גיאומטריה הוא ענף במתמטיקה החוקר מבנים במרחב והקשר ביניהם. בתורו, הוא מורכב גם מקטעים, ואחד מהם הוא סטריאומטריה. הוא מספק ללימוד המאפיינים של דמויות נפח הממוקמות בחלל: קובייה, פירמידה, כדור, חרוט, גליל וכו'.
קונוס הוא גוף במרחב האוקלידי התוחם משטח חרוטי ומישור שעליו מונחים קצות המחוללים שלו. היווצרותו מתרחשת בתהליך של סיבוב של משולש ישר זווית סביב כל אחת מרגליו, לכן הוא שייך לגופי המהפכה.
רכיבי חרוט
ניתן להבחין בין סוגי הקונוסים הבאים: אלכסוני (או אלכסוני) וישר. אלכסון הוא זה שהציר שלו מצטלב עם מרכז הבסיס שלו לא בזווית ישרה. מסיבה זו, הגובה בקונוס כזה אינו עולה בקנה אחד עם הציר, שכן מדובר בקטע שמוריד מהחלק העליון של הגוף למישור שלו.בסיס ב-90°.
החרוט הזה, שצירו מאונך לבסיסו, נקרא חרוט ישר. הציר והגובה בגוף גיאומטרי כזה עולים בקנה אחד בשל העובדה שהקודקוד בו ממוקם מעל מרכז קוטר הבסיס.
הקונוס מורכב מהאלמנטים הבאים:
- המעגל שהוא הבסיס שלו.
- Side.
- נקודה שאינה מונחת במישור הבסיס, הנקראת החלק העליון של החרוט.
- קטעים המחברים את נקודות המעגל של בסיס הגוף הגיאומטרי והחלק העליון שלו.
כל הקטעים האלה הם מצר של החרוט. הם נוטים לבסיס הגוף הגיאומטרי, ובמקרה של חרוט ימני ההטלות שלהם שוות, שכן הקודקוד נמצא במרחק שווה מנקודות מעגל הבסיס. לפיכך, אנו יכולים להסיק שבחרוט רגיל (ישר), המחוללים שווים, כלומר בעלי אותו אורך ויוצרים את אותן זוויות עם הציר (או הגובה) והבסיס.
מכיוון שבגוף מהפכה אלכסוני (או משופע) הקודקוד נע ביחס למרכז מישור הבסיס, למחוללים בגוף כזה יש אורכים והשלכות שונות, שכן כל אחד מהם נמצא במרחק שונה מכל שתי נקודות של מעגל הבסיס. בנוסף, גם הזוויות ביניהן וגובה החרוט יהיו שונות.
אורך הגנרטורים בקונוס ימני
כפי שנכתב קודם לכן, הגובה בגוף מהפכה גיאומטרי ישר מאונך למישור הבסיס. לפיכך, הגנרטריקס, הגובה והרדיוס של הבסיס יוצרים משולש ישר זווית בקונוס.
כלומר, לדעת את רדיוס הבסיס והגובה, באמצעות הנוסחה ממשפט פיתגורס, ניתן לחשב את אורך הגנרטריקס, שיהיה שווה לסכום ריבועי רדיוס הבסיס ו גובה:
l2 =r2+ h2 או l=√r 2 + h2
כאשר l הוא גנרטריקס;
r – רדיוס;
h – גובה.
גנרטיבי בקונוס אלכסוני
בהתבסס על העובדה שבחרוט אלכסוני המחוללים אינם באורך זהה, לא ניתן יהיה לחשב אותם ללא מבנים וחישובים נוספים.
קודם כל, אתה צריך לדעת את הגובה, אורך הציר ורדיוס הבסיס.
לרשותך נתונים אלה, אתה יכול לחשב את החלק של הרדיוס שנמצא בין הציר לגובה, באמצעות הנוסחה ממשפט פיתגורס:
r1=√k2 - h2
כאשר r1 הוא החלק של הרדיוס בין הציר לגובה;
k – אורך סרן;
h – גובה.
כתוצאה מהוספת הרדיוס (r) וחלקו השוכן בין הציר לגובה (r1), אתה יכול לגלות את הצד המלא של ימין משולש שנוצר על ידי הגנרטריקס של החרוט, חלקו בגובה ובקוטרו:
R=r + r1
כאשר R היא רגל המשולש שנוצרה על ידי הגובה, הגנרטריקס וחלק מקוטר הבסיס;
r – רדיוס בסיס;
r1 – חלק מהרדיוס בין הציר לגובה.
באמצעות אותה נוסחה ממשפט פיתגורס, ניתן למצוא את אורך הגנרטריקס של החרוט:
l=√h2+ R2
או, מבלי לחשב R בנפרד, שלבו את שתי הנוסחאות לאחת:
l=√h2 + (r + r1)2.
למרות אם זה חרוט ישר או אלכסוני ואיזה סוג של נתוני קלט, כל השיטות למציאת אורך הגנרטריקס מסתכמות תמיד בתוצאה אחת - השימוש במשפט פיתגורס.
קטע קונוס
חתך צירי של חרוט הוא מישור העובר לאורך צירו או גובהו. בחרוט ימני קטע כזה הוא משולש שווה שוקיים, שבו גובה המשולש הוא גובה הגוף, צלעותיו הן המחוללות והבסיס הוא קוטר הבסיס. בגוף גיאומטרי שווה צלעות, החתך הצירי הוא משולש שווה צלעות, שכן בקוטר זה קוטר הבסיס והמחוללים שווים.
מישור החתך הצירי בחרוט ישר הוא מישור הסימטריה שלו. הסיבה לכך היא שהחלק העליון שלו נמצא מעל מרכז הבסיס שלו, כלומר מישור החתך הצירי מחלק את החרוט לשני חלקים זהים.
מכיוון שהגובה והציר אינם תואמים במוצק משופע, ייתכן שהמישור של החתך הצירי לא יכלול את הגובה. אם ניתן לבנות קבוצה של חתכים צירים בקונוס כזה, היות וצריך להקפיד על כך רק תנאי אחד - עליו לעבור רק דרך הציר, אז רק חתך צירי אחד של המישור, שישתייך לגובה של את החרוט הזה ניתן לצייר, כי מספר התנאים גדל, וכידוע, שני קווים (ביחד) יכולים להשתייך לרק מטוס אחד.
אזור חתך
החתך הצירי של החרוט שהוזכר קודם לכן הוא משולש. על סמך זה, ניתן לחשב את שטחו באמצעות הנוסחה של שטח משולש:
S=1/2dh או S=1/22rh
כאשר S הוא שטח החתך;
d – קוטר הבסיס;
r – רדיוס;
h – גובה.
בחרוט אלכסוני, או חרוט אלכסוני, החתך לאורך הציר הוא גם משולש, כך ששטח החתך בו מחושב באופן דומה.
כרך
מכיוון שחרוט הוא דמות תלת מימדית במרחב תלת מימדי, נוכל לחשב את נפחו. נפח של חרוט הוא מספר המאפיין גוף זה ביחידת נפח, כלומר ב-m3. החישוב אינו תלוי בשאלה האם הוא ישר או אלכסוני (אלכסוני), שכן הנוסחאות של שני סוגי הגופים הללו אינן שונות.
כאמור קודם לכן, היווצרות חרוט ישר מתרחשת עקב סיבוב של משולש ישר זווית לאורך אחת מרגליו. חרוט משופע או אלכסוני נוצר בצורה שונה, מכיוון שגובהו מוזז ממרכז מישור הבסיס של הגוף. עם זאת, הבדלים כאלה במבנה אינם משפיעים על שיטת חישוב הנפח שלו.
חישוב נפח
הנוסחה לנפח של כל קונוס נראית כך:
V=1/3πhr2
כאשר V הוא נפח החרוט;
h – גובה;
r – רדיוס;
π - קבוע שווה ל-3, 14.
כדי לחשב נפח של חרוט, אתה צריך לקבל נתונים על הגובה והרדיוס של בסיס הגוף.
כדי לחשב את גובה הגוף, עליך לדעת את רדיוס הבסיס ואת אורך הגנרטריקס שלו. מכיוון שהרדיוס, הגובה והגנרטריקס משולבים למשולש ישר זווית, ניתן לחשב את הגובה באמצעות הנוסחה ממשפט פיתגורס (a2+ b2=c 2 או במקרה שלנו h2+ r2=l2 , כאשר l - generatrix). במקרה זה, הגובה יחושב על ידי חילוץ השורש הריבועי של ההפרש בין ריבועי התחתון והרגל השנייה:
a=√c2- b2
כלומר, גובה החרוט יהיה שווה לערך המתקבל לאחר חילוץ השורש הריבועי מההפרש בין ריבוע אורך הגנרטריקס לריבוע רדיוס הבסיס:
h=√l2 - r2
חישוב הגובה בשיטה זו ובידיעה של רדיוס הבסיס שלו, ניתן לחשב את נפח החרוט. במקרה זה, הגנרטריקס ממלא תפקיד חשוב, שכן הוא משמש כאלמנט עזר בחישובים.
באופן דומה, אם אתה יודע את גובה הגוף ואת אורך הגנרטריקס שלו, תוכל למצוא את רדיוס הבסיס שלו על ידי חילוץ השורש הריבועי של ההפרש בין ריבוע הגנרטריקס לריבוע הגובה:
r=√l2 - h2
לאחר מכן, באמצעות אותה נוסחה כמו לעיל, חשב את נפח החרוט.
נפח קונוס משופע
מאחר והנוסחה לנפח של חרוט זהה לכל סוגי גוף המהפכה, ההבדל בחישוב שלו הוא חיפוש הגובה.
כדי לגלות את גובהו של חרוט משופע, נתוני הקלט חייבים לכלול את אורך הגנרטריקס, רדיוס הבסיס והמרחק בין המרכזהבסיס וההצטלבות של גובה הגוף עם מישור הבסיס שלו. בידיעה זאת, אתה יכול בקלות לחשב את החלק הזה מקוטר הבסיס, שיהיה הבסיס של משולש ישר זווית (הנוצר על ידי הגובה, הגנרטריקס והמישור של הבסיס). לאחר מכן, שוב באמצעות משפט פיתגורס, חשב את גובה החרוט, ולאחר מכן את נפחו.
