לימוד הפונקציות והגרפים שלהן הוא נושא שזוכה לתשומת לב מיוחדת במסגרת תכנית הלימודים בתיכון. כמה יסודות של ניתוח מתמטי - בידול - כלולים ברמת הפרופיל של הבחינה במתמטיקה. לחלק מתלמידי בית הספר יש בעיות עם הנושא הזה, מכיוון שהם מבלבלים בין הגרפים של הפונקציה והנגזרת, וגם שוכחים את האלגוריתמים. מאמר זה יכסה את סוגי המשימות העיקריות וכיצד לפתור אותן.
מהו ערך הפונקציה?
פונקציה מתמטית היא משוואה מיוחדת. זה יוצר קשר בין מספרים. הפונקציה תלויה בערך הארגומנט.
ערך הפונקציה מחושב לפי הנוסחה הנתונה. לשם כך, החלף כל ארגומנט התואם לטווח הערכים התקפים בנוסחה זו במקום x ובצע את הפעולות המתמטיות הדרושות. מה?
איך אתה יכול למצוא את הערך הקטן ביותר של פונקציה,משתמש בפונקציית גרף?
ייצוג גרפי של התלות של פונקציה בארגומנט נקרא גרף פונקציה. הוא בנוי על מישור עם קטע יחידה מסוים, כאשר הערך של משתנה או ארגומנט מצויר לאורך ציר האבססיס האופקי, וערך הפונקציה המקביל לאורך ציר האורדינאטה האנכית.
ככל שהערך של הטיעון גדול יותר, כך הוא נמצא יותר ימינה על הגרף. וככל שהערך של הפונקציה עצמה גדול יותר, כך הנקודה גבוהה יותר.
מה זה אומר? הערך הקטן ביותר של הפונקציה יהיה הנקודה שנמצאת הנמוכה ביותר בגרף. כדי למצוא אותו בקטע תרשים, אתה צריך:
1) מצא וסמן את הקצוות של קטע זה.
2) קבע חזותית איזו נקודה בקטע הזה נמצאת הנמוכה ביותר.
3) בתגובה, רשום את הערך המספרי שלו, אותו ניתן לקבוע על ידי הקרנת נקודה על ציר ה-y.
נקודות קיצון בתרשים הנגזרות. איפה לחפש?
עם זאת, כאשר פותרים בעיות, לפעמים ניתן גרף לא של פונקציה, אלא של נגזרת שלה. כדי למנוע טעות מטופשת בטעות, עדיף לקרוא היטב את התנאים, שכן זה תלוי איפה צריך לחפש נקודות קיצון.
אז, הנגזרת היא קצב הגידול המיידי של הפונקציה. לפי ההגדרה הגיאומטרית, הנגזרת מתאימה לשיפוע המשיק, הנמשך ישירות לנקודה הנתונה.
ידוע שבנקודות הקיצון המשיק מקביל לציר השור.המשמעות היא שהשיפוע שלו הוא 0.
מכאן נוכל להסיק שבנקודות הקיצון הנגזרת שוכנת על ציר ה-x או נעלמת. אך בנוסף, בנקודות אלו, הפונקציה משנה את כיוונה. כלומר, לאחר תקופה של עלייה היא מתחילה לרדת, והנגזרת, בהתאם, משתנה מחיובי לשלילי. או להיפך.
אם הנגזרת הופכת לשלילית מחיובית, זו נקודת המקסימום. אם משלילי הוא הופך חיובי - נקודת המינימום.
חשוב: אם אתה צריך לציין נקודת מינימום או מקסימום במשימה, אז בתגובה עליך לכתוב את הערך המתאים לאורך ציר האבשיסה. אבל אם אתה צריך למצוא את הערך של הפונקציה, תחילה עליך להחליף את הערך המתאים של הארגומנט לתוך הפונקציה ולחשב אותו.
איך למצוא נקודות קיצון באמצעות נגזרת?
הדוגמאות הנחשבות מתייחסות בעיקר למשימה מספר 7 של הבחינה, הכוללת עבודה עם גרף של נגזרת או אנטי נגזרת. אבל משימה 12 של ה-USE - למצוא את הערך הקטן ביותר של פונקציה בקטע (לעיתים הגדול ביותר) - מבוצעת ללא כל שרטוטים ודורשת מיומנויות בסיסיות בניתוח מתמטי.
כדי לבצע את זה, אתה צריך להיות מסוגל למצוא נקודות קיצון באמצעות הנגזרת. האלגוריתם למציאתם הוא כדלקמן:
- מצא את הנגזרת של פונקציה.
- הגדר אותו לאפס.
- מצא את השורשים של המשוואה.
- בדוק אם הנקודות שהתקבלו הן נקודות קיצון או נטייה.
כדי לעשות זאת, צייר תרשים והלאההמרווחים המתקבלים קובעים את הסימנים של הנגזרת על ידי החלפת המספרים השייכים למקטעים בנגזרת. אם, בעת פתרון המשוואה, קיבלת שורשים של ריבוי כפול, אלו הן נקודות פיתול.
