כולנו למדנו שורשים ריבועיים אריתמטיים בשיעור אלגברה בבית הספר. קורה שאם הידע לא מתרענן, אז הוא נשכח מהר, אותו דבר עם השורשים. מאמר זה יהיה שימושי לתלמידי כיתות ח' שרוצים לרענן את הידע שלהם בתחום זה, ולתלמידי בית ספר אחרים, מכיוון שאנו עובדים עם שורשים בכיתות ט', י' וי א.
היסטוריה של שורש ותואר
אפילו בימי קדם, ובמיוחד במצרים העתיקה, אנשים היו צריכים תארים כדי לבצע פעולות על מספרים. כשלא היה מושג כזה, המצרים רשמו את המכפלה של אותו מספר עשרים פעמים. אבל עד מהרה הומצא פתרון לבעיה - מספר הפעמים שיש להכפיל את המספר בעצמו החל להיכתב בפינה הימנית העליונה מעליו, וצורת ההקלטה הזו שרדה עד היום.
וההיסטוריה של השורש הריבועי התחילה לפני כ-500 שנה. הוא סומן בדרכים שונות, ורק במאה השבע-עשרה הציג רנה דקארט סימן כזה, שבו אנו משתמשים עד היום.
מהו שורש ריבועי
בוא נתחיל בהסבר מהו שורש ריבועי. השורש הריבועי של מספר c כלשהו הוא מספר לא שלילי שכאשר ריבוע הוא יהיה שווה ל-c. במקרה זה, c גדול מאפס או שווה לאפס.
כדי להביא מספר מתחת לשורש, אנו מעבירים אותו בריבוע ומעליו את סימן השורש:
32=9, 3=√9
כמו כן, איננו יכולים לקבל את הערך של השורש הריבועי של מספר שלילי, מכיוון שכל מספר בריבוע הוא חיובי, כלומר:
c2 ≧ 0, אם √c הוא מספר שלילי, אז c2 < 0 - בניגוד לכלל.
כדי לחשב במהירות שורשים ריבועיים, עליך להכיר את טבלת הריבועים של המספרים.
Properties
בואו נשקול את התכונות האלגבריות של השורש הריבועי.
1) כדי לחלץ את השורש הריבועי של המוצר, עליך לקחת את השורש של כל גורם. כלומר, ניתן לכתוב אותו כמכפלת שורשי הגורמים:
√ac=√a × √c, לדוגמה:
√36=√4 × √9
2) כשמחלצים שורש משבר, יש צורך לחלץ את השורש בנפרד מהמונה והמכנה, כלומר לכתוב אותו כמנה של השורשים שלהם.
3) הערך המתקבל על ידי לקיחת השורש הריבועי של מספר שווה תמיד למודולוס של מספר זה, מכיוון שהמודלוס יכול להיות חיובי רק:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) כדי להעלות שורש לכל כוח, אנחנו מעלים אליוביטוי רדיקלי:
(√с)4=√с4, לדוגמה:
(√2)6 =√26=√64=8
5) הריבוע של השורש האריתמטי של c שווה למספר הזה עצמו:
(√s)2=s.
שורשים של מספרים אי-רציונליים
בוא נגיד שהשורש של שש עשרה הוא קל, אבל איך לקחת את השורש של מספרים כמו 7, 10, 11?
מספר שהשורש שלו הוא שבר אינסופי שאינו מחזורי נקרא אי-רציונלי. איננו יכולים לחלץ ממנו את השורש בעצמנו. אנחנו יכולים רק להשוות אותו למספרים אחרים. לדוגמה, קחו את השורש של 5 והשוו אותו עם √4 ו√9. ברור ש√4 < √5 < √9, ואז 2 < √5 < 3. זה אומר שהערך של השורש של חמש הוא איפשהו בין שתיים לשלוש, אבל יש הרבה שברים עשרוניים ביניהם, ו בחירת כל אחת מהן היא דרך מפוקפקת למצוא את השורש.
אתה יכול לעשות את הפעולה הזו במחשבון - זו הדרך הקלה והמהירה ביותר, אבל בכיתה ח' לעולם לא תדרשו לחלץ מספרים אי-רציונליים מהשורש הריבועי האריתמטי. אתה רק צריך לזכור את הערכים המשוערים של השורש של שתיים ושל השורש של שלוש:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
דוגמאות
כעת, בהתבסס על המאפיינים של השורש הריבועי, נפתור מספר דוגמאות:
1) √172 - 82
זכור את הנוסחה להפרש הריבועים:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
אנחנו מכירים את המאפיין של השורש האריתמטי הריבועי - כדי לחלץ את השורש מהמוצר, צריך לחלץ אותו מכל גורם:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
החל תכונה נוספת של השורש - ריבוע השורש האריתמטי של מספר שווה למספר הזה עצמו:
2 × 3 + 6=12
חשוב! לעתים קרובות, כאשר מתחילים לעבוד ולפתור דוגמאות עם שורשים ריבועיים אריתמטיים, התלמידים עושים את הטעות הבאה:
√12 + 3=√12 + √3 - אתה לא יכול לעשות את זה!
אנחנו לא יכולים לקחת את השורש של כל מונח. אין כלל כזה, אבל הוא מבולבל עם נטילת השורש של כל גורם. אם היה לנו את הערך הזה:
√12 × 3, אז זה יהיה הוגן לכתוב √12 × 3=√12 × √3.
ולכן נוכל לכתוב רק:
√12 + 3=√15
