באלגברה יש מושג של שני סוגי שוויון - זהויות ומשוואות. זהויות הן שוויון כזה שאפשרי לכל ערכים של האותיות הכלולים בהן. גם משוואות הן שוויון, אבל הן ניתנות לביצוע רק עבור ערכים מסוימים של האותיות הכלולות בהן.
אותיות בדרך כלל אינן שוות מבחינת המשימה. המשמעות היא שחלקם יכולים לקבל על עצמם כל ערך מותר, הנקרא מקדמים (או פרמטרים), בעוד שאחרים - הם נקראים לא ידועים - מקבלים ערכים שצריך למצוא בתהליך הפתרון. ככלל, כמויות לא ידועות מסומנות במשוואות באותיות, האחרונות באלפבית הלטיני (x.y.z וכו'), או באותן אותיות, אך עם אינדקס (x1, x 2 וכו'), והמקדמים הידועים ניתנים על ידי האותיות הראשונות של אותו אלפבית.
בהתבסס על מספר הלא ידועים, משוואות עם אחד, שניים ומספר אלמונים מובחנים. לפיכך, כל הערכים של הלא ידועים שעבורם המשוואה הנפתרת הופכת לזהות נקראים פתרונות של המשוואות. משוואה יכולה להיחשב כפתורה אם נמצאו כל הפתרונות שלה או שמוכח שאין לה. המשימה "לפתור את המשוואה" בפועל היא נפוצה ומשמעותה שצריך למצוא את שורש המשוואה.
הגדרה: השורשים של משוואה הם אותם ערכים של הלא ידועים מטווח הערכים הקבילים שבהם המשוואה הנפתרת הופכת לזהות.
האלגוריתם לפתרון מוחלט של כל המשוואות זהה, ומשמעותו היא לצמצם את הביטוי הזה לצורה פשוטה יותר באמצעות טרנספורמציות מתמטיות.משוואות בעלות אותם שורשים נקראות שווה ערך באלגברה.
הדוגמה הפשוטה ביותר: 7x-49=0, השורש של המשוואה x=7;x-7=0, באופן דומה, השורש x=7, לכן, המשוואות שוות. (במקרים מיוחדים, ייתכן שלמשוואות שוות אין שורשים כלל.)
אם השורש של משוואה הוא גם השורש של משוואה אחרת, פשוטה יותר המתקבלת מהמשוואה המקורית על ידי טרנספורמציות, אז האחרון נקרא תולדה של המשוואה הקודמת.
אם אחת משתי המשוואות היא תוצאה של השנייה, אז הן נחשבות שוות ערך. הם נקראים גם מקבילים. הדוגמה למעלה ממחישה זאת.
לפעמים קשה לפתור אפילו את המשוואות הפשוטות ביותר בפועל. כתוצאה מהפתרון אפשר לקבל שורש אחד של המשוואה, שניים או יותר, אפילו מספר אינסופי - זה תלוי בסוג המשוואות. יש גם כאלה שאין להם שורשים, הם נקראים בלתי ניתנים להכרעה.
דוגמאות:
1) 15x -20=10; x=2. זהו השורש היחיד של המשוואה.
2) 7x - y=0. למשוואה יש מספר אינסופי של שורשים, מכיוון שלכל משתנה יכולים להיות אינספורמספר ערכים.
3) x2=- 16. מספר שהועלה בחזקת שני תמיד נותן תוצאה חיובית, ולכן אי אפשר למצוא את שורש המשוואה. זוהי אחת מהמשוואות הבלתי ניתנות לפתרון שהוזכרו לעיל.
נבדוק את נכונות הפתרון על ידי החלפת השורשים שנמצאו במקום אותיות ופתרון הדוגמה המתקבלת. אם הזהות מתקיימת, הפתרון נכון.
