מורים למתמטיקה מציגים לתלמידיהם את המושג "בעיה קומבינטורית" כבר בכיתה ה'. זה הכרחי על מנת שיוכלו לעבוד עם משימות מורכבות יותר בעתיד. ניתן להבין את האופי הקומבינטורי של בעיה כאפשרות לפתור אותה על ידי ספירה של אלמנטים של קבוצה סופית.
הסימן העיקרי למשימות בסדר הזה הוא השאלה להם, שנשמעת כמו "כמה אפשרויות?" או "בכמה דרכים?" הפתרון של בעיות קומבינטוריות תלוי ישירות בשאלה האם הפותר הבין את המשמעות, האם הוא הצליח לייצג נכון את הפעולה או התהליך שתוארו במשימה.
איך פותרים בעיה קומבינטורית?
חשוב לקבוע נכון את סוג כל החיבורים בבעיה הנבדקת, אך יש לבדוק האם יש בה חזרות על אלמנטים, האם האלמנטים עצמם משתנים, האם הסדר שלהם משחק תפקיד גדול, וגם ביחס לאחד אחרגורמים.
לבעיה קומבינטורית יכולה להיות מספר הגבלות שניתן להציב על חיבורים. במקרה זה, תצטרך לחשב במלואו את הפתרון שלו ולבדוק האם להגבלות אלו יש השפעה כלשהי על החיבור של כל האלמנטים. אם באמת יש השפעה, יש לבדוק איזו.
איפה להתחיל?
תחילה עליך ללמוד כיצד לפתור את הבעיות הקומבינטוריות הפשוטות ביותר. שליטה בחומר פשוט יאפשר לך ללמוד להבין משימות מורכבות יותר. מומלץ קודם כל להתחיל לפתור בעיות עם הגבלות שאינן נלקחות בחשבון כאשר בוחנים אפשרות פשוטה יותר.
מומלץ גם לנסות לפתור תחילה את הבעיות שבהן אתה צריך לשקול מספר קטן יותר של אלמנטים משותפים. כך תוכלו להבין את העיקרון של יצירת דוגמאות וללמוד כיצד ליצור אותן בעצמכם בעתיד. אם הבעיה שלשמה אתה צריך להשתמש בקומבינטוריקה מורכבת משילוב של כמה פשוטות יותר, מומלץ לפתור אותה בחלקים.
פתרון בעיות קומבינטוריות
בעיות כאלה אולי נראות קלות לפתרון, אבל די קשה לשלוט בקומבינטוריקה, חלקן לא נפתרו במאות השנים האחרונות. אחת הבעיות המפורסמות ביותר היא לקבוע את מספר ריבועי הקסם בסדר מיוחד כאשר המספר n גדול מ-4.
הבעיה הקומבינטורית קשורה קשר הדוק לתורת ההסתברות, שהופיעה בימי הביניים. הִסתַבְּרוּתניתן לחשב את מקורו של אירוע רק באמצעות קומבינטוריקה, במקרה זה יהיה צורך להחליף את כל הגורמים במקומות כדי לקבל את הפתרון האופטימלי.
פתרון בעיות
בעיות קומבינטוריות עם פתרון משמשות כדי ללמד תלמידים ותלמידים כיצד לעבוד עם החומר הזה. באופן כללי, הם צריכים לעורר עניין ורצון של אדם למצוא פתרון משותף. בנוסף לחישובים מתמטיים, יש צורך להפעיל מתח נפשי ולהשתמש בניחושים.
בתהליך פתרון המשימות שנקבעו, הילד יוכל לפתח את הדמיון המתמטי והיכולות הקומבינטוריות שלו, זה יכול להועיל לו ברצינות בעתיד. בהדרגה יש להגביר את רמת המורכבות של המשימות לפתרון כדי לא לשכוח את הידע הקיים ולהוסיף להן חדש.
שיטה 1. Bust
שיטות לפתרון בעיות קומבינטוריות שונות מאוד זו מזו, אך בכולן ניתן להשתמש בתלמיד כדי לקבל תשובה. אחת הדרכים הפשוטות ביותר, אך יחד עם זאת, הארוכות ביותר היא כוח גס. עם זה, אתה רק צריך לעבור על כל הפתרונות האפשריים מבלי להרכיב שום סכמות וטבלאות.
ככלל, השאלה בבעיה כזו קשורה לגרסאות אפשריות של המקור של אירוע, למשל: אילו מספרים ניתן ליצור באמצעות המספרים 2, 4, 8, 9? על ידי חיפוש בכל האפשרויות, נוצרת תשובה המורכבת משילובים אפשריים. שיטה זו היא נהדרת אם מספר האפשרויות האפשריותקטן יחסית.
