מקביליות של מטוסים הוא מושג שהופיע לראשונה בגיאומטריה האוקלידית לפני למעלה מאלפיים שנה.
מאפיינים עיקריים של גיאומטריה קלאסית
הולדתה של דיסציפלינה מדעית זו קשורה לעבודתו המפורסמת של ההוגה היווני הקדום אוקלידס, שכתב את החוברת "התחלות" במאה השלישית לפני הספירה. מחולקים לשלושה עשר ספרים, היסודות היו ההישג הגבוה ביותר של כל המתמטיקה העתיקה וקבעו את ההנחות הבסיסיות הקשורות לתכונות של דמויות מישוריות.
התנאי הקלאסי להקבלה של מישורים נוסח כך: ניתן לכנות שני מישורים מקבילים אם אין להם נקודות משותפות זה עם זה. זו הייתה ההנחה החמישית לעבודה אוקלידית.
מאפיינים של מטוסים מקבילים
בגיאומטריה האוקלידית, בדרך כלל יש חמישה מהם:
התכונה הראשונה (מתאר את ההקבלה של מישורים וייחודם). דרך נקודה אחת שנמצאת מחוץ למישור נתון מסוים, נוכל לצייר מישור אחד ויחיד במקביל לה
- תכונה שנייה (נקראת גם תכונת שלוש מקבילות). כאשר שני מטוסים נמצאיםבמקביל לשלישי, הם גם מקבילים זה לזה.
התכונה השלישית (במילים אחרות, היא נקראת תכונת קו ישר החותך את המקביליות של המישורים). אם ישר בודד יחצה את אחד מהמישורים המקבילים הללו, אז הוא יחצה את השני
תכונה רביעית (תכונה של קווים ישרים חתוכים במישורים מקבילים זה לזה). כאשר שני מישורים מקבילים מצטלבים עם שלישי (בכל זווית), גם קווי החיתוך שלהם מקבילים
תכונה חמישית (תכונה המתארת קטעים של קווים מקבילים שונים הכלואים בין מישורים מקבילים זה לזה). הקטעים של אותם קווים מקבילים הכלולים בין שני מישורים מקבילים הם בהכרח שווים
מקביליות של מטוסים בגיאומטריות לא אוקלידיות
גישות כאלה הן, במיוחד, הגיאומטריה של לובצ'בסקי ורימן. אם הגיאומטריה של אוקלידס התממשה על מרחבים שטוחים, אז הגיאומטריה של לובצ'בסקי התממשה במרחבים מעוקלים שליליים (פשוט מעוקלים), ובזו של רימן היא מוצאת את מימושה במרחבים מעוקלים חיוביים (במילים אחרות, ספירות). ישנה דעה סטריאוטיפית מאוד נפוצה לפיה המישורים המקבילים של לובצ'בסקי (וגם הקווים) מצטלבים.
עם זאת, זה לא נכון. ואכן, לידתה של הגיאומטריה ההיפרבולית הייתה קשורה להוכחת ההנחה החמישית של אוקלידס והשינויעם זאת, השקפותיו על זה, עצם ההגדרה של מישורים וקווים מקבילים מרמזת שהם אינם יכולים להצטלב לא אצל לובצ'בסקי ולא ברימן, לא משנה באיזה מרחבים הם מתממשים. והשינוי בהשקפות ובניסוחים היה כדלקמן. ההנחה לפיה ניתן לצייר רק מישור מקביל אחד דרך נקודה שאינה שוכנת על מישור נתון, הוחלפה בניסוח אחר: דרך נקודה שאינה שוכנת על מישור מסוים נתון, שני, לפחות, קווים הנמצאים במישור מסוים. אותו מישור כמו הנתון ואל תחצה אותו.
