תאוצה טנגנציאלית או משיקית

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-02 17:47

כל הגופים שמקיפים אותנו נמצאים בתנועה מתמדת. תנועת הגופים בחלל נצפית בכל רמות הסולם, החל מתנועת חלקיקים יסודיים באטומי החומר וכלה בתנועה המואצת של גלקסיות ביקום. בכל מקרה, תהליך התנועה מתרחש עם האצה. במאמר זה נשקול בפירוט את המושג תאוצה משיקית וניתן נוסחה לפיה ניתן לחשב אותה.

כמויות קינמטיות

לפני שנדבר על תאוצה משיקית, בואו נבחן אילו כמויות נהוג לאפיין את התנועה המכנית השרירותית של גופים במרחב.

קודם כל, זה הנתיב L. הוא מציג את המרחק במטרים, סנטימטרים, קילומטרים וכן הלאה, הגוף נסע במשך פרק זמן מסוים.

המאפיין החשוב השני בקינמטיקה הוא מהירות הגוף. בניגוד לנתיב, זוהי כמות וקטורית והיא מכוונת לאורך המסלולתנועות הגוף. המהירות קובעת את קצב השינוי של קואורדינטות מרחביות בזמן. הנוסחה לחישוב זה היא:

v¯=dL/dt

מהירות היא נגזרת הזמן של הנתיב.

לבסוף, המאפיין החשוב השלישי של תנועת הגוף הוא האצה. לפי ההגדרה בפיזיקה, תאוצה היא גודל שקובע את השינוי במהירות עם הזמן. הנוסחה עבורו יכולה להיכתב כך:

a¯=dv¯/dt

תאוצה, כמו מהירות, היא גם כמות וקטורית, אבל בניגוד אליה, היא מכוונת לכיוון של שינוי מהירות. כיוון התאוצה חופף גם לווקטור של הכוח המתקבל הפועל על הגוף.

מסלול ותאוצה

בעיות רבות בפיזיקה נחשבות במסגרת של תנועה ישר. במקרה זה, ככלל, הם לא מדברים על התאוצה המשיקית של הנקודה, אלא עובדים עם תאוצה לינארית. עם זאת, אם תנועת הגוף אינה ליניארית, אזי ניתן לפרק את התאוצה המלאה שלו לשני מרכיבים:

tangent;
רגיל.

במקרה של תנועה לינארית, הרכיב הנורמלי הוא אפס, אז אנחנו לא מדברים על ההתרחבות הווקטורית של התאוצה.

לכן, מסלול התנועה קובע במידה רבה את האופי והמרכיבים של תאוצה מלאה. מסלול התנועה מובן כקו דמיוני במרחב שלאורכו נע הגוף. כלמסלול עקום מוביל להופעת רכיבי תאוצה שאינם מאפסים שצוינו לעיל.

קביעת תאוצה משיקית

תאוצה טנגנציאלית או, כפי שהיא נקראת גם, תאוצה משיקית היא מרכיב של תאוצה מלאה, המכוונת באופן משיק למסלול התנועה. מכיוון שהמהירות מכוונת גם לאורך המסלול, וקטור התאוצה המשיקית עולה בקנה אחד עם וקטור המהירות.

המושג של תאוצה כמדד לשינוי במהירות ניתן לעיל. מכיוון שמהירות היא וקטור, ניתן לשנות אותה במודולו או בכיוון. התאוצה המשיקית קובעת רק את השינוי במודול המהירות.

שימו לב שבמקרה של תנועה ישרה, וקטור המהירות אינו משנה את כיוונו, לכן, בהתאם להגדרה שלעיל, תאוצה משיקית ותאוצה לינארית הם אותו ערך.

קבלת משוואת התאוצה המשיקית

נניח שהגוף נע לאורך מסלול מעוקל כלשהו. אז ניתן לייצג את המהירות שלו v¯ בנקודה הנבחרת באופן הבא:

v¯=vu_t¯

כאן v הוא המודולוס של הווקטור v¯, u_{t¯ הוא וקטור מהירות היחידה המכוון למשיק למסלול.}

באמצעות ההגדרה המתמטית של תאוצה, נקבל:

a¯=dv¯/dt=d(vu_t¯)/dt=dv/dtu_t ¯ + vd(u_t¯)/dt

בעת מציאת הנגזרת, נעשה שימוש כאן בתכונת המכפלה של שתי פונקציות. אנו רואים שההאצה הכוללת a¯ בנקודה הנחשבת מתאימה לסכום של שני איברים. הם התאוצה המשיקת והתאוצה הנורמלית של הנקודה, בהתאמה.

בוא נגיד כמה מילים על תאוצה רגילה. הוא אחראי על שינוי וקטור המהירות, כלומר לשינוי כיוון התנועה של הגוף לאורך העקומה. אם מחשבים במפורש את הערך של האיבר השני, נקבל את הנוסחה לתאוצה נורמלית:

a=vd(u_t¯)/dt=v^{2/ r}

האצה הרגילה מכוונת לאורך הנורמלי המשוחזרת לנקודה הנתונה של העקומה. במקרה של תנועה מעגלית, התאוצה הרגילה היא צנטריפטלי.

