השיטה האקסיומטית היא דרך לבנות תיאוריות מדעיות שכבר מבוססות. הוא מבוסס על טיעונים, עובדות, הצהרות שאינן דורשות הוכחה או הפרכה. למעשה, גרסה זו של ידע מוצגת בצורה של מבנה דדוקטיבי, הכולל בתחילה ביסוס לוגי של התוכן מהיסודות - אקסיומות.
שיטה זו לא יכולה להיות תגלית, אלא היא רק מושג מסווג. זה מתאים יותר להוראה. הבסיס מכיל את ההוראות הראשוניות, ושאר המידע מגיע כתוצאה הגיונית. היכן השיטה האקסיומטית לבניית תיאוריה? הוא נמצא בבסיס רוב המדעים המודרניים והמבוססים.
היווצרות ופיתוח מושג השיטה האקסיומטית, הגדרת המילה
קודם כל, המושג הזה עלה ביוון העתיקה הודות לאוקלידס. הוא הפך למייסד השיטה האקסיומטית בגיאומטריה. היום זה נפוץ בכל המדעים, אבל בעיקר במתמטיקה. שיטה זו נוצרת על בסיס הצהרות מבוססות, והתיאוריות הבאות נגזרות על ידי בנייה לוגית.
זה מוסבר באופן הבא: יש מילים ומושגים שמוגדר על ידי מונחים אחרים. כתוצאה מכך הגיעו החוקרים למסקנה שישנן מסקנות אלמנטריות שהן מוצדקות והן קבועות – בסיסיות, כלומר אקסיומות. לדוגמה, כאשר מוכיחים משפט, הם מסתמכים בדרך כלל על עובדות שכבר מבוססות היטב ואינן דורשות הפרכה.
עם זאת, לפני כן, הם היו צריכים לקבל ביסוס. תוך כדי כך מתברר שאמירה לא מנומקת נלקחת כאקסיומה. בהתבסס על קבוצה של מושגים קבועים, משפטים אחרים מוכחים. הם מהווים את הבסיס לפלנימטריה והם המבנה הלוגי של הגיאומטריה. האקסיומות שנקבעו במדע זה מוגדרות כאובייקטים מכל טבע. הם, בתורם, בעלי מאפיינים המצוינים במושגים קבועים.
חקירה נוספת של האקסיומות
השיטה נחשבה לאידיאלית עד המאה התשע-עשרה. האמצעים ההגיוניים לחיפוש מושגי יסוד לא נחקרו באותם ימים, אך במערכת האוקלידס אפשר להתבונן במבנה של השגת השלכות משמעותיות מהשיטה האקסיומטית. המחקר של המדען הראה את הרעיון כיצד להשיג מערכת שלמה של ידע גיאומטרי המבוססת על נתיב דדוקטיבי בלבד. הוצע להם מספר קטן יחסית של אקסיומות מוצהרות שהן נכונות באופן מוכח.
כשרון של מוחות יוונים עתיקים
אוקלידס הוכיח מושגים רבים, וחלקם היו מוצדקים. עם זאת, הרוב מייחס את היתרונות הללו לפיתגורס, דמוקריטוס והיפוקראטס. האחרון הרכיב קורס שלם של גיאומטריה. נכון, מאוחר יותר באלכסנדריה יצאאוסף "התחלה", מחברו היה אוקלידס. לאחר מכן, שמו שונה ל"גיאומטריה יסודית". לאחר זמן מה, הם החלו לבקר אותו על סמך כמה סיבות:
- כל הערכים נבנו רק עם סרגל ומצפן;
- גיאומטריה ואריתמטיקה הופרדו והוכחו עם מספרים ומושגים תקפים;
- אקסיומות, חלק מהן, בפרט, ההנחה החמישית, הוצעו למחוק מהרשימה הכללית.
כתוצאה מכך, גיאומטריה לא אוקלידית מופיעה במאה ה-19, שבה אין הנחה אמיתית אובייקטיבית. פעולה זו נתנה תנופה להמשך הפיתוח של המערכת הגיאומטרית. כך, חוקרים מתמטיים הגיעו לשיטות בנייה דדוקטיביות.
פיתוח ידע מתמטי המבוסס על אקסיומות
כאשר החלה להתפתח מערכת חדשה של גיאומטריה, גם השיטה האקסיומטית השתנתה. במתמטיקה, הם החלו לפנות לעתים קרובות יותר לבניית תיאוריה דדוקטיבית גרידא. כתוצאה מכך, נוצרה מערכת שלמה של הוכחות בלוגיקה מספרית מודרנית, שהיא החלק העיקרי של כל המדע. במבנה המתמטי החלו להבין את הצורך בהצדקה.
