסופוטמיה, שהשתמשה בשני סימנים בלבד. אבל יחד עם זאת, הייתה לה מגבלה ברורה: היה קשה לרשום מספר גדול בהרבה מעשרה מיליון. נכון, הציוויליזציה המצרית העתיקה, כמו רוב התרבויות של העולם העתיק, לא נתקלה במספרים כאלה.
אותיות הלניות בסימון מתמטי
ההיסטוריה של הפילוסופיה האירופית, המדע, המחשבה המדינית ועוד הרבה יותר מתחילה בהלס העתיקה ("הלס" הוא שם עצמי, עדיף על "יוון" שטבעו הרומאים). ידע מתמטי פותח גם בציוויליזציה זו. ההלנים כתבו את המספרים באותיות. אותיות בודדות ציינו כל מספר מ-1 עד 9, כל עשר מ-10 עד 90, וכל מאה מ-100 עד 900. רק אלף סומנה באותה אות כאחת, אך עם סימן אחר לצד האות. המערכת אפשרה לציין אפילו מספרים גדולים באמצעות כתובות קצרות יחסית.
מערכת המספרים הסלאבית כיורשת ההלנית
ההיסטוריה של המספרים ומערכות המספרים לא תהיה שלמה בלי כמה מילים על אבותינו. הקירילית, כידוע, מבוססת על האלפבית ההלני, ולכן המערכת הסלאבית של כתיבת מספרים התבססה גם על זה ההלני. גם כאן, כל מספר מ-1 עד 9, כל עשר מ-10 עד 90, וכל מאה מ-100 עד 900 סומנו באותיות נפרדות. רק שלא נעשה שימוש באותיות הלניות, אלא בקיריליות, או גלגוליות. הייתה גם תכונה מעניינת: למרות העובדה שגם הטקסטים ההלניים באותה תקופה וגם הסלאבים מתחילת ההיסטוריה שלהם נכתבו משמאל לימין, המספרים הסלאביים נכתבו כאילו מימין לשמאל, כלומר, האותיות המציינות עשרות הוצבו מימין לאותיות המציינות יחידות, האותיות, המציינות מאות מימין לאותיות המציינות עשרות וכו'
פישוט עליית הגג
מדענים הלנים הגיעו לשיאים גדולים. הכיבוש הרומי לא קטע את חיפושיהם. לדוגמה, אם לשפוט לפי עדויות עקיפות, אריסטרכוס מסמוס, 18 מאות שנה לפני קופרניקוס, פיתח את המערכת ההליוצנטרית של העולם. בכל החישובים המורכבים הללו, המדענים ההלנים נעזרו במערכת כתיבת המספרים שלהם.
אבל עבור אנשים רגילים, כמו סוחרים, המערכת התבררה לעתים קרובות כמסובכת מדי: כדי להשתמש בה, היה צורך לשנן את הערכים המספריים של 27 אותיות (במקום את הערכים המספריים של 10 דמויות שתלמידי בית ספר מודרניים לומדים). לכן, הופיעה מערכת פשוטה, שנקראת עליית הגג (אטיקה היא אזור הלס, בבת אחתמובילה באזור בכללותו ובמיוחד בסחר הימי של האזור, שכן בירת אטיקה הייתה אתונה המפורסמת). במערכת זו החלו לייעד באותיות נפרדות רק את המספרים אחד, חמש, עשר, מאה, אלף ועשרת אלפים. מסתבר שיש רק שישה תווים - הרבה יותר קל לזכור אותם, והסוחרים עדיין לא עשו חישובים מסובכים מדי.
ספרות רומיות
ומערכת המספרים, ותולדות המספרים של הרומאים הקדמונים, ובאופן עקרוני תולדות המדע שלהם היא המשך של ההיסטוריה ההלנית. המערכת העלית נלקחה כבסיס, האותיות ההלניות פשוט הוחלפו באותיות לטיניות ונוספה ייעוד נפרד לחמישים וחמש מאות. במקביל, מדענים המשיכו לערוך חישובים מורכבים במסכתיהם באמצעות מערכת ההקלטה ההלנית של 27 אותיות (ובדרך כלל הם כתבו את המסכתים עצמם בהלנית).
