כאשר מתחילים ללמוד מדע כמו סטטיסטיקה, עליכם להבין שהוא מכיל (כמו כל מדע) הרבה מונחים שאתם צריכים לדעת ולהבין. היום ננתח מושג כמו הערך הממוצע, ונגלה לאילו סוגים הוא מחולק, כיצד לחשב אותם. ובכן, לפני שנתחיל, בואו נדבר קצת על היסטוריה, וכיצד ומדוע צמח מדע כמו סטטיסטיקה.
היסטוריה
עצם המילה "סטטיסטיקה" מגיעה מהשפה הלטינית. היא נגזרת מהמילה "סטטוס", ומשמעותה "מצב עניינים" או "מצב". זוהי הגדרה קצרה ומשקפת, למעשה, את כל המשמעות והתכלית של הסטטיסטיקה. הוא אוסף נתונים על מצב העניינים ומאפשר לך לנתח כל מצב. העבודה עם נתונים סטטיסטיים נעשתה ברומא העתיקה.בוצעו חשבונות של אזרחים חופשיים, רכושם ורכושם. באופן כללי, בתחילה נעשה שימוש בסטטיסטיקה כדי לקבל נתונים על האוכלוסייה והיתרונות שלה. אז, באנגליה בשנת 1061, נערך המפקד הראשון בעולם. החאנים ששלטו ברוסיה במאה ה-13 ערכו גם מפקדים כדי לקבל הוקרה מהארצות הכבושות.
כל אחד השתמש בסטטיסטיקה למטרותיו, וברוב המקרים זה הביא את התוצאה הצפויה. כאשר אנשים הבינו שזו לא רק מתמטיקה, אלא מדע נפרד שצריך ללמוד אותו ביסודיות, המדענים הראשונים החלו להתעניין בפיתוחו. האנשים שהתעניינו לראשונה בתחום זה והחלו להבין אותו באופן פעיל היו חסידי שתי אסכולות עיקריות: האסכולה המדעית האנגלית לאריתמטיקה מדינית והאסכולה התיאורית הגרמנית. הראשונה קמה באמצע המאה ה-17 ומטרתה לייצג תופעות חברתיות באמצעות אינדיקטורים מספריים. הם ביקשו לזהות דפוסים בתופעות חברתיות על סמך חקר נתונים סטטיסטיים. תומכי האסכולה התיאורית תיארו גם תהליכים חברתיים, אך השתמשו רק במילים. הם לא יכלו לדמיין את הדינמיקה של אירועים כדי להבין זאת טוב יותר.
במחצית הראשונה של המאה ה-19, עלה כיוון נוסף, שלישי, של המדע הזה: סטטיסטי ומתמטי. מדען ידוע, סטטיסטיקאי מבלגיה, Adolf Quetelet, תרם תרומה עצומה לפיתוח אזור זה. הוא זה שהבחין בסוגי הממוצעים בסטטיסטיקה, וביוזמתו החלו להתקיים קונגרסים בינלאומיים המוקדשים למדע זה. עםבתחילת המאה ה-20 החלו ליישם בסטטיסטיקה שיטות מתמטיות מורכבות יותר, למשל, תורת ההסתברות.
היום, מדע הסטטיסטיקה מתפתח הודות למחשוב. בעזרת תוכנות שונות, כל אחד יכול לבנות גרף על סמך הנתונים המוצעים. יש גם הרבה משאבים באינטרנט שמספקים כל נתונים סטטיסטיים על האוכלוסייה ולא רק.
בחלק הבא, נבחן מה המשמעות של מושגים כמו סטטיסטיקה, סוגי ממוצעים והסתברויות. לאחר מכן, ניגע בשאלה כיצד והיכן נוכל להשתמש בידע שנצבר.
מהן סטטיסטיקות?
זהו מדע, שמטרתו העיקרית היא עיבוד מידע כדי לחקור את דפוסי התהליכים המתרחשים בחברה. לפיכך, אנו יכולים להסיק שהסטטיסטיקה חוקרת את החברה ואת התופעות המתרחשות בה.
ישנן מספר דיסציפלינות של מדע סטטיסטיקה:
1) תיאוריה כללית של סטטיסטיקה. מפתחת שיטות לאיסוף נתונים סטטיסטיים ומהווה בסיס לכל שאר התחומים.