כך, עד סוף המאה, נוצרו משימות ברורות ובניית מושגים מורכבים, אשר ממשפט מורכב הצטמצמו לאמירה הלוגית הפשוטה ביותר. לפיכך, גיאומטריה לא אוקלידית עוררה בסיס איתן להמשך קיומה של השיטה האקסיומטית, כמו גם לפתרון בעיות בעלות אופי כללי.מבנים מתמטיים:
- consistency;
- fullness;
- עצמאות.
בתוך התהליך, צמחה שיטת פרשנות שפותחה בהצלחה. שיטה זו מתוארת כך: עבור כל מושג פלט בתיאוריה, נקבע אובייקט מתמטי, שכולו נקרא שדה. ההצהרה לגבי האלמנטים שצוינו יכולה להיות שקר או אמת. כתוצאה מכך, הצהרות זוכות לשמות בהתאם למסקנות.
תכונות של תורת הפרשנות
ככלל, השדה והמאפיינים נחשבים גם במערכת המתמטית, והיא, בתורה, יכולה להפוך לאקסיומטית. הפרשנות מוכיחה אמירות שיש בהן עקביות יחסית. אפשרות נוספת היא מספר עובדות שבהן התיאוריה הופכת לסותרת.
למעשה, התנאי מתקיים במקרים מסוימים. כתוצאה מכך, מסתבר שאם יש שני מושגים שגויים או נכונים בהצהרות של אחת ההיגדים, אז זה נחשב שלילי או חיובי. שיטה זו שימשה כדי להוכיח את עקביות הגיאומטריה של אוקלידס. באמצעות השיטה הפרשנית ניתן לפתור את שאלת עצמאותן של מערכות אקסיומות. אם אתה צריך להפריך תיאוריה כלשהי, אז די להוכיח שאחד המושגים אינו נגזר מהשני והוא שגוי.
עם זאת, לצד הצהרות מוצלחות, לשיטה יש גם חולשות. עקביות ועצמאות של מערכות אקסיומות נפתרות כשאלות שמקבלות תוצאות יחסיות. ההישג החשוב היחיד של הפרשנות הואגילוי תפקידה של האריתמטיקה כמבנה שבו מצטמצמת שאלת העקביות למספר מדעים אחרים.
פיתוח מודרני של מתמטיקה אקסיומטית
השיטה האקסיומטית החלה להתפתח בעבודתו של גילברט. בבית ספרו הובהר עצם המושג תיאוריה ומערכת פורמלית. כתוצאה מכך, נוצרה מערכת כללית, ואובייקטים מתמטיים הפכו מדויקים. בנוסף, ניתן היה לפתור את סוגיות ההצדקה. לפיכך, מערכת פורמלית נבנית על ידי מחלקה מדויקת, המכילה תת-מערכות של נוסחאות ומשפטים.
כדי לבנות את המבנה הזה, אתה רק צריך להיות מודרך על ידי נוחות טכנית, כי אין להם עומס סמנטי. ניתן לרשום עליהם סימנים, סמלים. כלומר, למעשה, המערכת עצמה בנויה בצורה כזו שניתן ליישם את התיאוריה הפורמלית בצורה נאותה ומלאה.
כתוצאה מכך, מטרה או משימה מתמטית ספציפית נוצקת לתיאוריה המבוססת על תוכן עובדתי או נימוק דדוקטיבי. שפת המדע הנומרי מועברת למערכת פורמלית, תוך כדי כך כל ביטוי קונקרטי ומשמעותי נקבע על ידי הנוסחה.
שיטת פורמליזציה
במצב הטבעי, שיטה כזו תוכל לפתור סוגיות גלובליות כמו עקביות, וכן לבנות מהות חיובית של תיאוריות מתמטיות לפי הנוסחאות הנגזרות. ובעצם כל זה ייפתר על ידי מערכת פורמלית המבוססת על הצהרות מוכחות. תיאוריות מתמטיות היו מסובכות כל הזמן על ידי הצדקות, וגילברט הציע לחקור מבנה זה באמצעות שיטות סופיות. אבל התוכנית הזו נכשלה. תוצאותיו של גדל כבר במאה העשרים הובילו למסקנות הבאות:
- עקביות טבעית בלתי אפשרית בשל העובדה שחשבון רשמי או מדע דומה אחר ממערכת זו לא יהיה שלם;
- נוסחאות בלתי פתירות הופיעו;
- טענות אינן ניתנות להוכחה.
שיפוטים אמיתיים וגימור סופי סביר נחשבים ניתנים לפורמליזציה. מתוך מחשבה על כך, לשיטה האקסיומטית יש גבולות ואפשרויות מסוימות וברורות בתוך תיאוריה זו.
