משפט פיתגורס: ריבוע התחתון שווה לסכום הרגליים בריבוע

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 05:26

כל תלמיד יודע שהריבוע של התחתון תמיד שווה לסכום הרגליים, שכל אחת מהן בריבוע. משפט זה נקרא משפט פיתגורס. זהו אחד המשפטים המפורסמים ביותר בטריגונומטריה ובמתמטיקה בכלל. שקול את זה ביתר פירוט.

המושג של משולש ישר זווית

לפני שנמשיך לשקול את משפט פיתגורס, שבו ריבוע התחתון שווה לסכום הרגליים המרובעות, עלינו לשקול את המושג והתכונות של משולש ישר זווית, שעבורו המשפט תקף.

משולש הוא דמות שטוחה עם שלוש זוויות ושלוש צלעות. למשולש ישר זווית, כשמו כן הוא, יש זווית ישרה אחת, כלומר, זווית זו היא 90o.

מהמאפיינים הכלליים של כל המשולשים, ידוע שסכום כל שלוש הזוויות באיור זה הוא 180^o, כלומר עבור משולש ישר זווית הסכום של שתי זוויות שאינן ישרות, היא 180^o -90^o=90^o. העובדה האחרונה אומרת שכל זווית במשולש ישר זווית שאינה ישרה זווית תמיד תהיה פחות מ-90^o.

הצלע שממול לזווית הישרה נקראת תחתית. שתי הצלעות האחרות הן רגלי המשולש, הן יכולות להיות שוות זו לזו, או שהן יכולות להיות שונות. מהטריגונומטריה ידוע שככל שהזווית מולה מונחת צלע גדולה יותר במשולש, כך אורך הצלע הזה גדול יותר. המשמעות היא שבמשולש ישר זווית התחתון (שכב מול הזווית 90^o) תמיד יהיה גדול יותר מכל אחת מהרגליים (שכב מול הזוויות < 90^o).

סיימון מתמטי של משפט פיתגורס

משפט זה אומר שריבוע התחתון שווה לסכום הרגליים, שכל אחת מהן מרובעת קודם לכן. כדי לכתוב את הניסוח הזה בצורה מתמטית, שקול משולש ישר זווית שבו הצלעות a, b ו-c הן שתי הרגליים והתחתון, בהתאמה. במקרה זה ניתן לייצג את המשפט, הנאמר כריבוע של תחתית התחתית שווה לסכום ריבועי הרגליים, בנוסחה הבאה: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. מכאן ניתן לקבל נוסחאות נוספות חשובות לתרגול: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) ו-c=√(a}2 ^{+ b}2^).

שימו לב שבמקרה של משולש שווה צלעות ישר זווית, כלומר, a=b, הניסוח: ריבוע התחתון שווה לסכום הרגליים, שכל אחת מהןבריבוע, כתוב מתמטית כך: c²=a² + b²=2a ^{2, שמרמז על השוויון: c=a√2.}

רקע היסטורי

משפט פיתגורס, האומר שריבוע התחתון שווה לסכום הרגליים, שכל אחת מהן בריבוע, היה ידוע הרבה לפני שהפילוסוף היווני המפורסם שם לב אליו. פפירוסים רבים של מצרים העתיקה, כמו גם לוחות חימר של הבבלים, מאשרים כי עמים אלה השתמשו בנכס המצוין של הצדדים של משולש ישר זווית. למשל, אחת הפירמידות המצריות הראשונות, הפירמידה של ח'פר, שבנייתה מתוארכת למאה ה-26 לפני הספירה (2000 שנה לפני חייו של פיתגורס), נבנתה על סמך הכרת יחס הרוחב-גובה במשולש ישר זווית בגודל 3x4x5.

למה אם כן המשפט נקרא כעת על שם יווני? התשובה פשוטה: פיתגורס הוא הראשון שהוכיח מתמטית את המשפט הזה. הכתבים הבבליים והמצריים ששרדו רק מזכירים את השימוש בו, אך אינם מספקים שום הוכחה מתמטית.

מאמינים שפיתגורס הוכיח את המשפט הנדון על ידי שימוש במאפיינים של משולשים דומים, אותם השיג על ידי ציור גובה במשולש ישר זווית מהזווית 90o עד hypotenuse.

דוגמה לשימוש במשפט פיתגורס

שקול בעיה פשוטה: יש צורך לקבוע את אורכו של גרם מדרגות משופע L, אם ידוע שיש לו גובה H=3מטרים, והמרחק מהקיר שעליו נשען הסולם ועד למרגלותיו הוא P=2.5 מטרים.

במקרה זה, H ו-P הם הרגליים, ו-L הוא הירוק. כיוון שאורך התחתון שווה לסכום ריבועי הרגליים, נקבל: L²=H² + P 2^{, משם L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3.905 מטרים או 3 מטרים ו-90.5 ס מ.}