מגוון רחב של יחסים בדוגמה של קבוצות מלווה במספר רב של מושגים, החל בהגדרות שלהם וכלה בניתוח אנליטי של פרדוקסים. מגוון המושג הנדון במאמר על הסט הוא אינסופי. אם כי, כאשר מדברים על סוגים כפולים, המשמעות היא קשרים בינארים בין מספר ערכים. וגם בין אובייקטים או הצהרות.
ככלל, יחסים בינאריים מסומנים בסמל R, כלומר, אם xRx עבור כל ערך x מהשדה R, תכונה כזו נקראת רפלקסיבית, שבה x ו-x הם אובייקטים מחשבתיים מקובלים, ו-R משמש כסימן לשאלה האם או צורה אחרת של קשר בין פרטים. יחד עם זאת, אם אתה מביע את xRy® או yRx, אז זה מצביע על מצב של סימטריה, כאשר ® הוא סימן השלכה דומה לאיחוד "אם … אז … ". ולבסוף, הפענוח של ה- כתובת (xRy Ùy Rz) ®xRz מספרת על מערכת יחסים טרנזיטיבית, והסימן Ù הוא צירוף.
יחס בינארי שהוא גם רפלקסיבי, סימטרי וגם טרנזיטיבי נקרא קשר שקילות. היחס f הוא פונקציה, והשוויון y=z נובע מ- Î f ו- Î f. ניתן ליישם בקלות פונקציה בינארית פשוטהלשני טיעונים פשוטים בסדר מסוים, ורק במקרה זה הוא מספק לו משמעות המכוונת לשני הביטויים הללו במקרה מסוים.
יש לומר ש-f ממפה את x ל-y,
אם f היא פונקציה עם טווח x וטווח y. עם זאת, כאשר f מוציא את x ל-y, ו-y Í z, הדבר גורם ל-f להציג x ב-z. דוגמה פשוטה: אם f(x)=2x נכון לכל מספר שלם x, אז נאמר ש-f ממפה את קבוצת הסימן של כל המספרים השלמים הידועים לקבוצת אותם מספרים שלמים, אבל הפעם מספרים זוגיים. כפי שהוזכר לעיל, יחסים בינאריים שהם גם רפלקסיביים, סימטריים וגם טרנזיטיביים הם יחסי שקילות.
בהתבסס על האמור לעיל, יחסי שקילות של יחסים בינאריים נקבעים על ידי מאפיינים:
- רפלקסיביות - יחס (M ~ N);
- סימטריות - אם השוויון הוא M ~ N, אז יהיה N ~ M;
- טרנזיטיביות - אם שני שווים M ~ N ו-N ~ P, אז כתוצאה מכך M ~ P.
בואו נשקול את המאפיינים המוצהרים של יחסים בינאריים ביתר פירוט. רפלקסיביות היא אחד המאפיינים של קשרים מסוימים, כאשר כל מרכיב במערך הנחקר נמצא בשוויון נתון לעצמו. לדוגמה, בין המספרים a=c ו-a³ c יש קשרים רפלקסיביים, שכן תמיד a=a, c=c, a³ a, c³ c. יחד עם זאת, היחס של אי השוויון a>c הוא אנטי-רפלקסיבי בגלל חוסר האפשרות לקיומו של אי השוויון a>a. האקסיומה של מאפיין זה מקודדת על ידי סימנים: aRc®aRa Ù cRc, כאן הסמל ® פירושו המילה "מערבת" (או "מרמזת"), והסימן Ù - הוא האיחוד "ו" (או צירוף). מהצהרה זו נובע שאם השיפוט aRc נכון, גם הביטויים aRa ו-cRc נכונים.
סימטריה גוררת נוכחות של מערכת יחסים גם אם אובייקטים מנטליים מוחלפים, כלומר, עם קשר סימטרי, סידור מחדש של אובייקטים אינו מוביל לטרנספורמציה מהסוג "יחסים בינאריים". לדוגמה, הקשר של שוויון a=c הוא סימטרי בגלל השקילות של הקשר c=a; גם ההצעה a¹c זהה, מכיוון שהיא מתאימה לחיבור עם¹a.
קבוצה טרנזיטיבית היא תכונה שעונה על הדרישה הבאה: y н x, z н y ® z н x, כאשר ® הוא סימן המחליף את המילים: "אם …, אז …". הנוסחה נקראת מילולית כך: "אם y תלוי ב-x, z שייך ל-y, אז גם z תלוי ב-x".
