במאמר שהובא לידיעתכם, אנו מציעים דוגמאות למודלים מתמטיים. בנוסף, נשים לב לשלבי יצירת המודלים וננתח חלק מהמשימות הקשורות למידול מתמטי.
שאלה נוספת שלנו היא על מודלים מתמטיים בכלכלה, דוגמאות, שאת ההגדרה שלהן נשקול קצת בהמשך. אנו מציעים להתחיל את השיחה שלנו עם עצם המושג "מודל", לשקול בקצרה את הסיווג שלהם ולעבור לשאלות העיקריות שלנו.
המושג "מודל"
לעתים קרובות אנו שומעים את המילה "מודל". מה זה? למונח הזה יש הגדרות רבות, הנה רק שלוש מהן:
- אובייקט ספציפי שנוצר כדי לקבל ולאחסן מידע, המשקף כמה מאפיינים או מאפיינים, וכן הלאה, של המקור של האובייקט הזה (האובייקט הספציפי הזה יכול לבוא לידי ביטוי בצורות שונות: מחשבתי, תיאור באמצעות סימנים, וכן הלאה);
- פירושו גם הצגת כל מצב ספציפי, חיים אוניהולי;
- מודל יכול לשמש כעותק מצומצם של כל אובייקט (הם נוצרים למחקר וניתוח מפורטים יותר, שכן המודל משקף את המבנה והקשרים).
דגם
בהתבסס על כל מה שנאמר קודם לכן, נוכל להסיק מסקנה קטנה: המודל מאפשר לך ללמוד מערכת מורכבת או אובייקט בפירוט.
ניתן לסווג את כל הדגמים לפי מספר קריטריונים:
- לפי אזור שימוש (חינוכי, ניסיוני, מדעי וטכני, משחקים, סימולציה);
- לפי דינמיקה (סטטית ודינמית);
- לפי ענף ידע (פיזי, כימי, גיאוגרפי, היסטורי, סוציולוגי, כלכלי, מתמטי);
- בדרך של מצגת (חומר ומידע).
מודלים של מידע, בתורם, מחולקים לסימנים ולמילוליים. ואייקוני - במחשב ולא במחשב. כעת נעבור לבחינה מפורטת של דוגמאות של מודל מתמטי.
מודל מתמטי
כפי שאפשר לנחש, מודל מתמטי משקף כמה תכונות של אובייקט או תופעה באמצעות סמלים מתמטיים מיוחדים. יש צורך במתמטיקה כדי ליצור מודל של דפוסי העולם הסובב בשפה הספציפית שלו.
שיטת המודלים המתמטיים נוצרה לפני זמן רב למדי, לפני אלפי שנים, יחד עם הופעתו של מדע זה. עם זאת, הדחף לפיתוח שיטת מידול זו ניתן על ידי הופעתם של מחשבים (מחשבים אלקטרוניים).
עכשיו בואו נעבור לסיווג. זה יכול להתבצע גם על פי כמה סימנים. הםמוצגים בטבלה למטה.
| סיווג לפי ענף מדע | יישום של מודלים מתמטיים בפיזיקה, סוציולוגיה, כימיה וכן הלאה |
|
לפי המנגנון המתמטי המשמש בתהליך המידול |
מודלים המבוססים על משוואות דיפרנציאליות, טרנספורמציות אלגבריות בדידות וכדומה |
| לפי יצירת יעדים | לפי עיקרון זה, ישנם מודלים תיאוריים, אופטימיזציה, ריבוי קריטריונים, משחק וסימולציה |
אנו מציעים לעצור ולבחון מקרוב את הסיווג האחרון, שכן הוא משקף את הדפוסים הכלליים של הדוגמנות ואת מטרות המודלים שנוצרים.
מודלים תיאוריים
בפרק זה, אנו מציעים להתעכב ביתר פירוט על מודלים מתמטיים תיאוריים. כדי להבהיר הכל מאוד, תינתן דוגמה.
לכתחילה, ניתן לקרוא לתצוגה זו תיאורית. זה נובע מהעובדה שאנחנו רק עושים חישובים ותחזיות, אבל אנחנו לא יכולים להשפיע על תוצאות האירוע בשום אופן.
דוגמה בולטת למודל מתמטי תיאורי היא חישוב נתיב הטיסה, המהירות, המרחק מכדור הארץ של שביט שפלש למרחבי מערכת השמש שלנו. מודל זה הוא תיאורי, שכן כל התוצאות המתקבלות יכולות רק להזהיר אותנו מפני סכנה כלשהי. משפיעים על תוצאות האירוע, אבוי, אנחנו לאפחית. עם זאת, בהתבסס על החישובים שהתקבלו, ניתן לנקוט בכל אמצעי להצלת חיים על פני כדור הארץ.
