פיזיקה ומתמטיקה לא יכולות להסתדר בלי המושג "כמות וקטורית". זה חייב להיות ידוע ומוכר, כמו גם להיות מסוגל לפעול איתו. אתה בהחלט צריך ללמוד את זה כדי לא להתבלבל ולא לעשות טעויות מטופשות.
איך להבחין בין ערך סקלרי לכמות וקטורית?
לראשון תמיד יש רק מאפיין אחד. זה הערך המספרי שלו. רוב הסקלרים יכולים לקבל ערכים חיוביים ושליליים כאחד. דוגמאות לכך הן מטען חשמלי, עבודה או טמפרטורה. אבל יש סקלרים שלא יכולים להיות שליליים, כמו אורך ומסה.
כמות וקטורית, בנוסף לכמות מספרית, הנלקחת תמיד מודולו, מאופיינת גם בכיוון. לכן, ניתן לתאר אותו בצורה גרפית, כלומר בצורת חץ שאורכו שווה למודול הערך המכוון לכיוון מסוים.
בעת הכתיבה, כל כמות וקטורית מסומנת באמצעות סימן חץ על האות. אם אנחנו מדברים על ערך מספרי, אז החץ לא נכתב או שהוא נלקח modulo.
מהן הפעולות הנפוצות ביותר המבוצעות עם וקטורים?
ראשית, השוואה. הם עשויים להיות שווים או לא. במקרה הראשון, המודולים שלהם זהים. אבל זה לא התנאי היחיד. הם חייבים להיות גם אותם כיוונים או מנוגדים. במקרה הראשון, יש לקרוא להם וקטורים שווים. בשני, הם הפוכים. אם לפחות אחד מהתנאים שצוינו לא מתקיים, הווקטורים אינם שווים.
ואז מגיעה התוספת. ניתן לעשות זאת על פי שני כללים: משולש או מקבילית. הראשון קובע לדחות ראשון וקטור אחד, ואז מהקצה השני שלו. התוצאה של התוספת תהיה זו שצריך להגרר מתחילת הראשון עד סוף השני.
ניתן להשתמש בכלל המקבילית כשצריך להוסיף כמויות וקטוריות בפיזיקה. בניגוד לכלל הראשון, כאן יש לדחות אותם מנקודה אחת. לאחר מכן בנה אותם למקבילית. התוצאה של הפעולה צריכה להיחשב כאלכסון של המקבילית המצוירת מאותה נקודה.
אם כמות וקטור מופחתת מאחרת, אז הם שוב משורטטים מנקודה אחת. רק התוצאה תהיה וקטור שתתאים לזה מסוף השני לסוף הראשון.
אילו וקטורים נלמדים בפיזיקה?
יש הרבה כמו שיש סקלרים. אתה יכול פשוט לזכור אילו כמויות וקטוריות קיימות בפיזיקה. או לדעת את הסימנים לפיהם ניתן לחשב אותם. למי שמעדיף את האפשרות הראשונה, שולחן כזה יועיל. הוא מכיל את הכמויות הפיזיקליות הווקטוריות העיקריות.
| ייעוד בנוסחה | שם |
| v | speed |
| r | move |
| a | acceleration |
| F | strength |
| r | impulse |
| E | חוזק שדה חשמלי |
| B | אינדוקציה מגנטית |
| M | רגע של כוח |
עכשיו קצת יותר על חלק מהכמויות האלה.
הערך הראשון הוא speed
כדאי להתחיל לתת ממנו דוגמאות לכמויות וקטוריות. זאת בשל העובדה שהוא נלמד בין הראשונים.
מהירות מוגדרת כמאפיין של תנועת הגוף במרחב. הוא מציין ערך מספרי וכיוון. לכן, מהירות היא כמות וקטורית. בנוסף, נהוג לחלק אותו לסוגים. הראשון הוא מהירות ליניארית. זה מוצג כאשר בוחנים תנועה אחידה ישר. יחד עם זאת, מסתבר שהוא שווה ליחס בין הנתיב שעבר הגוף לזמן התנועה.
ניתן להשתמש באותה נוסחה לתנועה לא אחידה. רק אז זה יהיה ממוצע. יתרה מכך, מרווח הזמן שייבחר חייב להיות קצר ככל האפשר. כאשר מרווח הזמן שואף לאפס, ערך המהירות כבר מיידי.