שיטה 2. עץ האפשרויות
כמה בעיות קומבינטוריות ניתנות לפתרון רק על ידי יצירת תרשימים המפרטים מידע על כל אלמנט. יצירת עץ של אפשרויות אפשריות היא דרך נוספת למצוא תשובה. הוא מתאים לפתרון בעיות לא קשות מדי, שבהן יש תנאי נוסף.
דוגמה למשימה כזו:
אילו מספרים בני חמש ספרות ניתן ליצור מהמספרים 0, 1, 7, 8? כדי לפתור את זה, אתה צריך לבנות עץ מכל השילובים האפשריים, ויש תנאי נוסף - המספר לא יכול להתחיל מאפס. לפיכך, התשובה תהיה מורכבת מכל המספרים שיתחילו ב-1, 7 או 8
שיטה 3. יצירת טבלאות
ניתן לפתור בעיות קומבינטוריות גם באמצעות טבלאות. הם דומים לעץ האפשרויות האפשריות, שכן הם מציעים פתרון ויזואלי למצב. כדי למצוא את התשובה הנכונה, עליך ליצור טבלה, והיא תשווקף: התנאים האופקיים והאנכיים יהיו זהים.
תשובות אפשריות יתקבלו בצומת של עמודות ושורות. במקרה זה לא יתקבלו תשובות בהצטלבות עמודה ושורה עם אותם נתונים, יש לסמן את הצמתים הללו במיוחד כדי לא להתבלבל בהרכבת התשובה הסופית. שיטה זו אינה נבחרת לעתים קרובות על ידי תלמידים, רבים מעדיפים עץ עם אפשרויות.
שיטה 4. כפל
יש דרך נוספת לפתור בעיות קומבינטוריות - כלל הכפל. הוא בסדרמתאים במקרה שבו, על פי התנאי, אין צורך לרשום את כל הפתרונות האפשריים, אתה רק צריך למצוא את המספר המרבי שלהם. שיטה זו היא יחידה במינה, משתמשים בה לעתים קרובות מאוד כשרק מתחילים לפתור בעיות קומבינטוריות.
דוגמה למשימה כזו עשויה להיראות כך:
6 אנשים ממתינים לבחינה במסדרון. בכמה דרכים תוכל להשתמש כדי לסדר אותם ברשימה הכללית? כדי לקבל תשובה צריך להבהיר כמה מהם יכולים להיות מלכתחילה, כמה מהם בשני, בשלישי וכו'. התשובה תהיה המספר 720
קומבינטוריקה וסוגיה
משימה קומבינטורית היא לא רק חומר בית ספרי, גם סטודנטים באוניברסיטה לומדים אותה. ישנם כמה סוגים של קומבינטוריקה במדע, ולכל אחד מהם יש משימה משלו. קומבינטוריקה סופרת צריכה לשקול ספירה וספירה של תצורות אפשריות עם תנאים נוספים.
קומבינטוריקה מבנית היא מרכיב בתוכנית האוניברסיטה, היא חוקרת את תורת המטרואידים והגרפים. קומבינטוריקה קיצונית קשורה גם לחומר אוניברסיטאי, ויש כאן מגבלות אישיות. חלק נוסף הוא תורת רמזי, העוסקת בחקר מבנים בווריאציות אקראיות של יסודות. ישנה גם קומבינטוריקה לשונית, העוסקת בשאלת התאימות של יסודות מסוימים זה לזה.
שיטת הוראת בעיות קומבינטוריות
לפי הדרכהתוכניות, גיל התלמידים, המיועד להיכרות ראשונית עם החומר הזה ולפתרון בעיות קומבינטוריות, הוא כיתה ה'. שם, לראשונה נושא זה מוצע לתלמידים, הם מתוודעים לתופעת הקומבינטוריות ומנסים לפתור את המשימות שהוטלו עליהם. יחד עם זאת, חשוב מאוד שבעת הגדרת בעיה קומבינטורית, נעשה שימוש בשיטה כאשר הילדים עצמם מחפשים תשובות לשאלות.
בין היתר, לאחר לימוד נושא זה, יהיה הרבה יותר קל להציג את המושג פקטוריאלי ולהשתמש בו בעת פתרון משוואות, בעיות וכו'. לפיכך, לקומבינטוריות יש תפקיד חשוב בהשכלה נוספת.
בעיות קומבינטוריות: למה הן נחוצות?
אם אתה יודע מהן בעיות קומבינטוריות, אז לא תחווה שום קושי בפתרון שלהן. הטכניקה לפתרון שלהם יכולה להיות שימושית כאשר אתה צריך ליצור לוחות זמנים, לוחות זמנים לעבודה, כמו גם חישובים מתמטיים מורכבים שאינם מתאימים למכשירים אלקטרוניים.
