מה זה חשבון? מתי האנושות התחילה להשתמש במספרים ולעבוד איתם? לאן נעלמים השורשים של מושגים יומיומיים כמו מספרים, שברים, חיסור, חיבור וכפל, שאדם הפך לחלק בלתי נפרד מחייו ומהשקפת עולמו? מוחות יוונים עתיקים העריצו מדעים כמו מתמטיקה, חשבון וגיאומטריה בתור הסימפוניות היפות ביותר של ההיגיון האנושי.
אולי החשבון אינו עמוק כמו מדעים אחרים, אבל מה יקרה להם אם אדם ישכח את לוח הכפל היסודי? החשיבה ההגיונית הרגילה לנו, תוך שימוש במספרים, שברים וכלים אחרים, לא הייתה קלה לאנשים ובמשך זמן רב לא הייתה נגישה לאבותינו. למעשה, לפני התפתחות החשבון, שום תחום של ידע אנושי לא היה מדעי באמת.
אריתמטיקה היא ה-ABC של מתמטיקה
חשבון הוא מדע המספרים, איתו כל אדם מתחיל להכיר את העולם המרתק של המתמטיקה. כפי שאמר M. V. Lomonosov, חשבון הוא שער הלמידה, הפותח עבורנו את הדרך לידע עולמי. אבל הוא צודקהאם ניתן להפריד את ידיעת העולם מהידע של מספרים ואותיות, מתמטיקה ודיבור? אולי בימים עברו, אבל לא בעולם המודרני, שבו ההתפתחות המהירה של המדע והטכנולוגיה מכתיבה את החוקים שלו.
המילה "אריתמטיקה" (מיוונית "אריתמוס") ממקור יווני, פירושה "מספר". היא לומדת מספרים וכל מה שיכול להיות קשור אליהם. זהו עולם המספרים: פעולות שונות על מספרים, כללים מספריים, פתרון בעיות הקשורות לכפל, חיסור וכו'
מקובל בדרך כלל שאריתמטיקה היא הצעד הראשוני של המתמטיקה ובסיס איתן לקטעים המורכבים יותר שלה, כגון אלגברה, ניתוח מתמטי, מתמטיקה גבוהה וכו'.
האובייקט העיקרי של חשבון
הבסיס של האריתמטיקה הוא מספר שלם, שתכונותיו ותבניותיו נחשבות באריתמטיקה גבוהה יותר או בתורת המספרים. למעשה, החוזק של הבניין כולו - מתמטיקה - תלוי במידת הנכונה של הגישה בהתייחסות לגוש קטן כל כך כמספר טבעי.
לכן, ניתן לענות בפשטות על השאלה מהי אריתמטיקה: זה מדע המספרים. כן, על השבעה, התשע הרגילים וכל הקהילה המגוונת הזו. וכמו שאי אפשר לכתוב שירה טובה או אפילו בינונית ביותר בלי אלפבית יסודי, אי אפשר לפתור אפילו בעיה יסודית בלי חשבון. זו הסיבה שכל המדעים התקדמו רק לאחר התפתחות החשבון והמתמטיקה, לפני כן היו רק קבוצה של הנחות.
אריתמטיקה היא מדע פנטום
מה זה חשבון - מדעי הטבע או פנטום? למעשה, כפי שטענו הפילוסופים היוונים הקדמונים, לא מספרים ולא דמויות קיימים במציאות. זהו רק פנטום שנוצר בחשיבה האנושית כאשר בוחנים את הסביבה עם התהליכים שלה. אכן, מהו מספר? בשום מקום מסביב לא רואים דבר כזה שאפשר לקרוא לו מספר, אלא מספר הוא דרך של המוח האנושי לחקור את העולם. או אולי זה הלימוד של עצמנו מבפנים? פילוסופים מתווכחים על כך כבר מאות שנים ברציפות, ולכן איננו מתחייבים לתת תשובה ממצה. כך או אחרת, החשבון הצליח לתפוס את מקומה בצורה כה איתנה, עד שבעולם המודרני אף אחד לא יכול להיחשב מותאם חברתית מבלי לדעת את היסודות שלו.
איך הופיע המספר הטבעי
כמובן, האובייקט העיקרי שעליו פועלת החשבון הוא מספר טבעי, כגון 1, 2, 3, 4, …, 152… וכו'. החשבון של המספרים הטבעיים הוא תוצאה של ספירת עצמים רגילים, כמו פרות באחו. ובכל זאת, פעם ההגדרה של "הרבה" או "מעט" הפסיקה להתאים לאנשים, והם נאלצו להמציא טכניקות ספירה מתקדמות יותר.
