חוק שימור המומנטום והתנע הזוויתי: דוגמה לפתרון הבעיה

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-02 17:47

כאשר אתה צריך לפתור בעיות בפיזיקה על תנועת עצמים, לעתים קרובות מתברר כי שימושי ליישם את חוק שימור המומנטום. מהו המומנטום לתנועה הליניארית והמעגלית של הגוף, ומהי מהות חוק שימור הערך הזה, נדון במאמר.

המושג של מומנטום ליניארי

נתונים היסטוריים מראים שלראשונה ערך זה נחשב בעבודותיו המדעיות על ידי גלילאו גליליי בתחילת המאה ה-17. לאחר מכן, אייזק ניוטון הצליח לשלב בצורה הרמונית את מושג המומנטום (שם נכון יותר לתנע) בתיאוריה הקלאסית של תנועת עצמים במרחב.

סמן את המומנטום כ-p¯, ואז הנוסחה לחישוב שלה תיכתב כך:

p¯=mv¯.

כאן m היא המסה, v¯ היא המהירות (ערך וקטור) של התנועה. שוויון זה מראה שכמות התנועה היא המהירות האופיינית לעצם, כאשר המסה ממלאת את התפקיד של גורם הכפל. מספר תנועההיא כמות וקטורית הפונה לאותו כיוון של המהירות.

אינטואיטיבית, ככל שמהירות התנועה ומסת הגוף גדולים יותר, כך קשה יותר לעצור אותו, כלומר, האנרגיה הקינטית שלו גדולה יותר.

כמות התנועה והשינוי שלה

אתם יכולים לנחש שכדי לשנות את ערך ה-p¯ של הגוף, עליכם להפעיל קצת כוח. תן לכוח F¯ לפעול במהלך מרווח הזמן Δt, ואז חוק ניוטון מאפשר לנו לכתוב את השוויון:

F¯Δt=ma¯Δt; לכן F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.

הערך השווה למכפלת מרווח הזמן Δt והכוח F¯ נקרא הדחף של כוח זה. מכיוון שמתברר שהוא שווה לשינוי במומנטום, האחרון נקרא לעתים קרובות פשוט מומנטום, מה שמרמז שכוח חיצוני כלשהו F¯ יצר אותו.

לכן, הסיבה לשינוי המומנטום היא המומנטום של הכוח החיצוני. הערך של Δp¯ יכול להוביל הן לעלייה בערך של p¯ אם הזווית בין F¯ ל-p¯ חדה, והן לירידה במודול של p¯ אם זווית זו קהה. המקרים הפשוטים ביותר הם תאוצת הגוף (הזווית בין F¯ ו-p¯ היא אפס) וההאטה שלו (הזווית בין הוקטורים F¯ ו-p¯ היא 180o).

כאשר המומנטום נשמר: חוק

אם מערכת הגוף לאכוחות חיצוניים פועלים, וכל התהליכים בו מוגבלים רק על ידי האינטראקציה המכנית של מרכיביו, ואז כל מרכיב של המומנטום נשאר ללא שינוי במשך זמן רב באופן שרירותי. זהו חוק שימור המומנטום של גופים, שנכתב באופן מתמטי כך:

p¯=∑_ip_{i¯=const or}

∑_ip_ix=const; ∑_ip_iy=const; ∑_ip_iz=const.

הכתב התתי i הוא מספר שלם המונה את אובייקט המערכת, והמדדים x, y, z מתארים את מרכיבי התנע עבור כל אחד מצירי הקואורדינטות במערכת המלבנית הקרטזית.

בפועל יש צורך פעמים רבות לפתור בעיות חד-ממדיות להתנגשות גופים, כאשר התנאים ההתחלתיים ידועים, ויש צורך לקבוע את מצב המערכת לאחר הפגיעה. במקרה זה, המומנטום נשמר תמיד, מה שלא ניתן לומר על אנרגיה קינטית. האחרון לפני ואחרי ההשפעה ישתנה רק במקרה בודד: כאשר יש אינטראקציה אלסטית לחלוטין. במקרה זה של התנגשות של שני גופים הנעים במהירויות v₁ ו-v_{2, נוסחת שימור המומנטום תהיה בצורה:}

m₁ v₁ + m₂ v ₂=m₁ u₁ + m₂ u 2_.

