לכל גודל פיזיקלי שמוצע במשוואות מתמטיות בחקר תופעת טבע מסוימת יש משמעות כלשהי. רגע האינרציה אינו יוצא מן הכלל לכלל זה. המשמעות הפיזית של כמות זו נידונה בפירוט במאמר זה.
רגע אינרציה: ניסוח מתמטי
קודם כל, יש לומר שהכמות הפיזית הנחשבת משמשת לתיאור מערכות סיבוב, כלומר תנועות כאלה של עצם המאופיינות במסלולים מעגליים סביב ציר או נקודה כלשהי.
בוא ניתן את הנוסחה המתמטית לרגע האינרציה עבור נקודה חומרית:
I=mr2.
כאן m ו-r הם המסה ורדיוס הסיבוב של החלקיק (מרחק לציר), בהתאמה. כל גוף מוצק, מורכב ככל שיהיה, יכול להיות מחולק נפשית לנקודות חומריות. אז הנוסחה של רגע האינרציה בצורה כללית תיראה כך:
I=∫mr2dm.
הביטוי הזה תמיד נכון, ולא רק לתלת מימד,אלא גם לגופים דו מימדיים (חד מימדיים), כלומר למישורים ומוטות.
מהנוסחאות הללו קשה להבין את המשמעות של מומנט האינרציה הפיזיקלי, אך ניתן להסיק מסקנה חשובה: היא תלויה בהתפלגות המסה בגוף המסתובב, כמו גם במרחק אל ציר הסיבוב. יתרה מכך, התלות ב-r חדה יותר מאשר ב-m (ראה את הסימן הריבועי בנוסחאות).
תנועה מעגלית
תבינו מה המשמעות הפיזית של רגע האינרציה, זה בלתי אפשרי אם לא מתחשבים בתנועה המעגלית של גופים. מבלי להיכנס לפרטים, הנה שני ביטויים מתמטיים המתארים את הסיבוב:
I1ω1=I2ω 2;
M=I dω/dt.
המשוואה העליונה נקראת חוק השימור של הכמות L (מומנטום). זה אומר שלא משנה אילו שינויים מתרחשים במערכת (בהתחלה היה רגע של אינרציה I1, ואז הוא נעשה שווה ל-I2), המכפלה I למהירות הזוויתית ω, כלומר התנע הזוויתי, יישאר ללא שינוי.
הביטוי התחתון מדגים את השינוי במהירות הסיבוב של המערכת (dω/dt) כאשר מופעל עליה מומנט מסוים של כוח M, בעל אופי חיצוני, כלומר, הוא נוצר על ידי כוחות שאינם קשור לתהליכים פנימיים במערכת הנבדקת.
הן השוויון העליון והן התחתון מכילים I, וככל שערכו גדול יותר, כך מהירות הזווית ω או תאוצה זוויתית dω/dt נמוכה יותר. זו המשמעות הפיזית של הרגע.אינרציה של הגוף: היא משקפת את היכולת של המערכת לשמור על מהירות הזווית שלה. ככל שאני יותר, יכולת זו באה לידי ביטוי חזק יותר.
אנלוגיית מומנטום לינארי
עכשיו נעבור לאותה מסקנה שהושמעה בסוף הפסקה הקודמת, תוך יצירת אנלוגיה בין תנועה סיבובית לתנועה מתרגלת בפיזיקה. כפי שאתה יודע, האחרון מתואר בנוסחה הבאה:
p=mv.
ביטוי פשוט זה קובע את המומנטום של המערכת. נשווה את צורתו לזו של התנע הזוויתי (ראה את הביטוי העליון בפסקה הקודמת). אנו רואים שלערכים v ו-ω יש את אותה משמעות: הראשון מאפיין את קצב השינוי של הקואורדינטות הליניאריות של העצם, השני מאפיין את הקואורדינטות הזוויתיות. מכיוון ששתי הנוסחאות מתארות תהליך של תנועה אחידה (שווי-זווית), גם לערכים m ואני חייבת להיות אותה משמעות.
עכשיו שקול את החוק השני של ניוטון, שמתבטא בנוסחה:
F=ma.
לשים לב לצורת השוויון התחתון בפסקה הקודמת, יש לנו מצב דומה לזה הנחשב. מומנט הכוח M בייצוג הליניארי שלו הוא הכוח F, והתאוצה הליניארית a אנלוגית לחלוטין לזווית dω/dt. ושוב אנו מגיעים לשקולות של מסה ומומנט אינרציה.
מה המשמעות של מסה במכניקה הקלאסית? זוהי מדד לאינרציה: ככל ש-m גדול יותר, כך קשה יותר להזיז את העצם ממקומו, ועוד יותר לתת לו תאוצה. אותו הדבר ניתן לומר על מומנט האינרציה ביחס לתנועת הסיבוב.
משמעות פיזית של רגע האינרציה על דוגמה של משק בית
בואו נשאל שאלה פשוטה כיצד קל יותר לסובב מוט מתכת, למשל, מוט זרוע - כאשר ציר הסיבוב מכוון לאורכו או כאשר הוא לרוחב? כמובן, קל יותר לסובב את המוט במקרה הראשון, מכיוון שרגע האינרציה שלו עבור מיקום כזה של הציר יהיה קטן מאוד (עבור מוט דק הוא שווה לאפס). לכן, מספיק להחזיק חפץ בין כפות הידיים ובתנועה קלה להביא אותו לסיבוב.
אגב, העובדה המתוארת אומתה בניסוי על ידי אבותינו בימי קדם, כאשר הם למדו כיצד להבעיר אש. הם סובבו את המקל בתאוצות זוויתיות אדירות, מה שהוביל ליצירת כוחות חיכוך גדולים וכתוצאה מכך לשחרור כמות משמעותית של חום.
גלגל תנופה לרכב הוא דוגמה מצוינת לשימוש במומנט אינרציה גדול
לסיכום, ברצוני לתת אולי את הדוגמה החשובה ביותר לטכנולוגיה המודרנית של שימוש במשמעות הפיזית של רגע האינרציה. גלגל התנופה של מכונית הוא דיסק פלדה מוצק עם רדיוס ומסה גדולים יחסית. שני ערכים אלו קובעים את קיומו של ערך משמעותי שאני מאפיין אותו. גלגל התנופה נועד "לרכך" כל השפעות כוח על גל הארכובה של המכונית. האופי האימפולסיבי של רגעי הכוחות הפועלים מצילינדרי המנוע ועד לגל הארכובה מוחלק והופך חלק הודות לגלגל התנופה הכבד.
אגב, ככל שהמומנטום הזוויתי גדול יותר, כךיותר אנרגיה נמצאת במערכת מסתובבת (אנלוגיה למסה). מהנדסים רוצים להשתמש בעובדה זו, לאגור את אנרגיית הבלימה של מכונית בגלגל התנופה, כדי לכוון אותה לאחר מכן להאיץ את הרכב.
