במתמטיקה, הלוגריתם הוא היפוך של הפונקציה המעריכית. זה אומר שהלוגריתם של lg הוא החזקה שאליה יש להעלות את המספר b כדי לקבל x כתוצאה מכך. במקרה הפשוט ביותר, הוא לוקח בחשבון את הכפל החוזר של אותו ערך.
שקול דוגמה ספציפית:
1000=10 × 10 × 10=103
במקרה זה, זהו לוגריתם הבסיס עשר של lg. זה שווה לשלוש.
lg101000=3
באופן כללי, הביטוי ייראה כך:
lgbx=a
אקספונציה מאפשרת להגדיל כל מספר אמיתי חיובי לכל ערך ממשי. התוצאה תמיד תהיה גדולה מאפס. לכן, הלוגריתם של כל שני מספרים ממשיים חיוביים b ו-x, כאשר b אינו שווה ל-1, הוא תמיד מספר ממשי ייחודי a. יתר על כן, הוא מגדיר את היחס בין אקספונציה ללוגריתם:
lgbx=a if ba=x.
היסטוריה
ההיסטוריה של הלוגריתם (lg) מקורה באירופה במאה השבע-עשרה. זוהי הפתיחה של תכונה חדשההרחיב את היקף הניתוח מעבר לשיטות אלגבריות. שיטת הלוגריתמים הוצעה בפומבי על ידי ג'ון נאפייר בשנת 1614 בספר בשם Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ("תיאור הכללים המדהימים של הלוגריתמים"). לפני המצאת המדען, היו שיטות אחרות בתחומים דומים, כמו שימוש בטבלאות התקדמות שפותח על ידי Jost Bürggi בסביבות 1600.
הלוגריתם העשרוני lg הוא הלוגריתם עם בסיס עשר. בפעם הראשונה, נעשה שימוש בלוגריתמים אמיתיים עם היוריסטיקה כדי להמיר כפל לחיבור, מה שמקל על חישוב מהיר. חלק מהשיטות הללו השתמשו בטבלאות שנגזרו מזהויות טריגונומטריות.
גילוי הפונקציה הידועה כיום בשם הלוגריתם (lg) מיוחסת לגרגורי דה סנט וינסנט, בלגי המתגורר בפראג, המנסה לבצע ריבוע של היפרבולה מלבנית.
השתמש
לוגריתמים משמשים לעתים קרובות מחוץ למתמטיקה. חלק מהמקרים הללו קשורים לרעיון של אינווריאציה בקנה מידה. לדוגמה, כל חדר של קונכיית הנאוטילוס הוא עותק משוער של הבא, מוקטן או מוגדל במספר מסוים של פעמים. זה נקרא ספירלה לוגריתמית.
מימדים של גיאומטריות מתוצרת עצמית, שחלקים מהם נראים דומים למוצר הסופי, מבוססים גם הם על לוגריתמים. סולמות לוגריתמיים שימושיים לכימות שינוי יחסיערכים. יתרה מכך, מכיוון שהפונקציה logbx גדלה באיטיות רבה ב-x גדול, סולמות לוגריתמיים משמשים לדחיסת נתונים מדעיים בקנה מידה גדול. לוגריתמים מופיעים גם בנוסחאות מדעיות רבות כמו משוואת פנסקה או משוואת נרנסט.
חישוב
ניתן לחשב לוגריתמים מסוימים בקלות, למשל log101000=3. באופן כללי, ניתן לחשב אותם באמצעות סדרות חזקות או הממוצע האריתמטי-גיאומטרי, או לחלץ מתוך לוגריתמים טבלה מחושבים מראש, בעלת דיוק גבוה.
ניתן להשתמש בשיטה האיטרטיבית של ניוטון לפתרון משוואות גם כדי למצוא את הערך של הלוגריתם. מכיוון שהפונקציה ההפוכה עבור הלוגריתמית היא מעריכית, תהליך החישוב מפושט מאוד.
