מערכות מספרים - מה זה? גם מבלי לדעת את התשובה לשאלה זו, כל אחד מאיתנו משתמש בעל כורחו במערכות מספרים בחייו ואינו חושד בכך. נכון, רבים! כלומר, לא אחד, אלא כמה. לפני מתן דוגמאות למערכות מספרים לא-מיקום, בואו נבין את הנושא הזה, בואו נדבר גם על מערכות מיקום.
נדרשת חשבונית
מאז ימי קדם, לאנשים היה צורך בספירה, כלומר, הם הבינו באופן אינטואיטיבי שהם צריכים איכשהו להביע חזון כמותי של דברים ואירועים. המוח הציע שיש צורך להשתמש בחפצים לספירה. האצבעות תמיד היו הנוחות ביותר, וזה מובן, כי הן תמיד זמינות (למעט חריגים נדירים).
אז הנציגים הקדומים של המין האנושי היו צריכים לכופף את אצבעותיהם במובן המילולי - כדי לציין את מספר הממותות ההרוגות, למשל. לרכיבים כאלה בחשבון עדיין לא היו שמות, אלא רק תמונה ויזואלית, השוואה.
מערכות מספרי מיקום מודרניות
מערכת המספרים היא שיטה (דרך) לייצוג ערכים וכמויות כמויות באמצעות סימנים מסוימים (סמלים או אותיות).
יש צורך להבין מה זה מיקום ולא מיקום בספירה לפני מתן דוגמאות למערכות מספרים לא מיקום. ישנן מערכות מספרי מיקום רבות. כעת נעשה שימוש בתחומים הבאים בתחומי ידע שונים: בינארי (כולל רק שני אלמנטים משמעותיים: 0 ו-1), הקסדצימלי (מספר תווים - 6), אוקטלי (תווים - 8), דואודצימלי (שנים עשר תווים), הקסדצימלי (כולל שישה עשר תווים). תווים). יתרה מכך, כל שורה של תווים במערכות מתחילה מאפס. טכנולוגיות מחשב מודרניות מבוססות על שימוש בקודים בינאריים - מערכת המספרים הבינאריים הבינאריים.
מערכת מספרים עשרוניים
פוזיציות היא נוכחות של עמדות משמעותיות בדרגות שונות, שעליהן ממוקמים סימני המספר. ניתן להדגים זאת בצורה הטובה ביותר באמצעות הדוגמה של מערכת המספרים העשרוניים. הרי אנחנו רגילים להשתמש בו מילדות. ישנם עשרה סימנים במערכת זו: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. קח את המספר 327. יש לו שלושה סימנים: 3, 2, 7. כל אחד מהם נמצא ב- עמדה משלה (מקום). השבעה תופסת את העמדה השמורה לערכים בודדים (יחידות), שתיים - עשרות, ושלוש - מאות. מכיוון שהמספר הוא תלת ספרתי, לפיכך, יש בו רק שלושה מיקומים.
בהתבסס על האמור לעיל, זהמספר עשרוני בן שלוש ספרות ניתן לתאר באופן הבא: שלוש מאות, שתי עשרות ושבע יחידות. יתרה מכך, המשמעות (החשיבות) של עמדות נספרת משמאל לימין, מעמדה חלשה (אחת) לחזקה יותר (מאות).
אנו מרגישים מאוד בנוח במערכת המספרים העשרוניים. יש לנו עשר אצבעות על הידיים, ואותו הדבר על הרגליים. חמש ועוד חמש - אז בזכות האצבעות אנחנו מדמיינים בקלות תריסר מילדות. לכן קל לילדים ללמוד את לוחות הכפל לחמש ועשר. וזה גם כל כך קל ללמוד איך לספור שטרות, שהם לרוב כפולות (כלומר, מחלקים ללא שארית) בחמש ועשר.
