בשנת 1900, אחד מגדולי המדענים של המאה הקודמת, דיוויד הילברט, הרכיב רשימה של 23 בעיות בלתי פתורות במתמטיקה. לעבודה עליהם הייתה השפעה עצומה על התפתחות תחום הידע האנושי הזה. 100 שנים מאוחר יותר, המכון המתמטי של קליי הציג רשימה של 7 בעיות הידועות בשם בעיות המילניום. לכל אחד מהם הוצע פרס של מיליון דולר.
הבעיה היחידה שהופיעה בין שתי הרשימות של חידות שרודפות מדענים במשך יותר ממאה שנה הייתה השערת רימן. היא עדיין מחכה להחלטתה.
הערה ביוגרפית קצרה
ג'ורג פרידריך ברנהרד רימן נולד ב-1826 בהנובר, במשפחה גדולה של כומר עני, וחי רק 39 שנים. הוא הספיק לפרסם 10 יצירות. עם זאת, כבר במהלך חייו נחשב רימן ליורשו של מורו יוהאן גאוס. בגיל 25 הגן המדען הצעיר על עבודת הגמר שלו "יסודות התיאוריה של פונקציות של משתנה מורכב". מאוחר יותר הוא התגבשההשערה המפורסמת שלו.
מספרים ראשוניים
מתמטיקה הופיעה כאשר האדם למד לספור. במקביל, עלו הרעיונות הראשונים על מספרים, אותם ניסו מאוחר יותר לסווג. חלקם נצפו כבעלי תכונות משותפות. בפרט, בין המספרים הטבעיים, כלומר אלה ששימשו בספירה (מספור) או ייעוד מספר העצמים, הובחנה קבוצה שניתנת לחלוקה רק באחד ובעצמם. הם נקראים פשוטים. הוכחה אלגנטית למשפט האינסוף של קבוצת המספרים הללו ניתנה על ידי אוקלידס ב"אלמנטים" שלו. כרגע החיפוש שלהם נמשך. בפרט, המספר הגדול ביותר שכבר ידוע הוא 274 207 281 – 1.
נוסחת אוילר
יחד עם מושג האינסוף של קבוצת הראשוניים, אוקלידס קבע גם את המשפט השני על הפירוק היחיד האפשרי לגורמים ראשוניים. לפיו, כל מספר שלם חיובי הוא מכפלה של קבוצה אחת בלבד של מספרים ראשוניים. בשנת 1737, המתמטיקאי הגרמני הגדול לאונרד אוילר ביטא את משפט האינסוף הראשון של אוקלידס כנוסחה שלהלן.
זה נקרא פונקציית zeta, כאשר s הוא קבוע ו-p לוקח את כל הערכים הראשוניים. הצהרתו של אוקלידס על הייחודיות של ההרחבה באה בעקבותיה ישירות.
Remann Zeta Function
הנוסחה של אוילר, במבט מעמיק יותר, לגמרימפתיע כי הוא מגדיר את הקשר בין ראשוניים למספרים שלמים. אחרי הכל, אינסוף ביטויים התלויים רק במספרים ראשוניים מוכפלים בצד שמאל שלו, והסכום המשויך לכל המספרים השלמים החיוביים ממוקם בצד ימין.
רימן הלך רחוק יותר מאולר. על מנת למצוא את המפתח לבעיית התפלגות המספרים, הוא הציע להגדיר נוסחה למשתנים ממשיים ומורכבים כאחד. היא זו שקיבלה לאחר מכן את השם של פונקציית הזטה של רימן. בשנת 1859 פרסם המדען מאמר שכותרתו "על מספר המספרים הראשוניים שאינם עולים על ערך נתון", שם סיכם את כל רעיונותיו.
רימן הציע להשתמש בסדרת אוילר, שמתכנסת לכל s>1 אמיתי. אם משתמשים באותה נוסחה עבור s מורכבות, אז הסדרה תתכנס לכל ערך של משתנה זה עם חלק ממשי גדול מ-1. רימן יישם את הליך ההמשך האנליטי, והרחיב את ההגדרה של זטא(ים) לכל המספרים המרוכבים, אך "זרקו" את היחידה. הוא לא נכלל מכיוון שב-s=1 פונקציית הזטה גדלה עד אינסוף.