מודלים לאופטימיזציה
עכשיו נדבר קצת על מודלים כלכליים ומתמטיים, שדוגמאות שלהם יכולות להיות מצבים שונים. במקרה זה, אנו מדברים על מודלים שעוזרים למצוא את התשובה הנכונה בתנאים מסוימים. בטח יש להם כמה פרמטרים. כדי להבהיר את זה מאוד, שקול דוגמה מהחלק החקלאי.
יש לנו אסם, אבל התבואה מתקלקלת מהר מאוד. במקרה זה, עלינו לבחור את משטר הטמפרטורה הנכון ולייעל את תהליך האחסון.
לפיכך, נוכל להגדיר את המושג "מודל אופטימיזציה". במובן מתמטי מדובר במערכת של משוואות (הן ליניאריות והן לא), אשר פתרונה מסייע למצוא את הפתרון האופטימלי במצב כלכלי מסוים. שקלנו דוגמה למודל מתמטי (אופטימיזציה), אבל ברצוני להוסיף: סוג זה שייך למחלקת הבעיות הקיצוניות, הן עוזרות לתאר את תפקוד המערכת הכלכלית.
שימו לב לניואנס אחד נוסף: דגמים יכולים להיות בעלי אופי שונה (ראה טבלה למטה).
| דטרמיניסטי | במקרה זה, התוצאה תלויה בנתוני הקלט |
| stochastic | תיאור של תהליכים אקראיים. במקרה זה, התוצאה נשארת לא מוגדרת |
מודלים מרובי קריטריונים
עכשיו אנחנו מזמינים אותך לדבר קצת עלמודל מתמטי של אופטימיזציה רב-אובייקטיבית. לפני כן, הבאנו דוגמה למודל מתמטי לאופטימיזציה של תהליך לפי כל קריטריון אחד, אבל מה אם יש הרבה כאלה?
דוגמה בולטת למשימה רב קריטריונים היא ארגון של תזונה נכונה, בריאה ובו זמנית חסכונית עבור קבוצות גדולות של אנשים. משימות כאלה נמצאות לרוב בצבא, בקנטינות בבתי ספר, במחנות קיץ, בבתי חולים וכן הלאה.
אילו קריטריונים ניתנים לנו בבעיה הזו?
- אוכל צריך להיות בריא.
- יש לצמצם את ההוצאה על אוכל למינימום.
כפי שאתה יכול לראות, היעדים הללו אינם תואמים כלל. המשמעות היא שכאשר פותרים בעיה, יש צורך לחפש את הפתרון האופטימלי, איזון בין שני קריטריונים.
דגמי משחק
אם כבר מדברים על מודלים של משחקים, יש צורך להבין את המושג "תורת המשחקים". במילים פשוטות, מודלים אלה משקפים מודלים מתמטיים של קונפליקטים אמיתיים. רק שים לב שבניגוד לקונפליקט אמיתי, למודל המתמטי של המשחק יש כללים ספציפיים משלו.
עכשיו יהיה מינימום של מידע מתורת המשחקים שיעזור לכם להבין מהו מודל משחק. וכך, במודל יש בהכרח מסיבות (שתיים או יותר), שנקראות בדרך כלל שחקנים.
לכל הדגמים יש כמה מאפיינים.
| Subjects | מספר שחקנים |
| אסטרטגיה | אפשרויות לפעולות אפשריות |
| Payment | תוצאת הסכסוך (נצח או הפסד). |
ניתן להתאים את דגם המשחק או למספר רב. אם יש לנו שני נושאים, אז הקונפליקט הוא זוווג, אם יותר - מרובה. ניתן להבחין גם במשחק אנטגוניסטי, הוא נקרא גם משחק סכום אפס. זהו מודל שבו הרווח של אחד המשתתפים שווה להפסד של השני.
דגמי סימולציה
בחלק זה, נשים לב למודלים מתמטיים של סימולציה. דוגמאות למשימות הן:
- מודל של הדינמיקה של מספר המיקרואורגניזמים;
- מודל של תנועת מולקולות, וכן הלאה.
במקרה הזה, אנחנו מדברים על מודלים שקרובים ככל האפשר לתהליכים אמיתיים. בגדול, הם מחקים כל ביטוי בטבע. במקרה הראשון, למשל, נוכל לדגמן את הדינמיקה של מספר הנמלים במושבה אחת. במקרה זה, אתה יכול לראות את גורלו של כל אדם. במקרה זה, התיאור המתמטי משמש לעתים רחוקות, לעתים קרובות יותר יש תנאים כתובים:
- לאחר חמישה ימים הנקבה מטילה ביצים;
- 20 ימים לאחר מכן, הנמלה מתה, וכן הלאה.
לפיכך, נעשה שימוש במודלים של סימולציה לתיאור מערכת גדולה. מסקנה מתמטית היא עיבוד הנתונים הסטטיסטיים שהתקבלו.