יישום המשפטים, קבע אילו נקודות הן מינימום ואילו מקסימום
חשב את הערך הקטן ביותר של פונקציה באמצעות נגזרת
עם זאת, לאחר ביצוע כל הפעולות הללו, נמצא את הערכים של נקודות המינימום והמקסימום לאורך ציר ה-x. אבל איך למצוא את הערך הקטן ביותר של פונקציה בקטע?
מה צריך לעשות כדי למצוא את המספר שמתאים לפונקציה בנקודה מסוימת? עליך להחליף את הערך של הארגומנט בנוסחה הזו.
נקודות של מינימום ומקסימום מתאימות לערך הקטן והגדול ביותר של הפונקציה בקטע. לכן, כדי למצוא את הערך של הפונקציה, עליך לחשב את הפונקציה באמצעות ערכי x שהתקבלו.
חשוב! אם המשימה דורשת ממך לציין נקודת מינימום או מקסימום, אז בתגובה עליך לכתוב את הערך המתאים לאורך ציר ה-x. אבל אם אתה צריך למצוא את הערך של הפונקציה, תחילה עליך להחליף את הערך המתאים של הארגומנט לתוך הפונקציה ולבצע את הפעולות המתמטיות הדרושות.
מה עליי לעשות אם אין שפל בקטע הזה?
אבל איך למצוא את הערך הקטן ביותר של פונקציה בקטע ללא נקודות קיצון?
זה אומר שהפונקציה מונוטונית יורדת או גדלה עליה. אז אתה צריך להחליף את הערך של נקודות הקיצון של קטע זה לתוך הפונקציה. יש שתי דרכים.
1) לאחר חישובנגזרת והמרווחים שבהם היא חיובית או שלילית, כדי להסיק אם הפונקציה יורדת או גדלה בקטע נתון.
בהתאם אליהם, החלף ערך גדול או קטן יותר של הארגומנט בפונקציה.
2) פשוט החליפו את שתי הנקודות בפונקציה והשוו את ערכי הפונקציה המתקבלים.
באיזה משימות מציאת הנגזרת היא אופציונלית
ככלל, בהקצאות USE, אתה עדיין צריך למצוא את הנגזרת. יש רק כמה חריגים.
1) פרבולה.
קודקוד הפרבולה נמצא לפי הנוסחה.
אם < 0, אז הענפים של הפרבולה מכוונים כלפי מטה. והשיא שלו הוא הנקודה המקסימלית.
אם > 0, אז הענפים של הפרבולה מכוונים כלפי מעלה, הקודקוד הוא נקודת המינימום.
לאחר חישוב נקודת הקודקוד של הפרבולה, עליך להחליף את ערכה בפונקציה ולחשב את הערך המתאים של הפונקציה.
2) פונקציה y=tg x. או y=ctg x.
פונקציות אלו גדלות באופן מונוטוני. לכן, ככל שהערך של הארגומנט גדול יותר, כך גדל הערך של הפונקציה עצמה. לאחר מכן, נבחן כיצד למצוא את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה בקטע עם דוגמאות.
סוגים עיקריים של משימות
משימה: הערך הגדול או הקטן ביותר של הפונקציה. דוגמה בתרשים.
בתמונה רואים את הגרף של הנגזרת של הפונקציה f (x) על המרווח [-6; 6]. באיזו נקודה של הקטע [-3; 3] f(x) לוקח את הערך הקטן ביותר?
אז, בתור התחלה, עליך לבחור את הפלח שצוין. על זה, הפונקציה לוקחת פעם אחת ערך אפס ומשנה את הסימן שלה - זו נקודת הקיצון. מכיוון שהנגזרת משלילי הופכת לחיובית, זה אומר שזו נקודת המינימום של הפונקציה. נקודה זו מתאימה לערך של הארגומנט 2.
תשובה: 2.
המשך להסתכל על דוגמאות. משימה: מצא את הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה בקטע.
מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה y=(x - 8) ex-7 במרווח [6; 8].
1. קח את הנגזרת של פונקציה מורכבת.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. השוו את הנגזרת המתקבלת לאפס ופתרו את המשוואה.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, או ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, ללא שורשים
3. החלף את הערך של נקודות הקיצון לתוך הפונקציה, כמו גם את השורשים המתקבלים של המשוואה.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
תשובה: -1.
לכן, במאמר זה, נשקללה התיאוריה העיקרית כיצד למצוא את הערך הקטן ביותר של פונקציה בקטע, הנחוץ לפתרון מוצלח של משימות USE במתמטיקה מיוחדת. גם אלמנטים של מתמטינעשה שימוש בניתוח בעת פתרון משימות מחלק ג' של הבחינה, אך ברור שהם מייצגים רמת מורכבות שונה, ואת האלגוריתמים לפתרונות שלהם קשה להשתלב במסגרת של חומר אחד.