מערכות מספרי מיקום אחרות
להפתעתם של רבים, צריך לומר שלא רק במערכת הספירה העשרונית, המוח שלנו רגיל לעשות כמה חישובים. עד כה, האנושות השתמשה במערכות שישה ומספרים דו-דצימליים. כלומר, במערכת כזו יש רק שישה תווים (בהקסדצימליים): 0, 1, 2, 3, 4, 5. בדו-דצימלי יש שנים עשר מהם: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, כאשר A - מציין את המספר 10, B - המספר 11 (מכיוון שהסימן חייב להיות אחד).
שפוט בעצמך. אנחנו סופרים זמן בשישיות, לא? שעה אחת היא שישים דקות (שש עשרות), יום אחד הוא עשרים וארבע שעות (פעמיים כפול שתים עשרה), שנה היא שנים עשר חודשים, וכן הלאה… כל מרווחי הזמן משתלבים בקלות בסדרות של שישה ודו-צימליים. אבל אנחנו כל כך רגילים לזה שאנחנו אפילו לא חושבים על זה כשסופרים את הזמן.
מערכות מספרים לא-מיקוםיות. Unary
יש צורך להגדיר מהי - מערכת מספרים לא-מיקוםית. זו מערכת סימנים כזו שבה אין מיקומים לסימני מספר, או שעיקרון "קריאת" מספר אינו תלוי במיקום. יש לו גם כללים משלו לכתיבה או חישוב.
בואו ניתן דוגמאות למערכות מספרים לא-מיקוםיות. נחזור לימי קדם. אנשים היו צריכים חשבון והמצאו את ההמצאה הפשוטה ביותר - קשרים. מערכת המספרים הלא-מיקוםית היא נודולרית. פריט אחד (שקית אורז, שור, ערימת שחת וכו') נספר, למשל, בקנייה או במכירה, וקשרו קשר בחוט.
כתוצאה מכך, נעשו על החבל כמה שיותר קשרים נקנו שקיות אורז רבות (כדוגמה). אבל זה יכול להיות גם חריצים על מקל עץ, על לוח אבן וכו'. מערכת מספרים כזו נודעה כנודולרית. יש לה שם שני - unary, או יחיד ("uno" בלטינית פירושו "אחד").
זה ברור שמערכת המספרים הזו אינה מיקומית. אחרי הכל, על איזה תפקידים אנחנו יכולים לדבר כשהיא (העמדה) היא רק אחת! למרבה הפלא, בחלקים מסוימים של כדור הארץ, מערכת המספרים הלא-מיקומיים האנריים עדיין בשימוש.
כמו כן, מערכות מספרים לא-מיקוםיות כוללות:
- רומית (אותיות משמשות לכתיבת מספרים - תווים לטיניים);
- מצרי עתיק (בדומה לרומי, נעשה שימוש גם בסמלים);
- אלפביתי (השתמשו באותיות האלפבית);
- בבלי (כתב יתדות - בשימוש ישיר ו"טריז" הפוך);
- יוונית (המכונה גם אלפביתית).
מערכת הספרות הרומית
האימפריה הרומית העתיקה, כמו גם המדע שלה, היו מאוד מתקדמים. הרומאים נתנו לעולם המצאות שימושיות רבות של מדע ואמנות, כולל מערכת הספירה שלהם. לפני מאתיים שנה השתמשו בספרות רומיות לציון סכומים במסמכים עסקיים (כך נמנע זיוף).
הספירה הרומית היא דוגמה למערכת מספרים לא-מיקוםית, אנחנו מכירים אותה עכשיו. כמו כן, המערכת הרומית משמשת באופן פעיל, אך לא עבור חישובים מתמטיים, אלא עבור פעולות ממוקדות צר. כך למשל, בעזרת מספרים רומיים נהוג לציין בפרסומי ספרים תאריכים היסטוריים, מאות שנים, מספרי כרכים, חלקים ופרקים. שלטים רומיים משמשים לעתים קרובות לקישוט חוגות שעונים. וגם הספירה הרומית היא דוגמה למערכת מספרים לא-מיקוםית.