2) סטטיסטיקה חברתית-כלכלית. הוא חוקר תופעות מאקרו-כלכליות מנקודת המבט של הדיסציפלינה הקודמת ומכמת תהליכים חברתיים.
3) סטטיסטיקה מתמטית. לא כל דבר בעולם הזה ניתן לחקור. צריך לחזות משהו. סטטיסטיקה מתמטית חוקרת משתנים אקראיים וחוקי התפלגות הסתברות בסטטיסטיקה.
4) סטטיסטיקות תעשייה וסטטיסטיקה בינלאומית. אלו אזורים צרים החוקרים את הצד הכמותי של התופעות המתרחשות בהןמדינות או מגזרים מסוימים בחברה.
ועכשיו נסתכל על סוגי הממוצעים בסטטיסטיקה, נדבר בקצרה על היישום שלהם בתחומים אחרים, לא כל כך טריוויאליים כמו סטטיסטיקה.
סוגי ממוצעים בסטטיסטיקה
אז הגענו לדבר החשוב ביותר, למעשה, לנושא המאמר. כמובן, על מנת לשלוט בחומר ולהטמיע מושגים כמו המהות וסוגי הממוצעים בסטטיסטיקה, יש צורך בידע מסוים במתמטיקה. ראשית, בואו נזכור מה הם הממוצע האריתמטי, הממוצע ההרמוני, הממוצע הגיאומטרי והממוצע הריבועי.
למדנו את הממוצע האריתמטי בבית הספר. זה מחושב פשוט מאוד: אנחנו לוקחים כמה מספרים, שביניהם צריך למצוא את הממוצע. הוסיפו את המספרים הללו וחלקו את הסכום במספרם. מבחינה מתמטית, זה יכול להיות מיוצג באופן הבא. יש לנו סדרה של מספרים, כדוגמה, הסדרה הפשוטה ביותר: 1, 2, 3, 4. יש לנו 4 מספרים בסך הכל. אנו מוצאים את הממוצע האריתמטי שלהם בדרך זו: (1 + 2 + 3 + 4) / 4 \u003d 2.5. הכל פשוט. אנחנו מתחילים עם זה כי זה מקל על הבנת סוגי הממוצעים בסטטיסטיקה.
בואו נדבר גם בקצרה על הממוצע הגיאומטרי. ניקח את אותה סדרת מספרים כמו בדוגמה הקודמת. אבל עכשיו, כדי לחשב את הממוצע הגיאומטרי, אנחנו צריכים לקחת את שורש התואר, השווה למספר המספרים הללו, מהמכפלה שלהם. לפיכך, עבור הדוגמה הקודמת, נקבל: (1234)1/4~2, 21.
בוא נחזור על המושג של ממוצע הרמוני. כפי שאתה זוכר מהקורס במתמטיקה בבית הספר,כדי לחשב ממוצע כזה, ראשית עלינו למצוא את ההדדיות של המספרים בסדרה. כלומר, אנו מחלקים אחד במספר הזה. אז אנחנו מקבלים את המספרים ההפוכים. היחס בין מספרם לסכום יהיה הממוצע ההרמוני. ניקח את אותה שורה כדוגמה: 1, 2, 3, 4. השורה ההפוכה תיראה כך: 1, 1/2, 1/3, 1/4. לאחר מכן ניתן לחשב את הממוצע ההרמוני באופן הבא: 4/(1+1/2+1/3+1/4) ~ 1, 92.
כל סוגי הממוצעים הללו בסטטיסטיקה, שדוגמאות מהם ראינו, הם חלק מקבוצה שנקראת כוח. ישנם גם ממוצעים מבניים, עליהם נדון בהמשך. עכשיו בואו נתמקד בתצוגה הראשונה.
ערכי כוח ממוצעים
כבר סקרנו את החשבון, הגיאומטרי וההרמוני. יש גם צורה מורכבת יותר שנקראת שורש ממוצע ריבוע. למרות שזה לא עובר בבית הספר, זה די פשוט לחשב את זה. יש צורך רק להוסיף את הריבועים של המספרים בסדרה, לחלק את הסכום במספרם, ולהוציא את השורש הריבועי של כל זה. עבור השורה האהובה עלינו, היא תיראה כך: ((12+22+32 + 42)/4)1/2=(30/4)1/2 ~ 2, 74.