בבתי ספר עם לימוד מעמיק של מתמטיקה ומדעי המחשב, נלמדות בנוסף בעיות קומבינטוריות, לשם כך מרכיבים קורסים, עזרי הוראה ומשימות מיוחדות. ככלל, ניתן לכלול מספר בעיות מסוג זה בבחינה המאוחדת במתמטיקה, בדרך כלל הן "מוסתרות" בחלק ג'.
איך לפתור בעיה קומבינטורית במהירות?
חשוב מאוד להיות מסוגל לראות את הבעיה הקומבינטוריתבמהירות, מכיוון שהוא יכול להיות בעל ניסוח מצועף, זה חשוב במיוחד כשעוברים את הבחינה, שבה כל דקה חשובה. רשום בנפרד את המידע שאתה רואה בטקסט של הבעיה על פיסת נייר, ולאחר מכן נסה לנתח אותו במונחים של ארבע הדרכים שאתה מכיר.
אם אתה יכול להכניס מידע לטבלה או למבנה אחר, נסה לפתור אותו. אם אתם לא מצליחים לסווג אותו, במקרה הזה עדיף להשאיר אותו לזמן מה ולעבור למשימה אחרת כדי לא לבזבז זמן יקר. ניתן למנוע מצב זה על ידי פתרון מספר מסוים של משימות מסוג זה מראש.
איפה אני יכול למצוא דוגמאות?
הדבר היחיד שיעזור לך ללמוד איך לפתור בעיות קומבינטוריות הוא דוגמאות. תוכלו למצוא אותם באוספים מתמטיים מיוחדים הנמכרים בחנויות לספרות חינוכית. עם זאת, שם תוכל למצוא מידע רק לסטודנטים באוניברסיטה, תלמידי בית ספר יצטרכו לחפש משימות בנוסף, ככלל, משימות עבורם מומצאות על ידי מורים אחרים.
מורים להשכלה גבוהה מאמינים שתלמידים צריכים להכשיר ולהציע להם כל הזמן ספרות חינוכית נוספת. אחד האוספים הטובים ביותר הוא "שיטות ניתוח דיסקרטי בפתרון בעיות קומבינטוריות", שנכתב ב-1977 ופורסם שוב ושוב בהוצאות לאור המובילות בארץ. שם תוכל למצוא משימות שהיו רלוונטיות באותה תקופה ונשארות רלוונטיות גם היום.
מה אם אתה צריך ליצור בעיה קומבינטורית?
לרוב, בעיות קומבינטוריות צריכות להיות מורכבותמורים המחויבים ללמד את התלמידים לחשוב מחוץ לקופסה. כאן הכל יהיה תלוי בפוטנציאל היצירתי של המהדר. מומלץ לשים לב לאוספים קיימים ולנסות לחבר בעיה כך שתשלב מספר דרכים לפתור אותה בבת אחת ותהיה לה נתונים שונים מהספר.
מורים באוניברסיטה בהקשר זה הם הרבה יותר חופשיים ממורים בבתי ספר, לעתים קרובות הם נותנים לתלמידים שלהם את המשימה להעלות בעיות קומבינטוריות בעצמם עם שיטות פתרון והסברים מפורטים. אם אתם לא האחד ולא השני, תוכלו לבקש עזרה ממי שבאמת מבינים את הנושא, וכן לשכור מורה פרטי. שעה אקדמית אחת מספיקה כדי ליצור כמה בעיות דומות.
קומבינטוריקה - מדע העתיד?
מומחים רבים בתחום המתמטיקה והפיזיקה מאמינים שהבעיה הקומבינטורית היא שיכולה להפוך לדחף בהתפתחות כל המדעים הטכניים. מספיק לנקוט בגישה לא סטנדרטית לפתרון בעיות מסוימות, ואז ניתן יהיה לענות על שאלות שרודפות מדענים כבר כמה מאות שנים. חלקם טוענים ברצינות שהקומבינטוריקה היא עזרה לכל המדעים המודרניים, במיוחד האסטרונאוטיקה. זה יהיה הרבה יותר קל לחשב את נתיבי הטיסה של ספינות באמצעות בעיות קומבינטוריות, והן גם יאפשרו לך לקבוע את המיקום המדויק של גרמי שמיים מסוימים.
יישום של גישה לא סטנדרטית החל מזמן במדינות אסיה, שבהן סטודנטים אפילוכפל, חיסור, חיבור וחילוק נפתרים בשיטות קומבינטוריות. להפתעתם של מדענים אירופאים רבים, הטכניקה באמת עובדת. בתי ספר באירופה החלו עד כה רק ללמוד מניסיונם של עמיתיהם. מתי בדיוק הקומבינטוריקה תהפוך לאחד הענפים העיקריים של המתמטיקה, קשה לנחש. כעת המדע נחקר על ידי המדענים המובילים בעולם המבקשים להפוך אותו לפופולארי.