אם נחשבת תנועה שרירותית, אז כאן המהירות היא תמיד כמות וקטורית. אחרי הכל, יש לפרק אותו לרכיבים המכוונים לאורך כל וקטור המכוון את קווי הקואורדינטות. בנוסף, הוא מוגדר כנגזרת של וקטור הרדיוס, נלקח ביחס לזמן.
הערך השני הוא חוזק
זה קובע את מידת עוצמת ההשפעה המופעלת על הגוף על ידי גופים או שדות אחרים. מכיוון שכוח הוא גודל וקטור, יש לו בהכרח ערך וכיוון מודולו משלו. מכיוון שהוא פועל על הגוף, חשובה גם הנקודה אליה מופעל הכוח. כדי לקבל מושג חזותי של וקטורי הכוח, אתה יכול לעיין בטבלה הבאה.
| Power | נקודת הבקשה | Direction |
| gravity | מרכז הגוף | למרכז כדור הארץ |
| gravity | מרכז הגוף | למרכז גוף אחר |
| elasticity | נקודת מגע בין גופים המקיימים אינטראקציה | נגד השפעה מבחוץ |
| friction | בין משטחים נוגעים | בכיוון ההפוך לתנועה |
כמו כן, הכוח הנוצר הוא גם כמות וקטורית. הוא מוגדר כסכום כל הכוחות המכניים הפועלים על הגוף. כדי לקבוע זאת, יש צורך לבצע חיבור על פי העיקרון של כלל המשולש. רק אתה צריך לדחות את הוקטורים בתורם מהסוף של הקודם. התוצאה תהיה זו שתחבר את תחילתו של הראשון לסוף האחרון.
ערך שלישי - תזוזה
במהלך התנועה, הגוף מתאר קו מסוים. זה נקרא מסלול. הקו הזה יכול להיות שונה לחלוטין. חשוב יותר לא המראה שלו, אלא נקודות ההתחלה והסוף של התנועה. הם מתחבריםקטע, אשר נקרא תזוזה. זו גם כמות וקטורית. יתרה מכך, הוא תמיד מכוון מתחילת התנועה עד לנקודה שבה התנועה הופסקה. נהוג לייעד אותו באות הלטינית r.
כאן עשויה להופיע השאלה: "האם הנתיב הוא כמות וקטורית?". באופן כללי, אמירה זו אינה נכונה. השביל שווה לאורך המסלול ואין לו כיוון מוגדר. יוצא דופן הוא המצב שבו נשקלת תנועה ישר בכיוון אחד. ואז המודולוס של וקטור התזוזה עולה בקנה אחד עם הנתיב, והכיוון שלהם מתברר זהה. לכן, כאשר בוחנים תנועה לאורך קו ישר מבלי לשנות את כיוון התנועה, ניתן לכלול את הנתיב בדוגמאות של כמויות וקטוריות.
הערך הרביעי הוא האצה
זה מאפיין של קצב השינוי של המהירות. יתר על כן, להאצה יכולים להיות ערכים חיוביים ושליליים כאחד. בתנועה ישר, הוא מכוון לכיוון של מהירות גבוהה יותר. אם התנועה מתרחשת לאורך מסלול עקום, אזי וקטור התאוצה שלו מפורק לשני מרכיבים, שאחד מהם מכוון למרכז העקמומיות לאורך הרדיוס.
הפרד את הערך הממוצע והמידי של התאוצה. יש לחשב את הראשון כיחס בין השינוי במהירות על פני פרק זמן מסוים לזמן זה. כאשר מרווח הזמן הנחשב שואף לאפס, מדברים על האצה מיידית.
הגודל החמישי הוא מומנטום
זה שונהנקרא גם מומנטום. מומנטום הוא גודל וקטור בשל העובדה שהוא קשור ישירות למהירות ולכוח המופעלים על הגוף. לשניהם יש כיוון והם נותנים אותו למומנטום.
בהגדרה, האחרון שווה למכפלת מסת הגוף והמהירות. באמצעות מושג התנע של גוף, אפשר לכתוב את חוק ניוטון הידוע בצורה אחרת. מסתבר שהשינוי במומנטום שווה למכפלת הכוח והזמן.
בפיזיקה, חוק שימור התנע ממלא תפקיד חשוב, הקובע שבמערכת סגורה של גופים התנע הכולל שלו קבוע.
רשמנו בקצרה מאוד אילו כמויות (וקטור) נחקרות במהלך הפיזיקה.
בעיית השפעה לא אלסטית
מצב. יש במה קבועה על המסילה. מכונית מתקרבת אליו במהירות של 4 מ ש. מסות הרציף והעגלה הן 10 ו-40 טון, בהתאמה. המכונית פוגעת ברציף, מצמד אוטומטי מתרחש. יש צורך לחשב את מהירות מערכת העגלה-פלטפורמה לאחר הפגיעה.
החלטה. ראשית, עליך להזין את הסימון: מהירות המכונית לפני הפגיעה - v1, המכונית עם הרציף לאחר הצימוד - v, משקל המכונית m 1, הפלטפורמה - m 2. לפי מצב הבעיה, יש צורך לברר את ערך המהירות v.
הכללים לפתרון משימות כאלה דורשים ייצוג סכמטי של המערכת לפני ואחרי האינטראקציה. סביר לכוון את ציר ה-OX לאורך המסילות בכיוון שהמכונית נעה.
בתנאים אלה, מערכת הקרונות יכולה להיחשב סגורה. זה נקבע על ידי העובדה כי חיצוניניתן להזניח כוחות. כוח הכובד ותגובת התמיכה מאוזנים, והחיכוך על המסילות אינו נלקח בחשבון.
לפי חוק שימור המומנטום, הסכום הווקטורי שלהם לפני האינטראקציה של המכונית והפלטפורמה שווה לסך הכולל של המצמד לאחר הפגיעה. בהתחלה הרציף לא זז, אז המומנטום שלו היה אפס. רק המכונית זזה, המומנטום שלה הוא תוצר של m1 ו-v1.
מאחר שהפגיעה הייתה לא גמישה, כלומר העגלה התחבטה עם הרציף, ואז היא התחילה להתגלגל יחד לאותו כיוון, התנע של המערכת לא שינה כיוון. אבל המשמעות שלו השתנתה. כלומר, המכפלה של סכום המסה של העגלה עם הרציף והמהירות הנדרשת.
אתה יכול לכתוב את השוויון הזה: m1v1=(m1 + m2)v. זה יהיה נכון להקרנה של וקטורי מומנטום על הציר שנבחר. ממנו קל לגזור את השוויון שיידרש לחישוב המהירות הנדרשת: v=m1v1 / (m 1 + m2).
לפי הכללים, עליך להמיר ערכים למסה מטונות לקילוגרמים. לכן, כאשר מחליפים אותם בנוסחה, תחילה עליך להכפיל את הערכים הידועים באלף. חישובים פשוטים נותנים את המספר 0.75 m/s.
תשובה. מהירות העגלה עם הרציף היא 0.75 מטר לשנייה.
בעיה בחלוקת הגוף לחלקים
מצב. מהירותו של רימון מעופף היא 20 מ' לשנייה. זה מתפרק לשני חלקים. המסה של הראשון היא 1.8 ק"ג. הוא ממשיך לנוע בכיוון בו טס הרימון במהירות של 50 מ' לשנייה. לשבר השני יש מסה של 1.2 ק"ג.מה המהירות שלו?
החלטה. תנו למסות השבר להיות מסומנות באותיות m1 ו-m2. המהירויות שלהם יהיו בהתאמה v1 ו-v2. המהירות ההתחלתית של הרימון היא v. בבעיה, עליך לחשב את הערך v2.
כדי שהשבר הגדול יותר ימשיך לנוע באותו כיוון של הרימון כולו, השני חייב לעוף בכיוון ההפוך. אם נבחר את כיוון הציר ככיוון הדחף הראשוני, אז לאחר ההפסקה, שבר גדול עף לאורך הציר, ושבר קטן עף כנגד הציר.
בבעיה זו מותר להשתמש בחוק שימור המומנטום בשל העובדה שפיצוץ רימון מתרחש באופן מיידי. לכן, למרות העובדה שכוח המשיכה פועל על הרימון וחלקיו, אין לו זמן לפעול ולשנות את כיוון וקטור המומנטום עם ערך המודולו שלו.
סכום ערכי הווקטור של התנע לאחר פרץ הרימון שווה לזה שלפניו. אם נכתוב את חוק שימור התנע של הגוף בהקרנה על ציר ה-OX, אז זה ייראה כך: (m1 + m2)v=m 1v1 - m2v 2. קל לבטא ממנו את המהירות הרצויה. זה נקבע לפי הנוסחה: v2=((m1 + m2)v - m 1v1) / m2. לאחר החלפה של ערכים מספריים וחישובים, מתקבל 25 מ'/שניה.
תשובה. מהירותו של שבר קטן היא 25 מ' לשנייה.
בעיה לגבי צילום בזווית
מצב. כלי מותקן על פלטפורמה בעלת מסה M. נורה ממנו קליע במסה m. הוא עף החוצה בזווית α לאופק עם מהירות v (נתונה ביחס לקרקע). נדרש לברר את ערך מהירות הרציף לאחר הזריקה.
החלטה. בבעיה זו, ניתן להשתמש בחוק שימור המומנטום בהקרנה על ציר ה-OX. אבל רק במקרה שבו ההשלכה של הכוחות החיצוניים התוצאה שווה לאפס.
לכיוון ציר ה-OX, צריך לבחור את הצד שבו יעוף הקליע, ובמקביל לקו האופקי. במקרה זה, תחזיות כוחות הכבידה ותגובת התמיכה על OX יהיו שווים לאפס.
הבעיה תיפתר באופן כללי, מכיוון שאין נתונים ספציפיים עבור כמויות ידועות. התשובה היא הנוסחה.
תנע של המערכת לפני הירייה היה שווה לאפס, מכיוון שהרציף והטיל היו נייחים. תן למהירות הרצויה של הפלטפורמה להיות מסומן באות הלטינית u. אז המומנטום שלו לאחר הזריקה נקבע כמכפלת המסה והקרנה של המהירות. מכיוון שהפלטפורמה מתגלגלת לאחור (נגד כיוון ציר ה-OX), ערך המומנטום יהיה מינוס.
התנופה של קליע היא מכפלה של המסה שלו ושל השלכת מהירותו על ציר ה-OX. בשל העובדה שהמהירות מכוונת בזווית לאופק, הקרנתה שווה למהירות כפול הקוסינוס של הזווית. בשוויון מילולי, זה ייראה כך: 0=- Mu + mvcos α. ממנו, על ידי טרנספורמציות פשוטות, מתקבלת נוסחת התשובה: u=(mvcos α) / M.
תשובה. מהירות הפלטפורמה נקבעת על ידי הנוסחה u=(mvcos α) / M.
בעיית חציית הנהר
מצב. רוחבו של הנהר לכל אורכו זהה ושווה ל-l, גדותיומקבילים. אנו יודעים את מהירות זרימת המים בנהר v1 ואת המהירות העצמית של הסירה v2. אחד). בעת החצייה, חרטום הסירה מופנה אך ורק לחוף הנגדי. כמה רחוק הוא יישא במורד הזרם? 2). באיזו זווית α יש לכוון את חרטום הסירה כך שיגיע לגדה הנגדית במאונך בהחלט לנקודת המוצא? כמה זמן לא ייקח לעשות מעבר כזה?
החלטה. אחד). המהירות המלאה של הסירה היא הסכום הווקטור של שתי הכמויות. הראשון שבהם הוא מהלך הנהר, המופנה לאורך הגדות. השני הוא המהירות העצמית של הסירה, בניצב לחופים. הציור מציג שני משולשים דומים. הראשון נוצר על ידי רוחב הנהר והמרחק שהסירה נושאת. השני - עם וקטורי מהירות.
הערך הבא נובע מהם: s / l=v1 / v2. לאחר ההמרה מתקבלת הנוסחה לערך הרצוי: s=l(v1 / v2).
2). בגרסה זו של הבעיה, וקטור המהירות הכולל מאונך לגדות. הוא שווה לסכום הווקטור של v1 ו-v2. הסינוס של הזווית שבה חייב וקטור המהירות העצמי לסטות שווה ליחס בין המודולים v1 ו-v2. כדי לחשב את זמן הנסיעה, תצטרך לחלק את רוחב הנהר במהירות הכוללת המחושבת. ערכו של האחרון מחושב באמצעות משפט פיתגורס.
v=√(v22 – v1 2), ואז t=l / (√(v22 – v1 2)).
תשובה. אחד). s=l(v1 / v2), 2). sin α=v1 /v2, t=l / (√(v22 – v 12)).