למעשה, אלו רק מקרים מיוחדים של חוק הכוח הממוצע. באופן כללי ניתן לתאר זאת כך: החזקה של הסדר ה-n שווה לשורש המדרגה n של סכום המספרים בחזקת ה-n, חלקי מספר המספרים הללו. עד כה, הדברים לא קשים כמו שהם נראים.
עם זאת, אפילו ממוצע הכוח הוא מקרה מיוחד מסוג אחד - ממוצע קולמוגורוב. על ידילמעשה, כל הדרכים בהן מצאנו ממוצעים שונים בעבר יכולות להיות מיוצגות בצורה של נוסחה אחת: y-1((y(x1)+y(x2)+y(x3)+…+y(x ))) /n). כאן, כל המשתנים x הם המספרים של הסדרה, ו-y(x) היא פונקציה מסוימת שבאמצעותה אנו מחשבים את הערך הממוצע. במקרה, נניח, עם הריבוע הממוצע, זו הפונקציה y=x2, ועם הממוצע האריתמטי y=x. אלו ההפתעות שמעניקות לנו לפעמים הסטטיסטיקה. עדיין לא ניתחנו במלואו את סוגי הערכים הממוצעים. בנוסף לממוצעים, יש גם מבניים. בוא נדבר עליהם.
ממוצעים מבניים של סטטיסטיקה. אופנה
זה קצת יותר מסובך. הבנת סוגים אלה של ממוצעים בסטטיסטיקה וכיצד הם מחושבים דורשת מחשבה רבה. ישנם שני ממוצעים מבניים עיקריים: מצב וחציון. בוא נתמודד עם הראשון.
אופנה היא הנפוצה ביותר. הוא משמש לרוב כדי לקבוע את הביקוש לדבר מסוים. כדי למצוא את הערך שלו, תחילה עליך למצוא את המרווח המודאלי. מה זה? מרווח מודאלי הוא אזור הערכים שבו לכל מחוון יש את התדירות הגבוהה ביותר. דרושה ויזואליזציה כדי לייצג טוב יותר את האופנה ואת סוגי הממוצעים בסטטיסטיקה. הטבלה שנבחן להלן היא חלק מהבעיה, שמצבה הוא:
קבע את האופנה לפי התפוקה היומית של עובדי החנות.
| פלט יומי, יחידות | 32-36 | 36-40 | 40-44 | 44-48 |
| מספר עובדים, אנשים | 8 | 20 | 24 | 19 |
במקרה שלנו, המרווח המודאלי הוא הקטע של מחוון התפוקה היומי עם מספר האנשים הגדול ביותר, כלומר 40-44. הגבול התחתון שלו הוא 44.
ועכשיו בואו נדון כיצד לחשב את האופנה הזו. הנוסחה לא מאוד מסובכת וניתן לכתוב אותה כך: M=x1+ n(fM-fM-1)/((fM-fM-1 )+(fM-fM+1)). כאן fM הוא התדר של המרווח המודאלי, fM-1 הוא התדר של המרווח לפני המודאלי (במקרה שלנו הוא 36- 40), f M+1 - תדירות המרווח שאחרי המודאל (עבורנו - 44-48), n - ערך המרווח (כלומר, ההפרש בין התחתון וגבולות עליונים)? x1 - ערך הגבול התחתון (בדוגמה הוא 40). בידיעה של כל הנתונים הללו, נוכל לחשב בבטחה את האופנה לכמות התפוקה היומית: M=40 +4(24-20)/((24-20)+(24-19))=40 + 16/9=41, (7).
נתונים סטטיסטיים של ממוצעים מבניים. חציון
בואו נסתכל שוב על סוג כזה של ערכים מבניים כמו החציון. לא נתעכב על זה בפירוט, נדבר רק על ההבדלים עם הסוג הקודם. בגיאומטריה, החציון חוצה את הזווית. לא בכדי נקרא ערך ממוצע כזה בסטטיסטיקה. אם תדרג סדרה (לדוגמה, לפי אוכלוסיית משקל כזה או אחר בסדר עולה), אז החציון יהיה ערך המחלק את הסדרה הזו לשני חלקים שווים בגודלם.