אבל פריצת הדרך האמיתית התרחשה כשהמחשבה האנושית הגיעה למצב שאפשר להגדיר 2 קילוגרמים, ו-2 לבנים, ו-2 חלקים עם אותו מספר "שתיים". העובדה היא שאתה צריך להפשט מהצורות, המאפיינים והמשמעות של אובייקטים, ואז אתה יכול לבצע כמה פעולות עם אובייקטים אלה בצורה של מספרים טבעיים. כך נולדה אריתמטיקה של המספרים, אשרהתפתח והתרחב עוד יותר, תופס עמדות גדולות יותר בחיי החברה.
מושגים מעמיקים כאלה של מספר כמו מספר אפס ושלילי, שברים, ייעודים של מספרים לפי מספרים ובדרכים אחרות, יש להם היסטוריה עשירה ומעניינת של התפתחות.
מצריים אריתמטיים ומעשיים
שני החברים האנושיים הוותיקים ביותר בחקר העולם סביבנו ובפתרון בעיות יומיומיות הם אריתמטיקה וגיאומטריה.
מאמינים שמקור ההיסטוריה של החשבון במזרח העתיק: בהודו, מצרים, בבל וסין. לפיכך, פפירוס רינדה ממוצא מצרי (שנקרא כך מכיוון שהיה שייך לבעלים בעל אותו השם), שראשיתו במאה ה-20. BC, בנוסף לנתונים בעלי ערך אחרים, מכיל הרחבה של שבר אחד לסכום של שברים בעלי מכנים שונים ומונה השווה לאחד.
לדוגמה: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
אבל מה הטעם בפירוק כה מורכב? העובדה היא שהגישה המצרית לא סבלה מחשבות מופשטות על מספרים, להיפך, חישובים נעשו רק למטרות מעשיות. כלומר, המצרי יעסוק בדבר כזה כמו חישובים, אך ורק כדי לבנות קבר, למשל. היה צורך לחשב את אורך קצה המבנה, וזה אילץ אדם לשבת מאחורי הפפירוס. כפי שאתה יכול לראות, ההתקדמות המצרית בחישובים נגרמה, יותר, מבנייה המונית מאשר מאהבה למדע.
מסיבה זו, לא ניתן לקרוא לחישובים שנמצאו על הפפירוס השתקפויות בנושא השברים. סביר להניח שזו הכנה מעשית שעזרה בעתיד.לפתור בעיות עם שברים. המצרים הקדמונים, שלא הכירו את לוחות הכפל, ערכו חישובים ארוכים למדי, שהתפרקו לתת-משימות רבות. אולי זו אחת מתת המשימות האלה. קל לראות שחישובים עם חלקי עבודה כאלה הם מאוד מייגעים ולא מבטיחים. אולי מסיבה זו איננו רואים את התרומה הגדולה של מצרים העתיקה לפיתוח המתמטיקה.
יוון העתיקה וחשבון פילוסופי
ידע רב על המזרח העתיק נשלט בהצלחה על ידי היוונים הקדמונים, חובבי הרהורים מפורסמים של הרהורים מופשטים, מופשטים ופילוסופיים. הם התעניינו לא פחות בפרקטיקה, אבל קשה למצוא את מיטב התיאורטיקנים וההוגים. זה הועיל למדע, שכן אי אפשר להתעמק בחשבון בלי לנתק אותו מהמציאות. בטח, אתה יכול להכפיל 10 פרות ו-100 ליטר חלב, אבל לא תגיע רחוק.
היוונים בעלי החשיבה העמוקה הותירו חותם משמעותי בהיסטוריה, וכתביהם הגיעו אלינו:
- אוקלידס והיסודות.
- Pythagoras.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
וכמובן, היוונים, שהפכו הכל לפילוסופיה, ובמיוחד ממשיכי יצירתו של פיתגורס, הוקסמו כל כך ממספרים עד שהם ראו בהם את תעלומת ההרמוניה של העולם. מספרים נחקרו ונחקרו עד כדי כך שלחלק מהם ולזוגותיהם הוקצו תכונות מיוחדות. לדוגמה:
- מספרים מושלמים הם אלה ששווים לסכום כל המחלקים שלהם, מלבד המספר עצמו (6=1+2+3).
- מספרים ידידותיים הם אותם מספרים, אחד מהםשווה לסכום כל המחלקים של השני, ולהיפך (הפיתגוראים הכירו רק זוג אחד כזה: 220 ו-284).
היוונים, שהאמינו שצריך לאהוב את המדע, ולא להיות איתו למען הרווח, השיגו הצלחה גדולה על ידי חקירה, משחק והוספת מספרים. יש לציין שלא כל המחקר שלהם היה בשימוש נרחב, חלקם נשארו רק "ליופי".
הוגים מזרחיים של ימי הביניים
באותו אופן, בימי הביניים, החשבון חייב את התפתחותו לבני זמננו המזרחיים. ההודים נתנו לנו את המספרים שבהם אנו משתמשים באופן פעיל, מושג כמו "אפס", ואת הגרסה המיקוםית של החשבון, המוכרת לתפיסה המודרנית. מאל-קאשי, שעבד בסמרקנד במאה ה-15, ירשנו שברים עשרוניים, שבלעדיהם קשה לדמיין את החשבון המודרני.
במובנים רבים, ההיכרות של אירופה עם הישגי המזרח התאפשרה הודות לעבודתו של המדען האיטלקי ליאונרדו פיבונאצ'י, שכתב את העבודה "ספר האבוקסיס", והציג חידושים מזרחיים. זה הפך לאבן הפינה לפיתוח של אלגברה וחשבון, מחקר ופעילויות מדעיות באירופה.
חשבון רוסי
ולבסוף, החשבון, שמצא את מקומו והשתרש באירופה, החל להתפשט לארצות רוסיה. החשבון הרוסי הראשון יצא לאור בשנת 1703 - זה היה ספר על חשבון מאת לאונטי מגניצקי. במשך זמן רב הוא נשאר ספר הלימוד היחיד במתמטיקה. הוא מכיל את הרגעים הראשוניים של אלגברה וגיאומטריה.המספרים המשמשים בדוגמאות בספר החשבון הראשון ברוסיה הם ערבית. למרות שספרות ערביות נראו בעבר, על תחריטים מהמאה ה-17.
הספר עצמו מעוטר בדימויים של ארכימדס ופיתגורס, ועל הגיליון הראשון - דימוי החשבון בדמות אישה. היא יושבת על כסא, תחתיה כתובה בעברית מילה המציינת את שם ה', ועל המדרגות המובילות לכס המלכות רשומות המילים "חלוקה", "כפל", "תוספת" וכו'. אמיתות. שנחשבים כעת לנפוצים.
ספר לימוד בן 600 עמודים מכסה שני דברים בסיסיים כמו טבלאות החיבור והכפל ויישומים למדעי הניווט.
אין זה מפתיע שהמחבר בחר בספרו דימויים של הוגים יוונים, משום שהוא עצמו נשבה ביופיה של חשבון, ואמר: "חשבון הוא המונה, יש אמנות כנה, שאין לה קנאה…". גישה זו לאריתמטיקה מוצדקת למדי, משום שהקדמה הנרחבת שלה יכולה להיחשב כתחילת ההתפתחות המהירה של המחשבה המדעית ברוסיה ובהשכלה הכללית.
לא ראשוניים
מספר ראשוני הוא מספר טבעי שיש לו רק 2 מחלקים חיוביים: 1 ואת עצמו. כל שאר המספרים, מלבד 1, נקראים מורכבים. דוגמאות למספרים ראשוניים: 2, 3, 5, 7, 11 וכל השאר שאין להם מחלקים מלבד 1 ועצמו.
באשר למספר 1, זה בחשבון מיוחד - יש הסכמה שהיא לא צריכה להיחשב לא פשוטה ולא מורכבת.פשוט במבט ראשון, מספר פשוט מסתיר בתוכו תעלומות לא פתורות רבות.
משפט אוקלידס אומר שיש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים, וארתוסטנס המציא "מסננת" אריתמטית מיוחדת שמבטלת מספרים לא ראשוניים, ומשאירה רק מספרים פשוטים.
מהותו היא להדגיש את המספר הראשון שאינו מחוצה, ולאחר מכן לחצות את אלה שהם כפולות שלו. אנו חוזרים על הליך זה פעמים רבות - ומקבלים טבלה של מספרים ראשוניים.
משפט היסוד של אריתמטיקה
בין התצפיות על מספרים ראשוניים, יש להזכיר את משפט היסוד של האריתמטיקה בצורה מיוחדת.
משפט היסוד של האריתמטיקה אומר שכל מספר שלם הגדול מ-1 הוא או ראשוני, או שניתן לפרק אותו למכפלה של מספרים ראשוניים עד לסדר הגורמים, ובצורה ייחודית.
המשפט הראשי של החשבון הוכח כמסורבל למדי, והבנתו כבר לא נראית כמו היסודות הפשוטים ביותר.
במבט ראשון, מספרים ראשוניים הם מושג יסודי, אבל הם לא. הפיזיקה גם ראתה פעם את האטום כאלמנטרי, עד שמצא את כל היקום בתוכו. סיפור נפלא מאת המתמטיקאי דון צגיר "חמישים מיליון ראשוני הראשונים" מוקדש למספרים ראשוניים.
מ"שלושה תפוחים" לחוקים דדוקטיביים
מה שבאמת יכול להיקרא הבסיס המחוזק של כל המדע הוא חוקי החשבון. אפילו בילדות, כולם מתמודדים עם חשבון, לומדים את מספר הרגליים והזרועות של בובות,מספר הקוביות, התפוחים וכו'. כך אנו לומדים חשבון, ואז נכנסים לכללים מורכבים יותר.
כל חיינו מכירים אותנו עם כללי החשבון, שהפכו עבור האדם הפשוט לשימושי ביותר מכל מה שנותן המדע. חקר המספרים הוא "חשבון-תינוק", שמכניס לאדם את עולם המספרים בצורת מספרים בגיל הרך.
חשבון גבוה יותר הוא מדע דדוקטיבי החוקר את חוקי החשבון. אנחנו מכירים את רובם, אם כי אולי איננו יודעים את הניסוח המדויק שלהם.
חוק החיבור והכפל
שני מספרים טבעיים כלשהם a ו-b יכולים לבוא לידי ביטוי כסכום a+b, שיהיה גם מספר טבעי. החוקים הבאים חלים על הוספה:
- קוממוטטיבי, האומר שהסכום לא משתנה מהסידור מחדש של מונחים, או a+b=b+a.
- Associative, האומר שהסכום אינו תלוי באופן שבו המונחים מקובצים במקומות, או a+(b+c)=(a+ b)+ c.
כללי החשבון, כמו חיבור, הם מהיסודיים ביותר, אבל הם משמשים את כל המדעים, שלא לדבר על חיי היומיום.
שני כל המספרים הטבעיים a ו-b יכולים לבוא לידי ביטוי כמכפלה ab או ab, שהוא גם מספר טבעי. אותם חוקים קומוטטיביים ואסוציאטיביים חלים על המוצר כמו על התוספת:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
אני תוההשיש חוק המאחד חיבור וכפל, הנקרא גם חוק חלוקתי או חלוקתי:
a(b+c)=ab+ac
חוק זה למעשה מלמד אותנו לעבוד עם סוגריים על ידי הרחבתם, וכך נוכל לעבוד עם נוסחאות מורכבות יותר. אלו החוקים שידריכו אותנו בעולם המוזר והמורכב של האלגברה.
חוק הסדר האריתמטי
חוק הסדר משמש את ההיגיון האנושי בכל יום, משווה שעונים וספירת שטרות. ובכל זאת, זה צריך להיות רשמי בצורה של ניסוחים ספציפיים.
אם יש לנו שני מספרים טבעיים a ו-b, אז האפשרויות הבאות אפשריות:
- a שווה ל-b, או a=b;
- a קטן מ-b, או a < b;
- a גדול מ-b, או a > b.
מתוך שלוש אפשרויות, רק אחת יכולה להיות הוגנת. החוק הבסיסי השולט בצו אומר: אם a < b ו-b < c, אז a< c.
יש גם חוקים המתייחסים לסדר לכפל ולחיבור: אם a< הוא b, אז a + c < b+c ו-ac< bc.
חוקי החשבון מלמדים אותנו לעבוד עם מספרים, סימנים וסוגריים, והופכים הכל לסימפוניה הרמונית של מספרים.
חשבון מיקום ולא מיקום
ניתן לומר שמספרים הם שפה מתמטית, שבנוחותה תלוי הרבה. ישנן מערכות מספרים רבות, אשר, כמו האלפביתים של שפות שונות, שונות זו מזו.