תוצאות של התפתחות אקסיומות בעבודותיהם של מתמטיקאים
למרות העובדה שכמה פסקי דין הופרכו ולא פותחו כראוי, לשיטת המושגים הקבועים יש תפקיד משמעותי בעיצוב היסודות של המתמטיקה. בנוסף, הפרשנות והשיטה האקסיומטית במדע חשפו את התוצאות הבסיסיות של הצהרות והשערות של עקביות, חוסר תלות בבחירה בתיאוריה מרובה.
בטיפול בסוגיית העקביות, העיקר ליישם לא רק מושגים מבוססים. יש להשלים אותם גם עם רעיונות, מושגים ואמצעים לגימור סופי. במקרה זה, נשקלות השקפות שונות, שיטות, תיאוריות, אשר צריכות לקחת בחשבון את המשמעות וההצדקה ההגיונית.
העקביות של המערכת הפורמלית מצביעה על גימור דומה של חשבון, המבוסס על אינדוקציה, ספירה, מספר טרנססופי. בתחום המדעי, האקסיומציה היא החשובה ביותרכלי שיש לו מושגים והצהרות בלתי ניתנות להפרכה שנלקחים כבסיס.
מהות ההצהרות הראשוניות ותפקידן בתיאוריות
הערכה של שיטה אקסיומטית מצביעה על כך שמבנה כלשהו טמון במהותו. מערכת זו בנויה מזיהוי המושג הבסיסי והצהרות יסוד שאינן מוגדרות. אותו דבר קורה עם משפטים שנחשבים מקוריים ומתקבלים ללא הוכחה. במדעי הטבע, הצהרות כאלה נתמכות על ידי כללים, הנחות, חוקים.
אז מתרחש תהליך תיקון בסיסי ההיגיון שנקבעו. ככלל, מיד מצוין כי מושך אחר מעמדה אחת, ותוך כדי כך יוצאים השאר, שבעצם עולים בקנה אחד עם השיטה הדדוקטיבית.
תכונות המערכת בעידן המודרני
המערכת האקסיומטית כוללת:
- מסקנות לוגיות;
- מונחים והגדרות;
- הצהרות ומושגים שגויים חלקית.
במדע המודרני, שיטה זו איבדה את המופשטות שלה. אקסיומטיזציה גיאומטרית אוקלידית התבססה על הצעות אינטואיטיביות ואמיתיות. והתיאוריה פורשה בצורה ייחודית, טבעית. כיום, אקסיומה היא הוראה ברורה בפני עצמה, והסכם, וכל הסכם, יכולים לשמש מושג ראשוני שאינו מצריך הצדקה. כתוצאה מכך, הערכים המקוריים עשויים להיות רחוקים מלהיות תיאוריים. שיטה זו דורשת יצירתיות, ידע במערכות יחסים ותיאוריה הבסיסית.
עקרונות בסיסיים להסקת מסקנות
שיטה אקסיומטית דדוקטיבית היא ידע מדעי, שנבנה על פי סכמה מסוימת, המבוססת על השערות ממומשות כהלכה, המוציאה הצהרות על עובדות אמפיריות. מסקנה כזו נבנית על בסיס מבנים לוגיים, על ידי גזירה קשה. אקסיומות הן תחילה הצהרות בלתי ניתנות להפרכה שאינן דורשות הוכחה.
במהלך ניכוי, דרישות מסוימות מוחלות על המושגים הראשוניים: עקביות, שלמות, עצמאות. כפי שמראה בפועל, התנאי הראשון מבוסס על ידע לוגי פורמלי. כלומר, לתיאוריה לא צריך להיות משמעויות של אמת ושקר, כי לא יהיו לה יותר משמעות וערך.
אם תנאי זה לא מתקיים, אז הוא נחשב בלתי תואם וכל משמעות אובדת בו, כי העומס הסמנטי בין אמת לשקר אובד. באופן דדוקטיבי, השיטה האקסיומטית היא דרך לבנות ולבסס ידע מדעי.
יישום מעשי של השיטה
לשיטה האקסיומטית לבניית ידע מדעי יש יישום מעשי. למעשה, דרך זו משפיעה ויש לה משמעות עולמית למתמטיקה, אם כי ידע זה כבר הגיע לשיאו. דוגמאות לשיטה האקסיומטית הן כדלקמן:
- למטוסים affine יש שלוש הצהרות והגדרה;
- לתאוריית השקילות יש שלוש הוכחות;
- יחסים בינאריים מחולקים למערכת של הגדרות, מושגים ותרגילים נוספים.
אם אתה רוצה לנסח את המשמעות המקורית, עליך לדעת את טיבם של קבוצות ואלמנטים. בעצם, השיטה האקסיומטית היוותה את הבסיס לתחומי מדע שונים.