חוש מעשי
נשאלת שאלה הגיונית: מדוע פונקציית הזטה, שהיא המפתח בעבודתו של רימן על השערת האפס, מעניינת וחשובה? כידוע, כרגע לא זוהתה תבנית פשוטה שתתאר את התפלגות המספרים הראשוניים בין המספרים הטבעיים. רימן הצליח לגלות שהמספר pi(x) של ראשוניים שלא עלה על x מתבטא במונחים של התפלגות האפסים הלא טריוויאליים של פונקציית הזטה. יתרה מכך, השערת רימן היאתנאי הכרחי להוכחת הערכות זמן לפעולה של כמה אלגוריתמים קריפטוגרפיים.
השערת רימן
אחד הניסוחים הראשונים של בעיה מתמטית זו, שלא הוכח עד היום, נשמע כך: פונקציות 0 זטה לא טריוויאליות הן מספרים מרוכבים שחלקם הממשי שווה ל-½. במילים אחרות, הם ממוקמים על הקו Re s=½.
ישנה גם השערת רימן מוכללת, שהיא אותה אמירה, אבל להכללות של פונקציות זטה, הנקראות בדרך כלל פונקציות L Dirichlet (ראה תמונה למטה).
בנוסחה χ(n) - תו מספרי כלשהו (modulo k).
הצהרת Riemannian נחשבת למה שנקרא השערת אפס, מכיוון שהיא נבדקה לגבי עקביות עם נתוני מדגם קיימים.
כפי שרימן טען
הערה של המתמטיקאי הגרמני נוסחה במקור בצורה סתמית למדי. העובדה היא שבאותה תקופה המדען עמד להוכיח את המשפט על התפלגות המספרים הראשוניים, ובהקשר זה, להשערה זו לא הייתה חשיבות מיוחדת. עם זאת, תפקידה בפתרון בעיות רבות אחרות הוא עצום. זו הסיבה שההנחה של רימן מוכרת כעת על ידי מדענים רבים כחשובה ביותר מבין הבעיות המתמטיות הלא מוכחות.
כפי שכבר הוזכר, אין צורך בהשערת רימן המלאה כדי להוכיח את משפט ההתפלגות, ודי כדי להצדיק באופן הגיוני שהחלק האמיתי של כל אפס לא טריוויאלי של פונקציית הזטה נמצא בבין 0 ל-1. מתכונה זו נובע שהסכום על כל האפסים של פונקציית הזטה המופיעה בנוסחה המדויקת למעלה הוא קבוע סופי. עבור ערכים גדולים של x, הוא עלול ללכת לאיבוד לגמרי. האיבר היחיד בנוסחה שנשאר זהה גם עבור x גדול מאוד הוא x עצמו. שאר המונחים המורכבים נעלמים בצורה אסימפטוטית בהשוואה אליו. אז הסכום המשוקלל נוטה ל-x. נסיבה זו יכולה להיחשב כאישור לאמיתות המשפט על התפלגות המספרים הראשוניים. לפיכך, לאפסים של פונקציית הזטה של רימן יש תפקיד מיוחד. זה מורכב מהוכחה שערכים כאלה אינם יכולים לתרום תרומה משמעותית לנוסחת הפירוק.
עוקבי רימן
מוות טראגי משחפת לא אפשר למדען הזה להביא את התוכנית שלו לסיומה ההגיוני. אולם ש-ז' השתלט עליו. de la Vallée Poussin וז'אק Hadamard. ללא תלות זה בזה, הם הסיקו משפט על התפלגות המספרים הראשוניים. הדאמרד ופוסין הצליחו להוכיח שכל פונקציות 0 הזטה הלא טריוויאליות נמצאות ברצועה הקריטית.
