בעיות בלתי פתירות הן 7 הבעיות המתמטיות המעניינות ביותר. כל אחד מהם הוצע בעת ובעונה אחת על ידי מדענים ידועים, ככלל, בצורה של השערות. במשך עשורים רבים, מתמטיקאים בכל רחבי העולם מתעסקים במוחם על הפתרון שלהם. אלה שיצליחו יתוגמלו במיליון דולר אמריקאי שיציע מכון החימר.
סיפור רקע
בשנת 1900, המתמטיקאי הגרמני הדגול דייוויד הילברט הציג רשימה של 23 בעיות.
למחקר שבוצע כדי לפתור אותם הייתה השפעה עצומה על המדע של המאה ה-20. כרגע רובם הפסיקו להיות תעלומות. בין הבלתי פתורים או שנפתרו חלקית היו:
- בעיה של עקביות של אקסיומות אריתמטיות;
- חוק כללי של הדדיות על הרווח של כל שדה מספר;
- מחקר מתמטי של אקסיומות פיזיות;
- מחקר של צורות ריבועיות למספרים אלגבריים שרירותייםסיכויים;
- בעיית הצדקה קפדנית של הגיאומטריה החישובית של פיודור שוברט;
- etc.
לא נחקרו: הבעיה של הרחבת משפט קרונקר הידוע לכל אזור אלגברי של רציונליות והשערת רימן.
The Clay Institute
זהו שמו של ארגון פרטי ללא מטרות רווח שבסיסו בקיימברידג', מסצ'וסטס. היא נוסדה ב-1998 על ידי המתמטיקאי מאוניברסיטת הרווארד א' ג'פי ואיש העסקים ל' קליי. מטרת המכון היא להרחיב ולפתח ידע מתמטי. כדי להשיג זאת, הארגון מעניק פרסים למדענים ונותני חסות מבטיחים מחקרים.
בתחילת המאה ה-21, מכון קליי למתמטיקה הציע פרס לאלה שפותרים את מה שידוע כבעיות הקשות ביותר הבלתי פתירות, וקרא לרשימתם בעיות פרס המילניום. רק השערת רימן נכללה ברשימת הילברט.
אתגרי המילניום
הרשימה של The Clay Institute כללה במקור:
- השערת מחזור Hodge;
- משוואות תורת יאנג-מילס הקוונטיות;
- השערת Poincaré;
- בעיית השוויון בין המעמדות P ו-NP;
- השערת רימן;
- משוואות Navier-Stokes, על הקיום והחלקות של פתרונותיה;
- בעיית בירץ'-סווינרטון-דייר.
הבעיות המתמטיות הפתוחות הללו מעוררות עניין רב, מכיוון שיכולות להיות להן יישומים מעשיים רבים.
מה הוכיח גריגורי פרלמן
בשנת 1900, הפילוסוף המפורסם אנרי פואנקרה הציע שכל 3-סעפת קומפקטית מחוברת בפשטות ללא גבול היא הומיאומורפית לכדור תלת-ממדי. הוכחתו במקרה הכללי לא נמצאה במשך מאה שנה. רק בשנים 2002-2003 פרסם המתמטיקאי סנט פטרבורג ג' פרלמן מספר מאמרים עם פתרון לבעיית פואנקרה. הייתה להם השפעה של פצצה מתפוצצת. בשנת 2010, השערת פואנקרה הודחה מרשימת "הבעיות הבלתי פתורות" של מכון חימר, ולפרלמן עצמו הוצע לקבל שכר לא מבוטל המגיע לו, אשר האחרון סירב מבלי להסביר את הנימוקים להחלטתו.
את ההסבר הכי מובן למה שהמתמטיקאי הרוסי הצליח להוכיח אפשר לתת על ידי דמיון שדיסקית גומי נמשכת על גבי סופגניה (טורוס), ואז מנסים למשוך את קצוות המעגל שלה לנקודה אחת. ברור שזה לא אפשרי. דבר נוסף, אם אתה עושה את הניסוי הזה עם כדור. במקרה זה, כדור תלת-ממדי לכאורה, הנובע מדיסקה שהיקפו נמשך לנקודה על ידי חוט היפותטי, יהיה תלת-ממדי בהבנתו של אדם רגיל, אך דו-ממדי במונחים של מתמטיקה.