סוגים אחרים של ממוצעים בסטטיסטיקה
סוגים מבניים, יחד עם סוגי כוח, לא נותנים כל מה שנדרשלחישובים בתחומים שונים. ישנם סוגים נוספים של נתונים אלה. לפיכך, ישנם ממוצעים משוקללים. סוג זה משמש כאשר למספרים בסדרה יש "משקלים אמיתיים" שונים. ניתן להסביר זאת באמצעות דוגמה פשוטה. בוא ניקח מכונית. הוא נע במהירויות שונות לפרקי זמן שונים. יחד עם זאת, גם הערכים של מרווחי זמן אלה וגם ערכי המהירויות שונים זה מזה. אז, המרווחים האלה יהיו משקלים אמיתיים. ניתן להפוך כל סוג של אמצעי כוח לשקלול.
בהנדסת חום, נעשה שימוש גם בסוג אחד נוסף של ערכים ממוצעים - הלוגריתמי הממוצע. זה בא לידי ביטוי בנוסחה מורכבת למדי, שלא ניתן.
היכן זה חל?
סטטיסטיקה היא מדע שאינו קשור לאף תחום אחד. למרות שהוא נוצר כחלק מהתחום החברתי-כלכלי, כיום שיטותיו וחוקיו מיושמים בפיזיקה, כימיה וביולוגיה. עם ידע בתחום זה, נוכל לקבוע בקלות את מגמות החברה ולמנוע איומים בזמן. לעתים קרובות אנו שומעים את הביטוי "סטטיסטיקה מאיימת", ואלה אינן מילים ריקות. המדע הזה מספר לנו על עצמנו, וכאשר נלמד כראוי, הוא יכול להתריע על מה שעלול לקרות.
איך סוגים של ממוצעים קשורים בסטטיסטיקה?
היחסים ביניהם לא תמיד קיימים, למשל, טיפוסים מבניים אינם מחוברים בשום נוסחה. אבל עם כוח הכל הרבהמעניין יותר. לדוגמה, יש תכונה כזו: הממוצע האריתמטי של שני מספרים תמיד גדול או שווה לממוצע הגיאומטרי שלהם. מבחינה מתמטית ניתן לכתוב זאת כך: (a+b)/2 >=(ab)1/2. אי השוויון מוכח על ידי הזזת צד ימין שמאלה וקיבוץ נוסף. כתוצאה מכך, אנו מקבלים את ההבדל של השורשים, בריבוע. ומכיוון שכל מספר בריבוע הוא חיובי, בהתאם, אי השוויון הופך נכון.
מלבד זה, יש יחס כללי יותר של גדלים. מסתבר שהממוצע ההרמוני תמיד קטן מהממוצע הגיאומטרי, שהוא פחות מהממוצע האריתמטי. והאחרון מתברר בתורו פחות מהריבוע הממוצע של השורש. אתה יכול לבדוק באופן עצמאי את נכונות היחסים הללו לפחות בדוגמה של שני מספרים - 10 ו-6.
מה כל כך מיוחד בזה?
זה מעניין שסוגי הממוצעים בסטטיסטיקה שנראים כאילו מראים רק סוג של ממוצע, למעשה, יכולים לומר לאדם בעל ידע הרבה יותר. כשאנחנו צופים בחדשות, אף אחד לא חושב על המשמעות של המספרים האלה ואיך למצוא אותם בכלל.
מה עוד אני יכול לקרוא?
להמשך פיתוח הנושא, אנו ממליצים לקרוא (או להאזין) לקורס הרצאות בנושא סטטיסטיקה ומתמטיקה גבוהה יותר. אחרי הכל, במאמר זה דיברנו רק על גרעין ממה שהמדע הזה מכיל, והוא כשלעצמו יותר מעניין ממה שנראה במבט ראשון.
איךהאם הידע הזה יעזור לי?
אולי הם יהיו שימושיים עבורך בחיים. אבל אם אתה מתעניין במהות התופעות החברתיות, המנגנון וההשפעה שלהן על חייך, אז הסטטיסטיקה תעזור לך להבין את הנושאים הללו לעומק יותר. באופן כללי, הוא יכול לתאר כמעט כל היבט בחיינו, אם יש ברשותו את הנתונים המתאימים. ובכן, היכן וכיצד מתקבל מידע לניתוח הוא הנושא של מאמר נפרד.
מסקנה
עכשיו אנחנו יודעים שיש סוגים שונים של ממוצעים בסטטיסטיקה: כוח ומבני. הבנו איך לחשב אותם והיכן וכיצד ניתן ליישם את זה.