כאן, המהירויות u₁ ו-u_{2 מאפיינות את תנועת הגופים לאחר הפגיעה. שימו לב שבצורה זו של חוק השימור, יש צורך לקחת בחשבון את סימן המהירויות: אם הן מכוונות זו לזו, אז יש לקחת אחת מהן.חיובי והשני שלילי.}

להתנגשות לא גמישה לחלוטין (שני גופים נצמדים זה לזה לאחר הפגיעה), לחוק שימור המומנטום יש את הצורה:

m₁ v₁ + m₂ v ₂=(m₁+ m_2)u.

פתרון הבעיה על חוק השימור של p¯

בוא נפתור את הבעיה הבאה: שני כדורים מתגלגלים אחד לעבר השני. מסות הכדורים זהות, ומהירויות שלהם הן 5 מ"ש ו-3 מ"ש. בהנחה שיש התנגשות אלסטית לחלוטין, יש צורך למצוא את המהירויות של הכדורים אחריה.

באמצעות חוק שימור המומנטום עבור המקרה החד-ממדי, ובהתחשב בכך שהאנרגיה הקינטית נשמרת לאחר הפגיעה, אנו כותבים:

v_{1 -} v₂=u₁ + u _2;

v₁² + v₂^2=u12 ^{+ u}22^.

כאן צמצמנו מיד את מסת הכדורים עקב שוויוןם, וגם לקחנו בחשבון את העובדה שהגופים נעים זה לקראת זה.

קל יותר להמשיך לפתור את המערכת אם תחליף נתונים ידועים. אנחנו מקבלים:

5 - 3 - u₂=u_1;

5²+ 3²=u₁²+ u₂^2.

החלפת u_{1 במשוואה השנייה, נקבל:}

2 - u₂=u_1;

34=(2 - u₂)²+u₂ 2^{=4 - 4u}2 _{+ 2u}22^{; לָכֵן,u}22^{- 2u}2 _{- 15=0.}

קיבלנו את המשוואה הריבועית הקלאסית. אנחנו פותרים את זה באמצעות המבחין, אנחנו מקבלים:

D=4 - 4(-15)=64.

u_{2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.}

יש לנו שני פתרונות. אם נחליף אותם בביטוי הראשון ונגדיר את u₁, נקבל את הערך הבא: u₁=-3 m/s, u ₂=5 m/s; u₁=5 m/s, u_{2=-3 m/s. צמד המספרים השני ניתן במצב הבעיה, כך שהוא אינו תואם את ההתפלגות האמיתית של המהירויות לאחר הפגיעה.}

לכן, נותר רק פתרון אחד: u₁=-3 m/s, u_{2=5 m/s. תוצאה מוזרה זו פירושה שבהתנגשות אלסטית מרכזית, שני כדורים בעלי מסה שווה פשוט מחליפים את המהירויות שלהם.}

רגע של מומנטום

כל מה שנאמר למעלה מתייחס לסוג התנועה הליניארי. עם זאת, מסתבר שניתן להכניס כמויות דומות גם במקרה של תזוזה מעגלית של גופים סביב ציר מסוים. התנע הזוויתי, הנקרא גם תנע זוויתי, מחושב כמכפלת הווקטור המחבר את נקודת החומר עם ציר הסיבוב והתנע של נקודה זו. כלומר, הנוסחה מתקיימת:

L¯=r¯p¯, כאשר p¯=mv¯.

מומנטום, כמו p¯, הוא וקטור שמכוון בניצב למישור הבנוי על הוקטורים r¯ ו-p¯.

הערך של L¯ הוא מאפיין חשוב של מערכת מסתובבת, שכן הוא קובע את האנרגיה שנאגרת בה.

רגע של מומנטום וחוק שימור

התנע הזוויתי נשמר אם לא פועלים על המערכת כוחות חיצוניים (בדרך כלל אומרים שאין רגע של כוחות). ניתן לכתוב את הביטוי בפסקה הקודמת, באמצעות טרנספורמציות פשוטות, בצורה נוחה יותר לתרגול:

L¯=Iω¯, כאשר I=mr2 הוא מומנט האינרציה של נקודת החומר, ω¯ היא המהירות הזוויתית.

למומנט האינרציה I, שהופיע בביטוי, יש בדיוק את אותה משמעות לסיבוב כמו המסה הרגילה לתנועה לינארית.

אם יש סידור פנימי כלשהו של המערכת, שבה אני משתנה, אז גם ω¯ לא נשאר קבוע. יתרה מכך, השינוי בשתי הכמויות הפיזיקליות מתרחש באופן שהשוויון שלהלן נשאר בתוקף: