לעיתים קרובות במדע המתמטי ישנם מספר קשיים ושאלות, ורבות מהתשובות אינן תמיד ברורות. שום יוצא דופן לא היה נושא כמו הקרדינליות של קבוצות. למעשה, זהו לא יותר מביטוי מספרי של מספר העצמים. במובן הכללי, קבוצה היא אקסיומה; אין לה הגדרה. הוא מבוסס על אובייקטים כלשהם, או ליתר דיוק הסט שלהם, שיכול להיות ריק, סופי או אינסופי. בנוסף, הוא מכיל מספרים שלמים או מספרים טבעיים, מטריצות, רצפים, קטעים וקווים.
על משתנים קיימים
סט ריק או ריק ללא ערך מהותי נחשב אלמנט קרדינלי מכיוון שהוא תת-קבוצה. האוסף של כל קבוצות המשנה של קבוצה לא ריקה S היא קבוצה של קבוצות. לפיכך, קבוצת הכוחות של קבוצה נתונה נחשבת להרבה, אפשרית, אך יחידה. קבוצה זו נקראת קבוצת החזקות של S והיא מסומנת ב-P (S). אם S מכיל N אלמנטים, אז P(S) מכיל 2^n תת-קבוצות, מכיוון שתת-קבוצה של P(S) היא או ∅ או תת-קבוצה המכילה r אלמנטים מ-S, r=1, 2, 3, … מורכבת מכל דבר אינסופיקבוצה M נקראת כמות כוח והיא מסומנת באופן סמלי ב-P (M).
אלמנטים של תורת הקבוצות
תחום ידע זה פותח על ידי ג'ורג' קנטור (1845-1918). כיום הוא משמש כמעט בכל ענפי המתמטיקה ומשמש כחלק היסודי שלו. בתורת הקבוצות, אלמנטים מיוצגים בצורה של רשימה וניתנים לפי טיפוסים (קבוצה ריקה, יחיד, קבוצות סופיות ואינסופיות, שוות ושקולות, אוניברסליות), איחוד, חיתוך, הבדל וחיבור של מספרים. בחיי היום יום אנו מדברים לרוב על אוסף חפצים כמו צרור מפתחות, להקת ציפורים, חבילת קלפים וכו'. בכיתה ה' ואילך במתמטיקה יש מספרים טבעיים, שלמים, ראשוניים ומרוכבים.
ניתן לשקול את הקבוצות הבאות:
- מספרים טבעיים;
- אותיות האלפבית;
- סיכויים ראשיים;
- משולשים עם צלעות שונות.
ניתן לראות שהדוגמאות שצוינו הן קבוצות מוגדרות היטב של אובייקטים. שקול עוד כמה דוגמאות:
- חמישה המדענים המפורסמים ביותר בעולם;
- שבע בנות יפות בחברה;
- שלושה המנתחים הטובים ביותר.
דוגמאות הקרדינליות הללו אינן אוספים מוגדרים היטב של חפצים, מכיוון שהקריטריונים ל"הכי מפורסם", "הכי יפה", "הכי טוב" משתנים מאדם לאדם.
Sets
ערך זה הוא מספר מוגדר היטב של אובייקטים שונים.בהנחה ש:
- ערכת מילים היא מילה נרדפת, צבירה, מחלקה ומכילה אלמנטים;
- objects, חברים הם מונחים שווים;
- סטים מסומנים בדרך כלל באותיות גדולות A, B, C;
- set מיוצגים באותיות קטנות a, b, c.
אלמנטים
אם "a" הוא רכיב של קבוצה A, אז נאמר ש"a" שייך ל-A. נסמן את הביטוי "שייך" באות היוונית "∈" (אפסילון). כך, מסתבר ש- a ∈ A. אם 'b' הוא אלמנט שאינו שייך ל-A, זה מיוצג כ-b ∉ A. כמה קבוצות חשובות המשמשות במתמטיקה בכיתה ה' מיוצגות בשלוש השיטות הבאות:
- applications;
- רישום או טבלאות;
- כלל ליצירת מערך.
בבדיקה מעמיקה יותר, טופס הבקשה מבוסס על הדברים הבאים. במקרה זה, ניתן תיאור ברור של מרכיבי הסט. כולם סגורים בפלטה מתולתלת. לדוגמה:
- סט של מספרים אי-זוגיים פחות מ-7 - נכתב בתור {פחות מ-7};
- קבוצה של מספרים גדולים מ-30 ופחות מ-55;
- מספר תלמידים בכיתה ששוקל יותר מהמורה.
בטופס הרישום (טבלה), הרכיבים של קבוצה רשומים בתוך זוג סוגריים {} ומופרדים בפסיקים. לדוגמה:
- תנו N לסמן את קבוצת חמשת המספרים הטבעיים הראשונים. לכן, N=→ טופס הרשמה
- סט של כל התנועות של האלפבית האנגלי. מכאן V={a, e, i, o, u, y} → טופס הרשמה
- קבוצת כל המספרים האי-זוגיים קטנה מ-9. לכן, X={1, 3, 5, 7} → טופסרישום
- סט של כל האותיות במילה "מתמטיקה". לכן, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → טופס רישום
- W הוא הסט של ארבעת החודשים האחרונים של השנה. לכן, W={ספטמבר, אוקטובר, נובמבר, דצמבר} → הרישום.
שימו לב שהסדר שבו רשומים האלמנטים לא משנה, אבל אסור לחזור עליהם. צורת בנייה מבוססת, במקרה נתון, כלל, נוסחה או אופרטור נכתבים בצמד סוגריים כך שהקבוצה מוגדרת נכון. בטופס בונה הקבוצות, כל הרכיבים חייבים להיות בעלי אותו מאפיין כדי להפוך לחבר בערך המדובר.
בצורה זו של ייצוג קבוצה, אלמנט מהקבוצה מתואר עם התו "x" או כל משתנה אחר ואחריו נקודתיים (":" או "|" משמשים לציון). לדוגמה, תנו ל-P להיות קבוצת המספרים הניתנים לספירה הגדולה מ-12. P בצורת בונה הקבוצות נכתב כ- {מספר ניתן לספירה וגדול מ-12}. זה ייקרא בצורה מסוימת. כלומר, "P הוא קבוצה של x אלמנטים כך ש-x ניתן לספור וגדול מ-12."
דוגמה נפתרה באמצעות שלוש שיטות ייצוג קבוצות: מספר מספרים שלמים בין -2 ל-3. להלן דוגמאות לסוגים שונים של קבוצות:
- סט ריק או ריק שאינו מכיל אלמנט כלשהו ומסומן בסמל ∅ ונקרא כ-phi. בצורת רשימה, ∅ נכתב {}. הסט הסופי ריק, מכיוון שמספר האלמנטים הוא 0. לדוגמה, קבוצת ערכי המספרים השלמים קטנה מ-0.
- ברור שלא צריך להיות <0. לכן, זהסט ריק.
- קבוצה המכילה רק משתנה אחד נקראת סט יחיד. אינו פשוט ואינו מורכב.
סט סופי
קבוצה המכילה מספר מסוים של אלמנטים נקראת קבוצה סופית או אינסופית. ריק מתייחס לראשון. לדוגמה, קבוצה של כל הצבעים בקשת.
אינסוף הוא סט. לא ניתן למנות את המרכיבים בו. כלומר, המכילה של משתנים דומים נקראת קבוצה אינסופית. דוגמאות:
- עוצמה של קבוצת כל הנקודות במישור;
- סט של כל המספרים הראשוניים.
אבל אתה צריך להבין שלא ניתן לבטא את כל הקרדינליות של האיחוד של קבוצה בצורה של רשימה. לדוגמה, מספרים ממשיים, מכיוון שהאלמנטים שלהם אינם תואמים לשום תבנית מסוימת.
המספר הקרדינלי של קבוצה הוא מספר האלמנטים השונים בכמות נתונה A. הוא מסומן n (A).
לדוגמה:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. לכן, n (A)=4.
- B=קבוצת אותיות במילה ALGEBRA.
סטים מקבילים להשוואת סט
שתי קרדינליות של קבוצה A ו-B הן כאלה אם המספר הקרדינלי שלהן זהה. הסמל של הסט המקביל הוא "↔". לדוגמה: A ↔ B.
קבוצות שוות: שתי קרדינליות של קבוצות A ו-B אם הן מכילות את אותם אלמנטים. כל מקדם מ-A הוא משתנה מ-B, וכל אחד מ-B הוא הערך שצוין של A.לכן, A=B. הסוגים השונים של איגודי קרדינליות והגדרותיהם מוסברים באמצעות הדוגמאות שסופקו.
מהות של סופיות ואינסוף
מהם ההבדלים בין הקרדינליות של קבוצה סופית לקבוצה אינסופית?
לערך הראשון יש את השם הבא אם הוא ריק או שיש לו מספר סופי של אלמנטים. בקבוצה סופית, ניתן לציין משתנה אם יש לו ספירה מוגבלת. לדוגמה, שימוש במספר הטבעי 1, 2, 3. ותהליך הרישום מסתיים בכמה N. מספר האלמנטים השונים שנספרו בקבוצה הסופית S מסומן ב-n (S). זה נקרא גם סדר או קרדינל. מסומן באופן סמלי על פי העיקרון הסטנדרטי. לפיכך, אם הסט S הוא האלפבית הרוסי, אז הוא מכיל 33 אלמנטים. חשוב גם לזכור שאלמנט אינו מופיע יותר מפעם אחת בקבוצה.
אינסופי בסט
קבוצה נקראת אינסופית אם לא ניתן למנות את האלמנטים. אם יש לו מספר טבעי בלתי מוגבל (כלומר, בלתי ניתן לספור) 1, 2, 3, 4 עבור כל n. קבוצה שאינה סופית נקראת אינסופית. כעת נוכל לדון בדוגמאות של הערכים המספריים הנבחנים. אפשרויות ערך סיום:
- תן Q={מספרים טבעיים פחות מ-25}. אז Q הוא קבוצה סופית ו-n (P)=24.
- תן R={שלמים בין 5 ל-45}. אז R הוא קבוצה סופית ו-n (R)=38.
- תן S={numbers modulo 9}. ואז S={-9, 9} הוא קבוצה סופית ו-n (S)=2.
- קבוצה של כל האנשים.
- מספר כל הציפורים.
אינסוף דוגמאות:
- מספר הנקודות הקיימות במטוס;
- מספר כל הנקודות בקטע הקו;
- קבוצת המספרים השלמים החיוביים המתחלקים ב-3 היא אינסופית;
- כל המספרים השלמים והטבעיים.
לפיכך, מהנימוק לעיל, ברור כיצד להבחין בין קבוצות סופיות ואינסופיות.
כוח הרצף
אם נשווה את הסט וערכים קיימים אחרים, אז מצורפת תוספת לסט. אם ξ הוא אוניברסלי ו-A הוא תת-קבוצה של ξ, אז המשלים של A הוא המספר של כל האלמנטים של ξ שאינם אלמנטים של A. באופן סמלי, המשלים של A ביחס ל-ξ הוא A'. לדוגמה, 2, 4, 5, 6 הם הרכיבים היחידים של ξ שאינם שייכים ל-A. לכן, A'={2, 4, 5, 6}
לסט עם רצף קרדינליות יש את התכונות הבאות:
- השלמה של הכמות האוניברסלית היא הערך הריק המדובר;
- משתנה ערכת האפס הזה הוא אוניברסלי;
- amount וההשלמה שלו נפרדים.
לדוגמה:
- תנו למספר המספרים הטבעיים להיות קבוצה אוניברסלית ו-A להיות זוגי. ואז A '{x: x הוא קבוצה אי-זוגית עם אותן ספרות}.
- תן ξ=קבוצת אותיות באלפבית. A=קבוצת עיצורים. ואז A '=מספר התנועות.
- ההשלמה לקבוצה האוניברסלית היא הכמות הריקה. ניתן לסמן ב-ξ. ואז ξ '=קבוצת האלמנטים שאינם כלולים ב-ξ. הסט הריק φ כתוב ומסומן. לכן ξ=φ. לפיכך, ההשלמה לקבוצה האוניברסלית ריקה.
במתמטיקה, "רצף" משמש לפעמים לייצוג קו אמיתי. ובאופן כללי יותר, כדי לתאר אובייקטים דומים:
- continuum (בתורת הקבוצות) - קו אמיתי או מספר קרדינל מתאים;
- linear - כל קבוצה מסודרת שחולקת מאפיינים מסוימים של קו אמיתי;
- continuum (בטופולוגיה) - שטח מטרי מחובר קומפקטי לא ריק (לפעמים Hausdorff);
- ההשערה שאין קבוצות אינסופיות גדולות ממספרים שלמים אבל קטנים ממספרים ממשיים;
- החזקה של הרצף היא מספר קרדינל המייצג את גודל קבוצת המספרים הממשיים.
בעיקרו של דבר, רצף (מדידה), תיאוריות או מודלים המסבירים מעברים הדרגתיים ממצב אחד לאחר ללא שינוי פתאומי.
בעיות של איחוד וצומת
ידוע שהחתך של שתי קבוצות או יותר הוא המספר המכיל את כל האלמנטים הנפוצים בערכים אלו. משימות מילים בקבוצות נפתרות כדי לקבל רעיונות בסיסיים לגבי אופן השימוש במאפייני האיחוד וההצטלבות של קבוצות. פתר את הבעיות העיקריות של מילים עלסטים נראים כך:
תנו ל-A ו-B להיות שתי קבוצות סופיות. הם כאלה ש-n (A)=20, n (B)=28 ו-n (A ∪ B)=36, מצא את n (A ∩ B)
קשר בקבוצות באמצעות דיאגרמת Venn:
- האיחוד של שתי קבוצות יכול להיות מיוצג על ידי אזור מוצל המייצג את A ∪ B. A ∪ B כאשר A ו-B הן קבוצות מפורקות.
- ניתן לייצג את ההצטלבות של שתי קבוצות באמצעות דיאגרמת Venn. עם אזור מוצל המייצג את A ∩ B.
- ההבדל בין שתי הקבוצות יכול להיות מיוצג על ידי דיאגרמות Venn. עם אזור מוצל המייצג את A - B.
- קשר בין שלוש קבוצות באמצעות דיאגרמת Venn. אם ξ מייצג כמות אוניברסלית, אז A, B, C הן שלוש תת-קבוצות. כאן כל שלוש הקבוצות חופפות.
סיכום מידע על סט
הקרדינליות של קבוצה מוגדרת כמספר הכולל של אלמנטים בודדים בקבוצה. והערך האחרון שצוין מתואר כמספר כל קבוצות המשנה. כאשר לומדים נושאים כאלה, נדרשות שיטות, שיטות ופתרונות. לכן, עבור הקרדינליות של קבוצה, הדוגמאות הבאות יכולות לשמש:
תנו A={0, 1, 2, 3}| |=4, כאשר | א | מייצג את הקרדינליות של קבוצה A.
עכשיו אתה יכול למצוא את ערכת הכוח שלך. זה גם די פשוט. כפי שכבר נאמר, ערכת הכוח נקבעת מכל תת-הקבוצות של מספר נתון. אז בעצם צריך להגדיר את כל המשתנים, האלמנטים ושאר הערכים של A,שהם {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Now חישוב כוח P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} שיש לו 16 אלמנטים. לפיכך, הקרדינליות של קבוצה A=16. ברור שזו שיטה מייגעת ומסורבלת לפתרון בעיה זו. עם זאת, יש נוסחה פשוטה שבאמצעותה, ישירות, אתה יכול לדעת את מספר האלמנטים בקבוצת החזקות של מספר נתון. | P |=2 ^ N, כאשר N הוא מספר האלמנטים ב-A כלשהו. ניתן לקבל נוסחה זו באמצעות קומבינטוריקה פשוטה. אז השאלה היא 2^11 מכיוון שמספר האלמנטים בקבוצה A הוא 11.
אז, קבוצה היא כל כמות מבוטאת מספרית, שיכולה להיות כל אובייקט אפשרי. לדוגמה, מכוניות, אנשים, מספרים. במובן מתמטי, מושג זה רחב ומוכלל יותר. אם בשלבים הראשונים מסודרים המספרים והאפשרויות לפתרון שלהם, הרי שבשלבים האמצעיים והגבוהים יותר התנאים והמשימות מסובכים. למעשה, הקרדינליות של האיחוד של קבוצה נקבעת על ידי השתייכותו של האובייקט לכל קבוצה. כלומר, אלמנט אחד שייך למחלקה, אבל יש לו משתנה אחד או יותר.