הודות לעבודתם של מדענים אלה, הופיע כיוון חדש במתמטיקה - התיאוריה האנליטית של המספרים. מאוחר יותר, עוד כמה הוכחות פרימיטיביות למשפט שעליו עבד רימן הושגו על ידי חוקרים אחרים. בפרט, פאל ארדס ואטל סלברג אף גילו שרשרת לוגית מורכבת מאוד המאשרת זאת, שלא דרשה שימוש בניתוח מורכב. עם זאת, בשלב זה, כמה חשוביםמשפטים, כולל קירובים של פונקציות רבות בתורת המספרים. בהקשר זה, העבודה החדשה של Erdős ואתל סלברג כמעט ולא השפיעה על דבר.
אחת ההוכחות הפשוטות והיפות ביותר לבעיה נמצאה ב-1980 על ידי דונלד ניומן. הוא התבסס על משפט קאוצ'י המפורסם.
האם ההשערה הרימניאנית מאיימת על יסודות ההצפנה המודרנית
הצפנת נתונים התעוררה יחד עם הופעת הירוגליפים, ליתר דיוק, הם עצמם יכולים להיחשב לקודים הראשונים. כרגע ישנו תחום שלם של קריפטוגרפיה דיגיטלית, שמפתח אלגוריתמי הצפנה.
מספרים ראשוניים ו"חצי ראשוניים", כלומר אלו שמתחלקים רק בשני מספרים אחרים מאותה מחלקה, מהווים את הבסיס למערכת המפתחות הציבוריים המכונה RSA. יש לו את היישום הרחב ביותר. בפרט, הוא משמש בעת יצירת חתימה אלקטרונית. אם מדברים במונחים נגישים לדמויות, השערת רימן טוענת את קיומה של מערכת בהתפלגות המספרים הראשוניים. כך, עוצמתם של מפתחות קריפטוגרפיים, בהם תלויה אבטחת העסקאות המקוונות בתחום המסחר האלקטרוני, פוחתת משמעותית.
בעיות מתמטיות אחרות שלא נפתרו
כדאי לסיים את המאמר על ידי הקדשת כמה מילים ליעדי המילניום האחרים. אלה כוללים:
- שוויון של כיתות P ו-NP. הבעיה מנוסחת כך: אם תשובה חיובית לשאלה מסוימת נבדקת בזמן פולינום, אז האם נכון שהתשובה לשאלה זו עצמהניתן למצוא במהירות?
- השערה של הודג'. במילים פשוטות, ניתן לנסח אותו באופן הבא: עבור סוגים מסוימים של זנים אלגבריים השלכתיים (רווחים), מחזורי Hodge הם שילובים של עצמים בעלי פרשנות גיאומטרית, כלומר, מחזורים אלגבריים.
- השערה של פואנקרה. זהו אתגר המילניום היחיד שהוכח עד כה. לפי זה, כל עצם תלת מימדי שיש לו תכונות ספציפיות של כדור תלת מימדי חייב להיות כדור, עד דפורמציה.
- אישור תורת הקוונטים של יאנג - מילס. נדרש להוכיח שתאוריית הקוונטים שהציגו מדענים אלה עבור החלל R 4 קיימת ויש לה פגם מסה 0 עבור כל קבוצת מד קומפקטי פשוטה G.
- השערת ליבנה-סווינרטון-דייר. זו בעיה נוספת הקשורה לקריפטוגרפיה. הוא נוגע בעיקולים אליפטיים.
- בעיית הקיום והחלקות של פתרונות למשוואות Navier-Stokes.
עכשיו אתה יודע את השערת רימן. במילים פשוטות, ניסחנו כמה מאתגרי המילניום האחרים. שהם ייפתרו או שיוכח שאין להם פתרון זה עניין של זמן. יתרה מכך, לא סביר שזה יצטרך לחכות יותר מדי, מכיוון שמתמטיקה משתמשת יותר ויותר ביכולות המחשוב של מחשבים. עם זאת, לא הכל כפוף לטכנולוגיה, וקודם כל נדרשות אינטואיציה ויצירתיות כדי לפתור בעיות מדעיות.