משוואת האצה טנגנציאלית a_{t¯ היא:}

a_t¯=dv/dtu_t¯

ביטוי זה אומר שתאוצה משיקית אינה מתאימה לשינוי בכיוון, אלא לשינוי במודול המהירות v¯ על פני רגע של זמן. מכיוון שהתאוצה המשיקית מכוונת באופן משיק לנקודה הנחשבת של המסלול, היא תמיד מאונכת לרכיב הנורמלי.

תאוצה טנגנציאלית ומודול התאוצה הכוללת

כל המידע למעלה הוצג המאפשר לך לחשב את התאוצה הכוללת דרך המשיק והנורמלי. ואכן, מכיוון ששני הרכיבים מאונכים זה לזה, הוקטורים שלהם יוצרים את רגליו של משולש ישר זווית,שהתחתון שלו הוא וקטור התאוצה הכולל. עובדה זו מאפשרת לנו לכתוב את הנוסחה למודול התאוצה הכוללת בצורה הבאה:

a=√(a² + a_t²⁾

ניתן להגדיר את הזווית θ בין תאוצה מלאה לתאוצה משיקית באופן הבא:

θ=arccos(a_t/a)

ככל שהתאוצה המשיקית גדולה יותר, כך הכיוונים של התאוצה המשיקית והתאוצה המלאה קרובים יותר.

קשר בין תאוצה משיקית וזוויתית

מסלול עקום טיפוסי שלאורכו נעים גופים בטכנולוגיה והטבע הוא מעגל. ואכן, התנועה של גלגלי שיניים, להבים וכוכבי לכת סביב הציר שלהם או סביב מאורותיהם מתרחשת בדיוק במעגל. התנועה המתאימה למסלול זה נקראת סיבוב.

הקינמטיקה של הסיבוב מאופיינת באותם ערכים כמו הקינמטיקה של התנועה לאורך קו ישר, עם זאת, יש להם אופי זוויתי. לכן, כדי לתאר את הסיבוב, נעשה שימוש בזווית המרכזית של הסיבוב θ, המהירות הזוויתית ω והתאוצה α. הנוסחאות הבאות תקפות עבור הכמויות האלה:

ω=dθ/dt;

α=dω/dt

נניח שהגוף עשה סיבוב אחד סביב ציר הסיבוב בזמן t, אז עבור המהירות הזוויתית נוכל לכתוב:

ω=2pi/t

מהירות לינארית במקרה זה תהיה שווה ל:

v=2pir/t

כאשר r הוא רדיוס המסלול. שני הביטויים האחרונים מאפשרים לנו לכתובהנוסחה לחיבור של שתי מהירויות:

v=ωr

כעת אנו מחשבים את נגזרת הזמן של הצדדים השמאלי והימני של המשוואה, נקבל:

dv/dt=rdω/dt

הצד הימני של השוויון הוא מכפלה של תאוצה זוויתית ורדיוס המעגל. הצד השמאלי של המשוואה הוא השינוי במודול המהירות, כלומר התאוצה המשיקית.

לכן, תאוצה משיקית וערך זוויתי דומה קשורים בשוויון:

a_t=αr

אם נניח שהדיסק מסתובב, אז התאוצה המשיקית של נקודה בערך קבוע של α תגדל באופן ליניארי עם הגדלת המרחק מנקודה זו לציר הסיבוב r.

לאחר מכן, נפתור שתי בעיות באמצעות הנוסחאות שלמעלה.

קביעת תאוצה משיקית מפונקציית מהירות ידועה

ידוע שמהירותו של גוף שנע לאורך מסלול מעוקל מסוים מתוארת על ידי הפונקציה הבאה של הזמן:

v=2t2+ 3t + 5

יש צורך לקבוע את הנוסחה לתאוצה המשיקית ולמצוא את ערכה בזמן t=5 שניות.

ראשית, בוא נכתוב את הנוסחה למודול התאוצה המשיקית:

a_t=dv/dt

כלומר, כדי לחשב את הפונקציה a_{t(t), עליך לקבוע את הנגזרת של המהירות ביחס לזמן. יש לנו:}

a_t=d(2t^{2+ 3t + 5)/dt=4t + 3}

החלפת זמן t=5 שניות לתוך הביטוי המתקבל, נגיע לתשובה: a_t=23 m/s^2.

שימו לב שגרף המהירות מול הזמן בבעיה זו הוא פרבולה, בעוד שגרף התאוצה המשיקית הוא קו ישר.

מטלת האצה טנגנציאלית

ידוע שנקודת החומר החלה בסיבוב מואץ אחיד מרגע האפס של הזמן. 10 שניות לאחר תחילת הסיבוב, התאוצה הצנטריפטית שלו הפכה להיות שווה ל-20 מ' לשנייה2. יש צורך לקבוע את התאוצה המשיקית של נקודה לאחר 10 שניות, אם ידוע שרדיוס הסיבוב הוא 1 מטר.

תחילה, רשום את הנוסחה עבור תאוצה צנטריפטית או נורמלית a_c: