אנשים רגילים לקחת את המובן מאליו כמובן מאליו. בגלל זה, לעתים קרובות הם מסתבכים בצרות, שוקלים את המצב, סומכים על האינטואיציה שלהם ולא לוקחים את הזמן להרהר ביקורתית על בחירתם והשלכותיה.
מהו פרדוקס מונטי הול? זוהי המחשה ברורה לחוסר יכולתו של אדם לשקול את סיכויי הצלחתו מול בחירת תוצאה חיובית בנוכחות של יותר מאחת לא חיובית.
ניסוח פרדוקס מונטי הול
אז, איזו מין חיה זו? על מה בדיוק אנחנו מדברים? הדוגמה המפורסמת ביותר לפרדוקס מונטי הול היא תוכנית הטלוויזיה הפופולרית באמריקה באמצע המאה הקודמת בשם בואו נתערב! אגב, בזכות מגיש החידון הזה פרדוקס מונטי הול קיבל מאוחר יותר את שמו.
המשחק כלל את הדברים הבאים: למשתתף הוצגו שלוש דלתות שנראו בדיוק אותו הדבר. עם זאת, מאחורי אחד מהם חיכתה לשחקן מכונית חדשה ויקרה, אך מאחורי השניים האחרים, עז נמקה בקוצר רוח. כפי שקורה בדרך כלל במקרה של תוכניות חידונים, מה שהיה מאחורי הדלת שבחר המתמודד הפך להיות שלומנצח.
מה הטריק?
אבל לא הכל כל כך פשוט. לאחר שנעשתה הבחירה, המארח, שידע היכן חבוי הפרס הראשי, פתח את אחת משתי הדלתות הנותרות (כמובן, זו שמאחוריה ארב הארטיודקטיל), ואז שאל את השחקן אם הוא רוצה לשנות את דעתו.
הפרדוקס של מונטי הול, שנוסח על ידי מדענים ב-1990, הוא שבניגוד לאינטואיציה שאין הבדל בקבלת החלטה מובילה על סמך שאלה, אדם חייב להסכים לשנות את בחירתו. אם אתה רוצה להשיג מכונית נהדרת, כמובן.
איך זה עובד?
יש כמה סיבות מדוע אנשים לא ירצו לוותר על הבחירה שלהם. אינטואיציה והיגיון פשוט (אך לא נכון) אומרים ששום דבר לא תלוי בהחלטה הזו. יתרה מכך, לא כולם רוצים ללכת בעקבות אחר - זו מניפולציה אמיתית, לא? לא לא ככה. אבל אם הכל היה ברור באופן אינטואיטיבי, אז הם אפילו לא היו קוראים לזה פרדוקס. אין שום דבר מוזר בלהיות ספקות. כשהפאזל הזה פורסם לראשונה באחד מכתבי העת הגדולים, אלפי קוראים, כולל מתמטיקאים מוכרים, שלחו מכתבים לעורך בטענה שהתשובה המודפסת בגיליון אינה נכונה. אם קיומה של תורת ההסתברות לא היה חדשות לאדם שעלה לתוכנית, אז אולי הוא יוכל לפתור את הבעיה הזו. ובכך להגדיל את הסיכוייםלנצח. למעשה, ההסבר של פרדוקס מונטי הול מסתכם במתמטיקה פשוטה.
הסבר אחד, יותר מסובך
ההסתברות שהפרס נמצא מאחורי הדלת שנבחרה במקור היא אחת לשלוש. הסיכוי למצוא אותו מאחורי אחד מהשניים שנותרו הוא שניים מתוך שלושה. הגיוני, נכון? כעת, לאחר שאחת הדלתות הללו נפתחה, ונמצאת מאחוריה עז, נותרה רק אפשרות אחת בסט השני (זו שמתאימה ל-2/3 סיכויי הצלחה). הערך של אפשרות זו נשאר זהה, והוא שווה לשניים מתוך שלוש. לפיכך, ברור שעל ידי שינוי החלטתו, השחקן יכפיל את ההסתברות לזכייה.
הסבר מספר שתיים, פשוט יותר
אחרי פרשנות כזו של ההחלטה, רבים עדיין מתעקשים שאין טעם בבחירה הזו, כי יש רק שתי אפשרויות ואחת מהן בהחלט מנצחת, והשנייה בהחלט מובילה לתבוסה.
אבל לתורת ההסתברות יש דעה משלה לגבי בעיה זו. וזה מתבהר עוד יותר אם נתאר לעצמנו שבתחילה לא היו שלוש דלתות, אלא, נניח, מאה. במקרה זה, הסיכוי לנחש היכן הפרס מהפעם הראשונה הוא רק אחד לתשעים ותשע. כעת המתמודד עושה את בחירתו, ומונטי מבטל תשעים ושמונה דלתות עזים, ומשאיר רק שתיים, אחת מהן בחר השחקן. לפיכך, האפשרות שנבחרה מלכתחילה שומרת על סיכויי הזכייה שווה ל-1/100, והאופציה השנייה המוצעת היא 99/100. הבחירה צריכה להיות ברורה.
האם יש הפרכות?
התשובה פשוטה: לא. אף אחדאין הפרכה מבוססת של פרדוקס מונטי הול. כל ה"גילויים" שניתן למצוא ברשת מסתכמים באי הבנה של עקרונות המתמטיקה והלוגיקה.
לכל מי שמכיר עקרונות מתמטיים, חוסר האקראיות של הסתברויות ברור לחלוטין. רק מי שלא מבין איך עובד ההיגיון יכול לא להסכים איתם. אם כל האמור לעיל עדיין נשמע לא משכנע - הרציונל לפרדוקס נבדק ואושר בתוכנית MythBusters המפורסמת, ולמי עוד להאמין אם לא להם?
היכולת לראות בבירור
אוקיי, בואו כולנו נשמע משכנע. אבל זו רק תיאוריה, האם אפשר איכשהו להסתכל על עבודת העיקרון הזה בפעולה, ולא רק במילים? ראשית, אף אחד לא ביטל אנשים חיים. מצא שותף שייקח על עצמו את תפקיד המנהיג ויעזור לך לשחק באלגוריתם הנ ל במציאות. מטעמי נוחות, אתה יכול לקחת קופסאות, קופסאות, או אפילו לצייר על נייר. לאחר חזרה על התהליך כמה עשרות פעמים, השוו את מספר הזכיות במקרה של שינוי הבחירה המקורית עם כמה זכיות הביאו לעקשנות, והכל יתבהר. ואתה יכול לעשות אפילו יותר קל ולהשתמש באינטרנט. ישנם סימולטורים רבים של פרדוקס מונטי הול ברשת, שבהם אתה יכול לבדוק הכל בעצמך וללא אביזרים מיותרים.
מה השימוש בידע הזה?
זה אולי נראה כמו עוד משחק פאזל מעורר מוח שמשרת רק למטרות בידור. עם זאת, היישום המעשי שלוהפרדוקס של מונטי הול נמצא בעיקר בהימורים ובהגרלות שונות. מי שיש לו ניסיון רב מכיר היטב את האסטרטגיות הנפוצות להגדלת הסיכוי למצוא הימור ערך (מהמילה האנגלית value, שפירושה המילולי "ערך" - תחזית כזו שתתגשם בסבירות גבוהה יותר ממה שהעריכו סוכני ההימורים). ואסטרטגיה אחת כזו מעסיקה ישירות את הפרדוקס של מונטי הול.
דוגמה לעבודה עם טוטליזטור
דוגמה לספורט תהיה שונה מעט מהקלאסית. נניח שיש שלוש קבוצות מהליגה הראשונה. בשלושת הימים הבאים, כל אחת מהקבוצות הללו חייבת לשחק משחק מכריע אחד. זה שקולע יותר נקודות בתום המשחק מהשניים האחרים יישאר בליגה א', בעוד השאר ייאלצו לעזוב אותה. ההצעה של סוכנת ההימורים פשוטה: אתה צריך להמר על שמירה על עמדות של אחד ממועדוני הכדורגל הללו, בעוד שהסיכויים להימורים שווים.
לנוחות, מתקבלים תנאים לפיהם היריבות של המועדונים המשתתפים בבחירה שוות בערך בכוחן. לפיכך, לא ניתן יהיה לקבוע באופן חד משמעי את הפייבוריט לפני תחילת המשחקים.
כאן אתה צריך לזכור את הסיפור על העזים והמכונית. לכל קבוצה יש סיכוי להישאר במקומה במקרה אחד מתוך שלושה. כל אחד מהם נבחר, מונח עליו הימור. תן לזה להיות "בלטיקה". לפי תוצאות היום הראשון, אחד המועדונים מפסיד, ושניים טרם שיחקו. זה אותו "בלטיקה" ונגיד "שיניק".
הרוב ישמור על ההימור המקורי - בלטיקה תישאר בליגה הראשונה. אבל צריך לזכור שהסיכויים שלה נשארו זהים, אבל הסיכוי של "שיניק" הוכפל. לכן, הגיוני לבצע הימור נוסף, גדול יותר, על ניצחון "שיניק".
היום למחרת מגיע, והמשחק עם בלטיקה הוא תיקו. "שיניק" משחק אחר כך, והמשחק שלו מסתיים בניצחון 3-0. מסתבר שהוא יישאר בליגה א'. לכן, למרות שההימור הראשון על בלטיקה אבוד, הפסד זה מכוסה על ידי הרווח על ההימור החדש על שיניק.
ניתן להניח, ורובם יעשו זאת, שהניצחון של "שיניק" הוא רק תאונה. למעשה, נטילת הסתברות למקרה היא הטעות הגדולה ביותר עבור אדם שמשתתף בהגרלות ספורט. הרי איש מקצוע תמיד יגיד שכל הסתברות מתבטאת בעיקר בדפוסים מתמטיים ברורים. אם אתה יודע את היסודות של גישה זו ואת כל הניואנסים הקשורים אליה, הסיכונים של הפסד כסף יצטמצמו.
שימושי בחיזוי תהליכים כלכליים
אז, בהימורים בספורט, פשוט הכרחי לדעת את פרדוקס מונטי הול. אבל היקף היישום שלו אינו מוגבל להגרלה אחת. תורת ההסתברות תמיד קשורה קשר הדוק לסטטיסטיקה, וזו הסיבה שהבנת עקרונות הפרדוקס חשובה לא פחות בפוליטיקה ובכלכלה.
לנוכח אי הוודאות הכלכלית שאיתה מתמודדים אנליסטים לעתים קרובות, יש לזכור את הדברים הבאים הנובעים ממסקנה לפתרון בעיות: אין צורך לדעת בדיוק את הפתרון הנכון היחיד. הסיכוי לתחזית מוצלחת תמיד גדל אם יודעים מה בדיוק לא יקרה. למעשה, זו המסקנה הכי שימושית מהפרדוקס של מונטי הול.
כשהעולם על סף זעזועים כלכליים, פוליטיקאים תמיד מנסים לנחש את דרך הפעולה הנכונה כדי למזער את ההשלכות של המשבר. אם נחזור לדוגמאות הקודמות, בתחום הכלכלה, ניתן לתאר את המשימה כך: יש שלוש דלתות מול מנהיגי המדינות. האחד מוביל להיפר-אינפלציה, השני לדפלציה, והשלישי לצמיחה המתונה הנכספת של המשק. אבל איך מוצאים את התשובה הנכונה?
פוליטיקאים טוענים שבדרך זו או אחרת הם יובילו ליותר מקומות עבודה וצמיחה של הכלכלה. אבל כלכלנים מובילים, אנשים מנוסים, כולל אפילו זוכי פרס נובל, מוכיחים להם בבירור שאחת מהאפשרויות הללו בהחלט לא תוביל לתוצאה הרצויה. האם פוליטיקאים ישנו את בחירתם לאחר מכן? זה מאוד לא סביר, שכן מבחינה זו הם לא שונים בהרבה מאותם משתתפים בתוכנית הטלוויזיה. לכן, ההסתברות לטעות רק תגדל עם הגידול במספר היועצים.
האם זה ממצה מידע על הנושא?
למעשה, עד כה נבחנה כאן רק הגרסה ה"קלאסית" של הפרדוקס, כלומר המצב בו המגיש יודע בדיוק באיזו דלת עומד הפרס ופותח רק את הדלת עם העז. אבל ישנם מנגנוני התנהגות אחרים של המנהיג, בהתאם לאיזה עקרון האלגוריתם ותוצאת ביצועו יהיותהיה שונה.
השפעת התנהגות המנהיג על הפרדוקס
אז מה המארח יכול לעשות כדי לשנות את מהלך האירועים? בואו נאפשר אפשרויות שונות.
מה שנקרא "Devil Monty" הוא מצב בו המארח תמיד יציע לשחקן לשנות את בחירתו, בתנאי שהוא צדק בתחילה. במקרה זה, שינוי ההחלטה תמיד יוביל לתבוסה.
להיפך, "אנג'ליק מונטי" הוא עקרון התנהגות דומה, אבל במקרה שהבחירה של השחקן הייתה שגויה בתחילה. הגיוני שבמצב כזה, שינוי ההחלטה יוביל לניצחון.
אם המארח פותח את הדלתות באקראי, בלי מושג מה מסתתר מאחורי כל אחת מהן, אז הסיכוי לזכות תמיד יהיה שווה לחמישים אחוז. במקרה זה, מכונית עשויה להיות גם מאחורי הדלת המובילה הפתוחה.
המארח יכול לפתוח את הדלת ב-100% עם עז אם השחקן בחר במכונית, ועם סיכוי של 50% אם השחקן בחר עז. עם אלגוריתם פעולות זה, אם השחקן ישנה את הבחירה, הוא תמיד ינצח במקרה אחד מתוך שניים.
כאשר המשחק חוזר על עצמו שוב ושוב, וההסתברות שדלת מסוימת תהיה המנצחת היא תמיד שרירותית (כמו גם איזו דלת המארח פותח, בזמן שהוא יודע היכן המכונית מתחבאת, והוא תמיד פותח את הדלת עם עז ומציע לשנות את הבחירה) - הסיכוי לזכות תמיד יהיה שווה לאחד מכל שלושה. זה נקרא שיווי המשקל של נאש.
וכן באותו מקרה, אך בתנאי שהמגיש לא חייב לפתוחאחת הדלתות בכלל - ההסתברות לזכייה עדיין תהיה 1/3.
למרות שהסכמה הקלאסית די קלה לבדיקה, ניסויים עם אלגוריתמים אפשריים אחרים של התנהגות מנהיגים הם הרבה יותר קשים לביצוע בפועל. אבל בהקפדה הראויה של הנסיין, זה גם אפשרי.
ועם זאת, מה הטעם בכל זה?
הבנת מנגנוני הפעולה של כל פרדוקסים לוגיים שימושית מאוד לאדם, למוח שלו ולהבנה כיצד העולם יכול לפעול בפועל, עד כמה המבנה שלו יכול להיות שונה מהרעיון הרגיל של אדם לגביו.
ככל שאדם יודע יותר איך הדברים סביבו עובדים בחיי היום-יום ועל מה הוא לא רגיל לחשוב בכלל, כך תודעתו עובדת טוב יותר, והוא יכול להיות יעיל יותר במעשיו ובשאיפותיו.