דרישות
חשוב מאודשים לב שיש כמה דרישות לסוג זה של מודל, ביניהן אלה המופיעות בטבלה למטה.
| רבגוניות | מאפיין זה מאפשר לך להשתמש באותו מודל בעת תיאור קבוצות של אובייקטים מאותו סוג. חשוב לציין שמודלים מתמטיים אוניברסליים אינם תלויים לחלוטין באופי הפיזיקלי של האובייקט הנחקר |
| Adequacy | חשוב להבין כאן שהנכס הזה מאפשר לך לשחזר תהליכים אמיתיים בצורה מדויקת ככל האפשר. בבעיות תפעול, תכונה זו של מידול מתמטי חשובה מאוד. דוגמה למודל היא תהליך ייעול השימוש במערכת גז. במקרה זה מושווים אינדיקטורים מחושבים ומחוונים בפועל, כתוצאה מכך נבדקת נכונות המודל המהודר |
| דיוק | דרישה זו מרמזת על צירוף המקרים של הערכים שאנו מקבלים בעת חישוב המודל המתמטי ופרמטרי הקלט של האובייקט האמיתי שלנו |
| כלכלה | דרישת העלות-תועלת לכל מודל מתמטי מאופיינת בעלויות יישום. אם העבודה עם המודל מתבצעת באופן ידני, אז יש צורך לחשב כמה זמן ייקח לפתור בעיה אחת באמצעות מודל מתמטי זה. אם אנחנו מדברים על עיצוב בעזרת מחשב, אז האינדיקטורים של עלות הזמן וזיכרון המחשב מחושבים |
שלביםדוגמנות
בסך הכל נהוג להבחין בארבעה שלבים במודלים מתמטיים.
- נסח את החוקים המקשרים בין חלקי המודל.
- מחקר של בעיות מתמטיות.
- הבהרת צירוף המקרים של תוצאות מעשיות ותיאורטיות.
- ניתוח ומודרניזציה של המודל.
מודל כלכלי ומתמטי
בחלק זה, נדגיש בקצרה את נושא המודלים הכלכליים והמתמטיים. דוגמאות למשימות הן:
- הקמת תוכנית ייצור לייצור מוצרי בשר, הבטחת רווח מירבי בייצור;
- מקסם את הרווח של הארגון על ידי חישוב המספר האופטימלי של שולחנות וכיסאות שייוצרו במפעל רהיטים וכן הלאה.
המודל הכלכלי-מתמטי מציג הפשטה כלכלית, המתבטאת באמצעות מונחים וסימנים מתמטיים.
מודל מתמטי של מחשב
דוגמאות למודל מתמטי ממוחשב הן:
- בעיות של הידראוליקה באמצעות תרשימי זרימה, דיאגרמות, טבלאות וכן הלאה;
- בעיות במכניקה מוצקה, וכן הלאה.
מודל מחשב הוא תמונה של אובייקט או מערכת המוצגים כ:
- tables;
- תרשימי זרימה;
- דיאגרמות;
- גרפיקה וכן הלאה.
במקביל, מודל זה משקף את המבנה והחיבורים ההדדיים של המערכת.
בניית מודל כלכלי-מתמטי
כבר דיברנו על מה כלכלימודל מתמטי. דוגמה לפתרון הבעיה תיבחן כבר עכשיו. עלינו לנתח את תוכנית הייצור כדי לזהות את הרזרבה להגדלת הרווחים עם שינוי במבחר.
לא נשקול את הבעיה במלואה, אלא רק נבנה מודל כלכלי ומתמטי. הקריטריון של המשימה שלנו הוא מקסום רווחים. אז לפונקציה יש את הצורה: Л=р1х1+р2х2… נוטה למקסימום. במודל זה, p הוא הרווח ליחידה, x הוא מספר היחידות המיוצרות. יתרה מכך, בהתבסס על המודל שנבנה, יש צורך לבצע חישובים ולסכם.
דוגמה לבניית מודל מתמטי פשוט
משימה. הדייג חזר עם המלכוד הבא:
- 8 דגים - תושבי הים הצפוני;
- 20% מהתפיסה - תושבי הים הדרומי;
- לא נמצא דג אחד מהנהר המקומי.
כמה דגים הוא קנה בחנות?
אז, דוגמה לבניית מודל מתמטי של בעיה זו היא כדלקמן. נסמן את המספר הכולל של הדגים כ-x. בעקבות התנאי, 0.2x הוא מספר הדגים החיים בקווי הרוחב הדרומיים. כעת אנו משלבים את כל המידע הזמין ומקבלים את המודל המתמטי של הבעיה: x=0, 2x+8. אנחנו פותרים את המשוואה ומקבלים את התשובה לשאלה המרכזית: הוא קנה 10 דגים בחנות.