הרומאים ציינו מספרים באותיות לטיניות. יתר על כן, הם רשמו את המספרים לפי כללים מסוימים. קיימת רשימה של סמלי מפתח במערכת הספרות הרומיות, בעזרתם נכתבו כל המספרים ללא יוצא מן הכלל.
| מספר (עשרוני) | ספרה רומית (אות האלפבית הלטיני) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
כללים לחיבור מספרים
המספר הנדרש התקבל על ידי הוספת סימנים (אותיות לטיניות) וחישוב הסכום שלהם. הבה נבחן כיצד סימנים נכתבים באופן סמלי במערכת הרומית וכיצד יש "לקרוא אותם". הבה נרשום את החוקים העיקריים של היווצרות המספרים במערכת המספרים הלא-מיקוםית הרומית.
- המספר ארבע - IV, מורכב משני תווים (I, V - אחד וחמש). זה מתקבל על ידי הפחתת הסימן הקטן מהגדול אם הוא משמאל. כאשר השלט הקטן יותר ממוקם בצד ימין, אתה צריך להוסיף, ואז אתה מקבל את המספר שש - VI.
- יש צורך להוסיף שני סימנים זהים אחד ליד השני. לדוגמה: SS הוא 200 (C הוא 100), או XX הוא 20.
- אם הסימן הראשון של מספר קטן מהשני, אז התו השלישי בשורה זו יכול להיות תו שערכו קטן אפילו מהראשון. כדי למנוע בלבול, הנה דוגמה: CDX - 410 (בעשרוני).
- כמה מספרים גדולים יכולים להיות מיוצגים בדרכים שונות, וזה אחד החסרונות של שיטת הספירה הרומית. הנה כמה דוגמאות: MVM (רומית)=1000 + (1000 - 5)=1995 (עשרוני) או MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. וזה לא הכל.
טריקים אריתמטיים
מערכת מספרים לא-מיקוםית היא לפעמים מערכת מורכבת של כללים ליצירת מספרים, עיבודם (פעולות עליהם). פעולות אריתמטיות במערכות מספרים לא-מיקום אינן קלותלאנשים מודרניים. אנחנו לא מקנאים במתמטיקאים הרומאים הקדמונים!
דוגמה לתוספת. בואו ננסה להוסיף שני מספרים: XIX + XXVI=XXXV, משימה זו מתבצעת בשני שלבים:
- ראשית - קח והוסף את השברים הקטנים יותר של מספרים: IX + VI=XV (אני אחרי V ו-I לפני X "הורסים" זה את זה).
- שני - הוסף שברים גדולים של שני מספרים: X + XX=XXX.
החיסור הוא קצת יותר מסובך. יש לחלק את המספר שיש להקטין ליסודות המרכיבים אותו, ולאחר מכן את התווים הכפולים שיש להקטין במספר שיש להפחית ולהוריד. הורידו 263 מ-500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
כפל ספרות רומיות. אגב, צריך להזכיר שלרומאים לא היו סימנים לפעולות אריתמטיות, הם פשוט ציינו אותם במילים.
המספר המרובה היה צריך להיות מוכפל בכל סמל בודד של המכפיל, וכתוצאה מכך היה צורך להוסיף מספר מוצרים. כך מכפילים פולינומים.
באשר לחלוקה, תהליך זה במערכת הספרות הרומית היה ונשאר הקשה ביותר. כאן נעשה שימוש בחשבונייה הרומית העתיקה. כדי לעבוד איתו, אנשים הוכשרו במיוחד (ולא כל אדם הצליח לשלוט במדע כזה).
על החסרונות של מערכות לא-מיקום
כפי שהוזכר לעיל, למערכות של מספרים לא-מיקוםיים יש את החסרונות שלהם, אי הנוחות בשימוש. Unary הוא פשוט מספיק עבור ספירה פשוטה, אבל עבור חישובים אריתמטיים ומורכבים, זה לאמספיק טוב.
ברומית אין כללים אחידים להיווצרות מספרים גדולים ומתעורר בלבול, וגם קשה מאוד לעשות בו חישובים. כמו כן, המספר הגדול ביותר שהרומאים הקדמונים יכלו לרשום בשיטתם היה 100,000.