בואו נשקול את מערכות המספרים מנקודת מבט של השפעת המיקום על הערך הכמותימספרים בעמדה זו. כך, למשל, המערכת הרומית אינה מיקומית, כאשר כל מספר מקודד על ידי קבוצה מסוימת של תווים מיוחדים: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. הם שווים, בהתאמה, למספרים 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. במערכת כזו, המספר לא משנה את ההגדרה הכמותית שלו בהתאם למיקום שבו הוא נמצא: ראשון, שני וכו'. כדי לקבל מספרים אחרים, צריך להוסיף את הבסיסים. לדוגמה:
- DCC=700.
- CCM=800.
מערכת המספרים המוכרת לנו יותר באמצעות ספרות ערביות היא מיקומית. במערכת כזו, הספרה של מספר קובעת את מספר הספרות, למשל, מספרים תלת ספרתיים: 333, 567 וכו'. משקלה של כל ספרה תלוי במיקום בו נמצאת ספרה זו או אחרת, למשל, למספר 8 במיקום השני יש ערך של 80. זה אופייני לשיטה העשרונית, יש מערכות מיקום אחרות, למשל., בינארי.
חשבון בינארי
אנחנו מכירים את המערכת העשרונית, המורכבת ממספרים חד-ספרתיים ורב-ספרתיים. המספר משמאל למספר רב ספרתי משמעותי פי עשרה מזה שבצד ימין. אז, אנחנו רגילים לקרוא 2, 17, 467 וכו'. לקטע שנקרא "חשבון בינארי" יש היגיון וגישה שונה לחלוטין. זה לא מפתיע, כי חשבון בינארי נוצר לא בשביל הלוגיקה האנושית, אלא בשביל הלוגיקה הממוחשבת. אם אריתמטיקה של מספרים מקורה מספירת עצמים, שהופשטה עוד יותר מתכונות העצם לאריתמטיקה "חשופה", אז זה לא יעבוד עם מחשב. כדי להיות מסוגל לשתףעם הידע שלו במחשב, אדם היה צריך להמציא מודל כזה של חשבון.
חשבון בינארי עובד עם האלפבית הבינארי, המורכב מ-0 ו-1 בלבד. והשימוש באלפבית הזה נקרא השיטה הבינארית.
ההבדל בין חשבון בינארי לאריתמטיקה עשרונית הוא שהמשמעות של המיקום משמאל היא כבר לא 10, אלא פי 2. מספרים בינאריים הם בצורה 111, 1001 וכו'. איך להבין מספרים כאלה? אז, שקול את המספר 1100:
- הספרה הראשונה משמאל היא 18=8, לזכור שהספרה הרביעית, כלומר צריך להכפיל אותה ב-2, נקבל מיקום 8.
- ספרה שנייה 14=4 (מיקום 4).
- ספרה שלישית 02=0 (מיקום 2).
- ספרה רביעית 01=0 (מיקום 1).
- אז המספר שלנו הוא 1100=8+4+0+0=12.
כלומר, כשעוברים לספרה חדשה משמאל, המשמעות שלה במערכת הבינארית מוכפלת ב-2, ובעשרונית - ב-10. למערכת כזו יש מינוס אחד: מדובר בעלייה גדולה מדי ב- ספרות הדרושות לכתיבת מספרים. דוגמאות לייצוג מספרים עשרוניים כמספרים בינאריים ניתן למצוא בטבלה הבאה.
מספרים עשרוניים בצורה בינארית מוצגים למטה.
נעשה שימוש גם במערכות אוקטליות וגם במערכות הקסדצימליות.
החשבון המסתורי הזה
מהי אריתמטיקה, "פעמיים שתיים" או תעלומות לא נחקרות של מספרים? כפי שאתה יכול לראות, חשבון אולי נראה פשוט במבט ראשון, אבל הקלות הלא ברורה שלו מטעה. ניתן ללמוד את זה גם על ידי ילדים יחד עם דודה ינשוף מקריקטורה "אריתמטיקה-תינוק", ואתה יכול לטבול את עצמך במחקר מדעי עמוק בסדר פילוסופי כמעט. בהיסטוריה, היא הפכה מספירת חפצים לסגידה ליופי של מספרים. רק דבר אחד ידוע בוודאות: עם ביסוס ההנחות הבסיסיות של החשבון, כל המדע יכול לסמוך על הכתף החזקה שלו.