המערכת הרומית של כתיבת מספרים לא יכולה להיקרא מושלמת במיוחד. בפרט, זה הרבה יותר פרימיטיבי מרוסית עתיקה. אבל מבחינה היסטורית התברר שהוא עדיין נשמר בשוויון עם הספרות הערביות (מה שנקרא). ואל תשכח את המערכת האלטרנטיבית הזו, תפסיק להשתמש בה. בפרט, כיום ספרות ערביות מציינות לרוב מספרים קרדינליים, וספרות רומיות מציינות מספרים סידוריים.
המצאה הודית עתיקה גדולה
המספרים שבהם אנו משתמשים היום מקורם בהודו. לא ידוע בדיוק מתי ההיסטוריה של המספרים ומערכת המספרים עשו זאתתפנית משמעותית, אבל, ככל הנראה, לא יאוחר מהמאה החמישית מלידתו של ישו. לעתים קרובות מודגש כי ההודים הם שפיתחו את מושג האפס. מושג כזה היה ידוע למתמטיקאים ולתרבויות אחרות, אבל בעצם רק שיטת ההודים אפשרה לכלול אותו במלואו בסימון מתמטי, ולכן בחישובים.
הפצה של מערכת המספרים ההודית על פני כדור הארץ
ככל הנראה במאה ה-9, מספרים הודים הושאלו על ידי הערבים. בעוד שהאירופאים זלזלו במורשת העתיקה, ובאזורים מסוימים בזמן מסוים אף הרסו אותה בכוונה כפגנית, הערבים שמרו בקפידה על הישגיהם של היוונים והרומאים הקדמונים. כבר מתחילת כיבושיהם הפכו תרגומים של מחברים עתיקים לערבית למצרך לוהט. בעיקר באמצעות חיבורים של חוקרים ערבים, האירופים מימי הביניים השיבו את המורשת של הוגים עתיקים. יחד עם החיבורים הללו הגיעו גם מספרים הודים, שבאירופה החלו להיקרא ערבית. הם לא התקבלו מיד, כי עבור רוב האנשים התברר שהם פחות מובנים מהרומאים. אבל בהדרגה ניצחה הנוחות של חישובים מתמטיים בעזרת הסימנים הללו את הבורות. ההנהגה של המדינות המתועשות באירופה הביאה לכך שהספרות הערביות כביכול התפשטו ברחבי העולם וכיום משתמשים בהן כמעט בכל מקום.
מערכת המספרים הבינאריים של מחשבים מודרניים
עם הופעת המחשבים, תחומי ידע רבים עשו בהדרגה תפנית משמעותית. לא הפךלמעט ההיסטוריה של המספרים ומערכות המספרים. התמונה של המחשב הראשון מזכירה מעט את המכשיר המודרני שעל הצג שלו אתה קורא את המאמר הזה, אבל העבודה של שניהם מבוססת על מערכת המספרים הבינארית, קוד המורכב רק מאפסים ואחדים. לתודעה היומיומית, עדיין נותר מפתיע שבעזרת שילוב של שני תווים בלבד (למעשה, אות או היעדרו), אתה יכול לבצע את החישובים המורכבים ביותר ובאופן אוטומטי (אם יש לך את התוכנית המתאימה) להמיר מספרים ב המערכת העשרונית למספרים בינארית, הקסדצימלית, שישים ושש ובכל מערכת אחרת. ובעזרת קוד בינארי כזה, מאמר זה מוצג על הצג, המשקף את ההיסטוריה של המספרים ומערכת המספרים של תרבויות שונות בהיסטוריה.