Poincare הציע שכדור תלת מימדי הוא ה"אובייקט" התלת מימדי היחיד שניתן לכווץ את פני השטח שלו לנקודה אחת, ופרלמן הצליח להוכיח זאת. לפיכך, רשימת "הבעיות הבלתי ניתנות לפתרון" מורכבת היום מ-6 בעיות.
תאוריית Yang-Mills
בעיה מתמטית זו הוצעה על ידי מחבריה ב-1954. הניסוח המדעי של התיאוריה הוא כדלקמן:עבור כל קבוצת מד קומפקטית פשוטה, תורת המרחב הקוונטית שנוצרה על ידי יאנג ומילס קיימת, ובו בזמן יש לה פגם במסה אפס.
דיבור בשפה מובנת לאדם רגיל, יחסי הגומלין בין עצמים טבעיים (חלקיקים, גופים, גלים וכו') מתחלקים ל-4 סוגים: אלקטרומגנטי, גרביטציוני, חלש וחזק. במשך שנים רבות, פיסיקאים מנסים ליצור תורת שדות כללית. זה צריך להפוך לכלי להסבר כל האינטראקציות הללו. תורת יאנג-מילס היא שפה מתמטית שאיתה ניתן היה לתאר 3 מתוך 4 כוחות הטבע העיקריים. זה לא חל על כוח הכבידה. לכן, לא ניתן להתייחס לכך שיאנג ומילס הצליחו ליצור תורת שדות.
חוץ מזה, חוסר הליניאריות של המשוואות המוצעות מקשה מאוד על פתרונן. עבור קבועי צימוד קטנים, ניתן לפתור אותם בקירוב בצורה של סדרה של תיאוריית הפרעות. עם זאת, עדיין לא ברור כיצד ניתן לפתור את המשוואות הללו באמצעות צימוד חזק.
משוואות Navier-Stokes
ביטויים אלה מתארים תהליכים כמו זרמי אוויר, זרימת נוזלים ומערבולת. עבור כמה מקרים מיוחדים, כבר נמצאו פתרונות אנליטיים של משוואת Navier-Stokes, אך עד כה אף אחד לא הצליח לעשות זאת עבור המשוואה הכללית. במקביל, סימולציות מספריות לערכים ספציפיים של מהירות, צפיפות, לחץ, זמן וכן הלאה יכולות להשיג תוצאות מצוינות. נותר לקוות שמישהו יוכל ליישם את משוואות Navier-Stokes הפוךכיוון, כלומר לחשב את הפרמטרים באמצעותם, או להוכיח שאין שיטת פתרון.
בעיית בירץ'-סווינרטון-דייר
הקטגוריה של "בעיות לא פתורות" כוללת גם את ההשערה שהציעו מדענים בריטים מאוניברסיטת קיימברידג'. אפילו לפני 2300 שנה, המדען היווני הקדום אוקלידס נתן תיאור מלא של הפתרונות למשוואה x2 + y2=z2.
אם עבור כל מספר ראשוני נספור את מספר הנקודות על העקומה מודולו זה, נקבל קבוצה אינסופית של מספרים שלמים. אם אתה "מדביק" אותו באופן ספציפי לפונקציה אחת של משתנה מורכב, אז אתה מקבל את הפונקציה Hasse-Weil zeta עבור עקומה מסדר שלישי, המסומנת באות L. היא מכילה מידע על התנהגות מודולו כל המספרים הראשוניים בבת אחת.
בריאן ברץ' ופיטר סווינרטון-דייר שיערו על עקומות אליפטיות. לפיו, המבנה והמספר של מכלול הפתרונות הרציונליים שלו קשורים להתנהגות של פונקציית L בזהות. השערת Birch-Swinnerton-Dyer שלא הוכחה כרגע תלויה בתיאור של משוואות אלגבריות מדרגה 3 והיא הדרך הכללית היחידה הפשוטה יחסית לחישוב דרגת העקומות האליפטיות.
כדי להבין את החשיבות המעשית של משימה זו, די לומר שבקריפטוגרפיה מודרנית מעמד שלם של מערכות אסימטריות מבוסס על עקומות אליפטיות, ותקני חתימה דיגיטלית מקומיים מבוססים על היישום שלהם.
שוויון בין הכיתות p ו-np
אם שאר אתגרי המילניום הם מתמטיים בלבד, אז זה ישקשר לתיאוריית האלגוריתמים בפועל. את הבעיה הנוגעת לשוויון הכיתות p ו-np, המכונה גם בעיית קוק-לוין, ניתן לנסח בשפה מובנת באופן הבא. נניח שניתן לבדוק תשובה חיובית לשאלה מסוימת במהירות מספקת, כלומר בזמן פולינומי (PT). אז האם האמירה נכונה שאפשר למצוא את התשובה עליה די מהר? אפילו יותר פשוט הבעיה הזו נשמעת כך: האם באמת לא קשה יותר לבדוק את פתרון הבעיה מאשר למצוא אותה? אם אי פעם יוכח השוויון של המחלקות p ו-np, ניתן לפתור את כל בעיות הבחירה עבור PV. נכון לעכשיו, מומחים רבים מפקפקים באמיתות ההצהרה הזו, למרות שהם לא יכולים להוכיח את ההיפך.
השערת רימן
עד 1859, לא נמצאה תבנית שתתאר את אופן התפלגות המספרים הראשוניים בין המספרים הטבעיים. אולי זה נבע מהעובדה שהמדע עסק בנושאים אחרים. עם זאת, עד אמצע המאה ה-19 המצב השתנה, והם הפכו לאחד הרלוונטיים שהמתמטיקה התחילה לעסוק בהם.
השערת רימן, שהופיעה בתקופה זו, היא ההנחה שיש תבנית מסוימת בהתפלגות המספרים הראשוניים.
היום, מדענים מודרניים רבים מאמינים שאם זה יוכח, אזי יהיה צורך לשנות רבים מעקרונות היסוד של ההצפנה המודרנית, המהווים את הבסיס לחלק משמעותי ממנגנוני המסחר האלקטרוני.
לפי השערת רימן, הדמותהתפלגות ראשוניים עשויה להיות שונה משמעותית מההנחה הנוכחית. העובדה היא שעד כה לא התגלתה מערכת בהתפלגות המספרים הראשוניים. לדוגמה, ישנה בעיה של "תאומים", שההבדל ביניהם הוא 2. המספרים הללו הם 11 ו-13, 29. מספרים ראשוניים אחרים יוצרים אשכולות. אלה הם 101, 103, 107 וכו'. מדענים חשדו זה מכבר שצבירים כאלה קיימים בין מספרים ראשוניים גדולים מאוד. אם הם יימצאו, חוזקם של מפתחות קריפטו מודרניים יהיה בספק.
השערת מחזור Hodge
בעיה זו שעדיין לא נפתרה נוסחה ב-1941. ההשערה של הודג' מציעה אפשרות להתקרב לצורתו של כל עצם על ידי "הדבקה" של גופים פשוטים בעלי ממדים גבוהים יותר. שיטה זו ידועה ומשמשת בהצלחה כבר זמן רב. עם זאת, לא ידוע באיזו מידה ניתן לבצע פישוט.
עכשיו אתה יודע אילו בעיות בלתי פתירות קיימות כרגע. הם נושא למחקר של אלפי מדענים ברחבי העולם. נותר לקוות שהם ייפתרו בעתיד הקרוב, ויישומה המעשית יעזור לאנושות להיכנס לסיבוב חדש של פיתוח טכנולוגי.
